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公(gong)元前5世紀(ji)，芝諾發表了(le)著名(ming)的(de)(de)阿基里(li)斯(si)(si)(si)悖論：他(ta)提出讓(rang)烏(wu)(wu)龜在阿基里(li)斯(si)(si)(si)前面1000米(mi)處開始(shi)，和阿基里(li)斯(si)(si)(si)賽跑(pao)，并且假定阿基里(li)斯(si)(si)(si)的(de)(de)速度是烏(wu)(wu)龜的(de)(de)10倍(bei)。當比(bi)賽開始(shi)后，若阿基里(li)斯(si)(si)(si)跑(pao)了(le)1000米(mi)，設所(suo)用的(de)(de)時(shi)間(jian)為t，此時(shi)烏(wu)(wu)龜便領(ling)先(xian)他(ta)100米(mi)；當阿基里(li)斯(si)(si)(si)跑(pao)完下(xia)一個100米(mi)時(shi)，他(ta)所(suo)用的(de)(de)時(shi)間(jian)為t/10，烏(wu)(wu)龜仍(reng)然(ran)前于他(ta)10米(mi)；當阿基里(li)斯(si)(si)(si)跑(pao)完下(xia)一個10米(mi)時(shi)，他(ta)所(suo)用的(de)(de)時(shi)間(jian)為t/100，烏(wu)(wu)龜仍(reng)然(ran)前于他(ta)1米(mi)……芝諾認為，阿基里(li)斯(si)(si)(si)能夠繼續(xu)逼近烏(wu)(wu)龜，但決不可能追(zhui)上它(ta)。

悖論解釋

關于(yu)阿(a)(a)基里(li)斯(si)(si)悖論的一(yi)個解釋是：阿(a)(a)基里(li)斯(si)(si)的確永遠也追不上(shang)烏(wu)龜。雖然現實中我(wo)們知道阿(a)(a)基里(li)斯(si)(si)超(chao)越烏(wu)龜非常簡(jian)單，但是它是如何超(chao)過烏(wu)龜的在(zai)過去卻一(yi)直存(cun)在(zai)爭論。

現代物理學已經證(zheng)明了時間(jian)和空間(jian)不是可以無限分(fen)割的，所以總有最(zui)為微小(xiao)的一個時間(jian)里(li)，阿基(ji)(ji)里(li)斯和烏龜(gui)共同前(qian)進了一個空間(jian)單位，從此阿基(ji)(ji)里(li)斯順利超過(guo)烏龜(gui)。

產生原因

芝(zhi)諾悖(bei)論(lun)的(de)產生原因，是(shi)在于“芝(zhi)諾時(shi)”不(bu)可能度量(liang)阿基里(li)斯追(zhui)上烏龜后的(de)現(xian)象。在芝(zhi)諾時(shi)達到無(wu)限(xian)后，正常計時(shi)仍可以進行，只不(bu)過芝(zhi)諾的(de)“鐘”已經無(wu)法度量(liang)它們了。這個悖(bei)論(lun)實際上是(shi)反(fan)映時(shi)空并不(bu)是(shi)無(wu)限(xian)可分的(de)，運動也不(bu)是(shi)連續(xu)的(de)。

通俗一(yi)點講，我們都知道一(yi)條(tiao)線(xian)是由(you)無(wu)數個(ge)點組成的，但這個(ge)“無(wu)數個(ge)點”并不能說我們無(wu)法畫出(chu)一(yi)條(tiao)線(xian)。也就(jiu)是說就(jiu)是芝諾(nuo)偷換了(le)概念，（1+0.1+0.01+……）t其實是一(yi)個(ge)有限的時間，但他(ta)認為這個(ge)時間是無(wu)限大的，只要(yao)時間超過（1+0.1+0.01+……）t阿基里斯(si)就(jiu)追上了(le)烏(wu)龜(gui)。

哲學辨析

阿基里斯(si)悖論(lun)分離了運(yun)動(dong)與(yu)靜止，夸大了相對靜止，而否認(ren)了絕對運(yun)動(dong)，是(shi)形而上學說(shuo)。

黑格爾(er)在(zai)《小邏輯》中說：“辯(bian)證(zheng)法(fa)切(qie)不可與單純(chun)的(de)詭辯(bian)相(xiang)混淆。詭辯(bian)的(de)本(ben)質在(zai)于孤立起來看事物，把本(ben)身片面的(de)、抽象的(de)規定(ding)，認(ren)為是可靠的(de)。”辯(bian)證(zheng)唯物主義認(ren)為，運動(dong)與靜(jing)止是對立統(tong)一的(de)辯(bian)證(zheng)關系。

一(yi)方面，運(yun)動與靜(jing)止(zhi)的對立表現在：運(yun)動是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)絕對的，靜(jing)止(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)相對的，二者相互區別(bie)，不(bu)可混淆。所(suo)謂運(yun)動是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)絕對的是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)說，運(yun)動是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)物質的根本屬性，任何(he)事物在任何(he)條件下都是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)永(yong)恒運(yun)動的，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)無(wu)條件的。所(suo)謂靜(jing)止(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)相對的是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)說，靜(jing)止(zhi)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)運(yun)動在特(te)定條件下的特(te)殊狀態，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)有條件的。

另一(yi)方面，運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)統一(yi)表現在(zai)(zai)：運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)和(he)靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)是(shi)相互依存、相互貫通的(de)，即所謂動(dong)(dong)中有(you)靜(jing)(jing)(jing)(jing)、靜(jing)(jing)(jing)(jing)中有(you)動(dong)(dong)。在(zai)(zai)運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)關(guan)(guan)系上(shang)有(you)兩種(zhong)形而(er)上(shang)學的(de)錯誤：一(yi)種(zhong)是(shi)割(ge)裂(lie)(lie)運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)(guan)系，否(fou)認運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)，只(zhi)講靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)，將靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)絕對(dui)(dui)化的(de)形而(er)上(shang)學不動(dong)(dong)論(lun)；一(yi)種(zhong)是(shi)割(ge)裂(lie)(lie)運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)與(yu)靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)關(guan)(guan)系，只(zhi)講運(yun)(yun)(yun)動(dong)(dong)，否(fou)認靜(jing)(jing)(jing)(jing)止(zhi)(zhi)的(de)形而(er)上(shang)學相對(dui)(dui)主義和(he)詭辯論(lun)。

簡單證明

關于阿基里斯追龜的(de)問題，我們可以很簡(jian)單地證(zheng)明阿基里斯追上了烏龜。

我們設烏(wu)龜(gui)先(xian)前(qian)所(suo)(suo)(suo)走(zou)(zou)過(guo)的所(suo)(suo)(suo)有(you)的點(dian)(dian)(dian)屬于集(ji)合B，烏(wu)龜(gui)現(xian)在(zai)所(suo)(suo)(suo)在(zai)的點(dian)(dian)(dian)標志為(wei)b，烏(wu)龜(gui)所(suo)(suo)(suo)走(zou)(zou)過(guo)的所(suo)(suo)(suo)有(you)的點(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)集(ji)合A，A由(you)集(ji)合B中(zhong)(zhong)所(suo)(suo)(suo)有(you)的點(dian)(dian)(dian)加上(shang)b點(dian)(dian)(dian)構成。只要是(shi)(shi)烏(wu)龜(gui)先(xian)前(qian)所(suo)(suo)(suo)在(zai)的點(dian)(dian)(dian)，都是(shi)(shi)阿(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)可以(yi)走(zou)(zou)到的，因而阿(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)可以(yi)走(zou)(zou)到集(ji)合B中(zhong)(zhong)所(suo)(suo)(suo)有(you)的點(dian)(dian)(dian)。那么(me)，我們能不(bu)(bu)(bu)能在(zai)集(ji)合A中(zhong)(zhong)找到一個(ge)點(dian)(dian)(dian)，它既(ji)不(bu)(bu)(bu)屬于B，也不(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)b，回答是(shi)(shi)不(bu)(bu)(bu)能的。因而如(ru)果阿(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)走(zou)(zou)過(guo)了(le)集(ji)合B中(zhong)(zhong)所(suo)(suo)(suo)有(you)的點(dian)(dian)(dian)，阿(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)(dian)(dian)的距離就已(yi)經是(shi)(shi)0（如(ru)果不(bu)(bu)(bu)是(shi)(shi)0，則應該在(zai)阿(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)與(yu)b點(dian)(dian)(dian)之間(jian)還會存在(zai)著(zhu)一個(ge)點(dian)(dian)(dian)，但這個(ge)點(dian)(dian)(dian)并(bing)不(bu)(bu)(bu)存在(zai)），也就是(shi)(shi)說，阿(a)基(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)里(li)斯(si)(si)已(yi)經追(zhui)上(shang)了(le)烏(wu)龜(gui)。

而按照我(wo)們悖論所設定(ding)的(de)(de)(de)條件(jian)，阿基里(li)斯(si)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)以走到(dao)烏龜先前(qian)所走過的(de)(de)(de)所有(you)(you)的(de)(de)(de)點的(de)(de)(de)。因而阿基里(li)斯(si)追到(dao)了(le)(le)烏龜。但(dan)在上面(mian)的(de)(de)(de)分析(xi)中，我(wo)們發(fa)現了(le)(le)一個有(you)(you)趣的(de)(de)(de)矛盾，這就是(shi)(shi)(shi)(shi)b既(ji)(ji)屬(shu)于(yu)B又(you)不屬(shu)于(yu)B，也就是(shi)(shi)(shi)(shi)說(shuo)，b既(ji)(ji)是(shi)(shi)(shi)(shi)現在又(you)是(shi)(shi)(shi)(shi)先前(qian)。而且(qie)這是(shi)(shi)(shi)(shi)阿基里(li)斯(si)得(de)以追上烏龜的(de)(de)(de)前(qian)提和條件(jian)。這樣的(de)(de)(de)一個有(you)(you)趣的(de)(de)(de)結(jie)論，是(shi)(shi)(shi)(shi)決不可(ke)能為(wei)具有(you)(you)形而上學頭腦的(de)(de)(de)那(nei)些數學家們所接受的(de)(de)(de)。

此(ci)(ci)悖論假(jia)設阿基里斯(si)永遠只能到達龜前一個時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)段(duan)到達的(de)(de)地方，即追上的(de)(de)前一個時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)段(duan)，此(ci)(ci)時(shi)(shi)條件未(wei)發生變化(hua)，并先承(cheng)認此(ci)(ci)時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)段(duan)兩者間(jian)(jian)(jian)仍(reng)有差異，然后用不同的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)段(duan)進行重復換算，假(jia)設條件仍(reng)未(wei)變化(hua)。而(er)在此(ci)(ci)時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)段(duan)的(de)(de)下(xia)一個口徑相同的(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)(jian)(jian)段(duan)里，阿基米斯(si)就會追上。

相反觀點(dian)：這證(zheng)明(ming)是錯(cuo)誤的(de)。因(yin)為(wei)證(zheng)明(ming)假設了阿基(ji)里斯可(ke)以走一個點(dian)，在(zai)事(shi)實上回避(bi)了悖論(lun)(lun)(lun)中無法找第1點(dian)問題(ti)實質(zhi)。故此證(zheng)明(ming)和(he)悖論(lun)(lun)(lun)無關，只是把小學應用題(ti)用集合(he)論(lun)(lun)(lun)復述了一遍。

推翻悖論

其實(shi)，我們根據中(zhong)學所學過的(de)(de)無(wu)窮(qiong)等比遞縮數列求和的(de)(de)知識(shi)，只需(xu)列一(yi)個(ge)方程就可以(yi)輕(qing)而(er)易舉地(di)推翻(fan)芝諾(nuo)的(de)(de)悖(bei)論(lun)：阿基里斯在跑了

1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可趕上(shang)烏龜。

人們認為(wei)數列1+0.1+0.01+…………是永遠也不(bu)能窮盡的(de)。這(zhe)只不(bu)過是一個錯覺。

我們不(bu)妨來(lai)計算一下阿基里(li)斯能夠追上烏龜的時(shi)間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9

芝諾(nuo)所說的阿(a)基里斯不可能追上烏龜，就隱藏著時間必須小于(yu)10t/9這樣一個條(tiao)件。

由于阿基里(li)斯和烏龜(gui)是(shi)在(zai)不斷(duan)地運動的，對(dui)時(shi)間是(shi)沒有限制(zhi)的，時(shi)間很(hen)容易突破10t/9這(zhe)(zhe)樣一(yi)(yi)個(ge)條(tiao)(tiao)件。一(yi)(yi)旦突破10t/9這(zhe)(zhe)樣一(yi)(yi)個(ge)條(tiao)(tiao)件，阿基里(li)斯就追上了或超過了烏龜(gui)。

人們被距離(li)數(shu)列1+0.1+0.01+…………好像是(shi)永遠也不能窮(qiong)盡的假象迷惑了，沒有考慮到時(shi)間數(shu)列1+0.1+0.01+…………是(shi)很容(rong)易達(da)到和超(chao)過的了。

但是不(bu)是所有(you)的數(shu)列(lie)都(dou)能(neng)達到，所以，我們看問題不(bu)能(neng)太極端(duan)。例如無論多少(shao)個點也不(bu)能(neng)組(zu)成直線，對于點的個數(shu)來說(shuo)，我們就永遠無法窮(qiong)盡它。

其實，以上的(de)證(zheng)明是(shi)無(wu)法推翻這(zhe)(zhe)個(ge)悖論的(de)。因為這(zhe)(zhe)個(ge)證(zheng)明用到了極(ji)限這(zhe)(zhe)個(ge)概(gai)念(nian)。然而，極(ji)限這(zhe)(zhe)個(ge)概(gai)念(nian)，正是(shi)為了解決阿基里斯悖論而定義出來的(de)一(yi)個(ge)概(gai)念(nian)。用這(zhe)(zhe)個(ge)概(gai)念(nian)再反證(zheng)這(zhe)(zhe)個(ge)悖論很(hen)明顯(xian)是(shi)不合理(li)的(de)。

無限的細分(fen)并不代表不會從時(shi)間(jian)1流入時(shi)間(jian)2，否則(ze)你的時(shi)鐘將永遠停留在59分(fen)59.9999............秒(miao)。

阿基里斯能夠繼(ji)續(xu)逼近烏(wu)龜，在(zai)某一(yi)時間點之前無(wu)法(fa)追(zhui)上(shang)。但(dan)永遠(yuan)追(zhui)不(bu)上(shang)這(zhe)一(yi)結果并不(bu)成立，因為這(zhe)一(yi)悖論只(zhi)引導去(qu)考(kao)慮(lv)追(zhui)上(shang)之前的(de)距(ju)離，而不(bu)是追(zhui)上(shang)的(de)這(zhe)一(yi)距(ju)離。

悖論正解

悖論(lun)隱含的假設就是(shi)阿基(ji)里(li)斯(si)沒(mei)有追(zhui)上龜，為(wei)什(shen)么(me)呢？阿基(ji)里(li)斯(si)的每一段，都是(shi)烏龜跑完(wan)了，才讓阿基(ji)里(li)斯(si)才跑的。只(zhi)是(shi)想(xiang)當然的用了一開始的距離(li)差，而這(zhe)個距離(li)差為(wei)逐段變小。

而這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)趨近(jin)過程(cheng)又(you)想用(yong)時間衡(heng)量，恰好(hao)時間和距(ju)離(li)，都可以無限劃(hua)分(fen)。靜止也存在這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)的(de)接近(jin)過程(cheng)，舉個(ge)例(li)子：假設烏龜(gui)是(shi)靜止的(de)，讓阿基里斯以這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)的(de)方式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)(zhe)(zhe)樣(yang)(yang)他也追不(bu)上烏龜(gui)啊，也同樣(yang)(yang)變不(bu)成零(ling)，因為你的(de)假設就是(shi)距(ju)離(li)的(de)無限小(xiao)(xiao)，這(zhe)(zhe)(zhe)只是(shi)在尋找(zhao)最短(duan)的(de)距(ju)離(li)。這(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)就關系到極限了。就像在找(zhao)最小(xiao)(xiao)的(de)物(wu)質粒子一樣(yang)(yang)。