芒果视频

羅素悖論(lun)是(shi)由羅素發現的一個(ge)集合(he)(he)論(lun)悖論(lun)，其(qi)基本思想是(shi)：對于任意(yi)一個(ge)集合(he)(he)A，A要么是(shi)自身(shen)(shen)的元(yuan)(yuan)素，即A∈A；A要么不是(shi)自身(shen)(shen)的元(yuan)(yuan)素，即A?A。根(gen)據康托爾集合(he)(he)論(lun)的概括原(yuan)則，可將所有不是(shi)自身(shen)(shen)元(yuan)(yuan)素的集合(he)(he)構成一個(ge)集合(he)(he)S1，即S1={x:x?x}。

簡介

20世(shi)紀之(zhi)(zhi)初，數(shu)學(xue)(xue)界甚(shen)至整(zheng)個(ge)科(ke)學(xue)(xue)界籠罩(zhao)在(zai)一片(pian)喜悅祥和的(de)氣氛之(zhi)(zhi)中，科(ke)學(xue)(xue)家(jia)們普遍認為(wei)，數(shu)學(xue)(xue)的(de)系統(tong)性和嚴密性已經(jing)達到(dao)，科(ke)學(xue)(xue)大(da)廈已經(jing)基本建成(cheng)。例如，德國(guo)物(wu)理(li)學(xue)(xue)家(jia)基爾(er)霍夫(fu)（G．R．Kirchhoff）就曾經(jing)說過(guo)：“物(wu)理(li)學(xue)(xue)將無所作為(wei)了(le)(le)(le)，至多(duo)也只能在(zai)已知(zhi)規律的(de)公式的(de)小數(shu)點后面加(jia)上幾(ji)個(ge)數(shu)字罷了(le)(le)(le)。”英國(guo)物(wu)理(li)學(xue)(xue)家(jia)開爾(er)文（L．Kelvin）在(zai)1900年(nian)回顧物(wu)理(li)學(xue)(xue)的(de)發(fa)展時也說：“在(zai)已經(jing)基本建成(cheng)的(de)科(ke)學(xue)(xue)大(da)廈中，后輩(bei)物(wu)理(li)學(xue)(xue)家(jia)只能做一些零碎的(de)修(xiu)補工作了(le)(le)(le)。”法國(guo)大(da)數(shu)學(xue)(xue)家(jia)彭迦萊（Poincar6）在(zai)1900年(nian)的(de)國(guo)際數(shu)學(xue)(xue)家(jia)大(da)會上也公開宣稱，數(shu)學(xue)(xue)的(de)嚴格(ge)性，現在(zai)看來可以說是(shi)實(shi)現了(le)(le)(le)。然(ran)而好景(jing)不(bu)(bu)長，時隔不(bu)(bu)到(dao)兩(liang)年(nian)，科(ke)學(xue)(xue)界就發(fa)生了(le)(le)(le)一件(jian)(jian)大(da)事(shi)，這件(jian)(jian)大(da)事(shi)就是(shi)羅素（Russell）悖論的(de)發(fa)現。

例子

理發師悖論

在某(mou)個城(cheng)(cheng)市中有一位理(li)發師，他(ta)(ta)(ta)(ta)的廣告詞是這(zhe)(zhe)樣寫的：“本人的理(li)發技藝十(shi)分高超，譽滿(man)全城(cheng)(cheng)。我將為本城(cheng)(cheng)所有不(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，我也只給(gei)(gei)(gei)這(zhe)(zhe)些人刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)。我對各位表示熱(re)誠歡迎！”來找他(ta)(ta)(ta)(ta)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人絡繹不(bu)(bu)絕，自(zi)(zi)然都(dou)是那些不(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人。可是，有一天，這(zhe)(zhe)位理(li)發師從鏡(jing)子(zi)里看見自(zi)(zi)己(ji)(ji)的胡子(zi)長了，他(ta)(ta)(ta)(ta)本能地抓(zhua)起了剃刀(dao)，你(ni)們看他(ta)(ta)(ta)(ta)能不(bu)(bu)能給(gei)(gei)(gei)他(ta)(ta)(ta)(ta)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？如果(guo)(guo)他(ta)(ta)(ta)(ta)不(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)(ta)(ta)(ta)就(jiu)屬于“不(bu)(bu)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人”，他(ta)(ta)(ta)(ta)就(jiu)要給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)，而如果(guo)(guo)他(ta)(ta)(ta)(ta)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)呢(ni)？他(ta)(ta)(ta)(ta)又屬于“給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)的人”，他(ta)(ta)(ta)(ta)就(jiu)不(bu)(bu)該(gai)給(gei)(gei)(gei)自(zi)(zi)己(ji)(ji)刮(gua)(gua)(gua)臉(lian)(lian)。

理發(fa)師(shi)悖(bei)論(lun)與羅素悖(bei)論(lun)是等(deng)價的(de)：如果把每個(ge)(ge)人(ren)看成(cheng)一個(ge)(ge)集(ji)合(he)，這(zhe)個(ge)(ge)集(ji)合(he)的(de)元素被定義成(cheng)這(zhe)個(ge)(ge)人(ren)刮臉(lian)的(de)對(dui)象。那么(me)，理發(fa)師(shi)宣稱，他(ta)的(de)元素，都(dou)是城里不屬(shu)于自(zi)(zi)身的(de)那些集(ji)合(he)，并且城里所有不屬(shu)于自(zi)(zi)身的(de)集(ji)合(he)都(dou)屬(shu)于他(ta)。那么(me)他(ta)是否屬(shu)于他(ta)自(zi)(zi)己？這(zhe)樣就(jiu)由(you)理發(fa)師(shi)悖(bei)論(lun)得到了羅素悖(bei)論(lun)。反過來的(de)變換也(ye)是成(cheng)立的(de)。

“理(li)發(fa)師悖論”是很容(rong)易解(jie)決(jue)(jue)的(de)，解(jie)決(jue)(jue)的(de)辦法之(zhi)一就是修正理(li)發(fa)師的(de)規矩，將(jiang)他自己排除在規矩之(zhi)外(wai)；可是嚴格(ge)的(de)羅素悖論就不(bu)是這么容(rong)易解(jie)決(jue)(jue)的(de)了。

書目悖論

一個(ge)圖書(shu)館編纂了一本書(shu)名詞典，它(ta)列出(chu)(chu)這個(ge)圖書(shu)館里所有不列出(chu)(chu)自己(ji)書(shu)名的(de)書(shu)。那么它(ta)列不列出(chu)(chu)自己(ji)的(de)書(shu)名？這個(ge)悖論與理發(fa)師悖論基本一致(zhi)。

影響

十(shi)九世紀下半葉(xie)，德國(guo)數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)康托(tuo)爾(er)創(chuang)立(li)(li)了(le)著名的集(ji)合論(lun)，在(zai)(zai)集(ji)合論(lun)剛產(chan)生時，曾遭(zao)到許多(duo)人的猛烈攻(gong)擊(ji)。但不久這一(yi)開創(chuang)性成果就為廣大數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)所(suo)接受了(le)，并且(qie)獲得廣泛而(er)(er)高度的贊(zan)譽。數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)們發(fa)現(xian)(xian)，從自然數(shu)(shu)(shu)(shu)與康托(tuo)爾(er)集(ji)合論(lun)出發(fa)可(ke)建立(li)(li)起整(zheng)個數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)大廈(sha)。因而(er)(er)集(ji)合論(lun)成為現(xian)(xian)代數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)的基石。“一(yi)切數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)成果可(ke)建立(li)(li)在(zai)(zai)集(ji)合論(lun)基礎上”這一(yi)發(fa)現(xian)(xian)使數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)(xue)家(jia)們為之(zhi)陶醉。

1903年，一個(ge)震驚數學(xue)界(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu)：集合論(lun)(lun)是有漏洞(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)(zhe)就(jiu)是英國數學(xue)家(jia)羅(luo)素提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)著名的(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)素悖論(lun)(lun)。羅(luo)素的(de)(de)(de)(de)(de)這(zhe)(zhe)條(tiao)悖論(lun)(lun)使集合論(lun)(lun)產生了(le)(le)危機。它非(fei)常淺(qian)顯易懂，而(er)且所涉及的(de)(de)(de)(de)(de)只是集合論(lun)(lun)中(zhong)最(zui)基(ji)本的(de)(de)(de)(de)(de)東西。所以(yi)，羅(luo)素悖論(lun)(lun)一提(ti)出(chu)就(jiu)在(zai)當(dang)時(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)界(jie)與邏(luo)輯(ji)學(xue)界(jie)內引起了(le)(le)極(ji)大震動。德國的(de)(de)(de)(de)(de)著名邏(luo)輯(ji)學(xue)家(jia)弗雷(lei)格在(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)關于(yu)集合的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)理論(lun)(lun)完稿付印時(shi)，收到(dao)了(le)(le)羅(luo)素關于(yu)這(zhe)(zhe)一悖論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)信。他(ta)立刻(ke)發(fa)(fa)現，自(zi)己忙了(le)(le)很久(jiu)得出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)一系列結果卻(que)被這(zhe)(zhe)條(tiao)悖論(lun)(lun)攪(jiao)得一團糟。他(ta)只能在(zai)自(zi)己著作的(de)(de)(de)(de)(de)末(mo)尾(wei)寫道：“一個(ge)科學(xue)家(jia)所碰到(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)最(zui)倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)事，莫過(guo)于(yu)是在(zai)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)作即將完成時(shi)卻(que)發(fa)(fa)現所干的(de)(de)(de)(de)(de)工(gong)作的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎(chu)崩潰了(le)(le)。”

公理化集合論(lun)的(de)建立，成功排除了(le)集合論(lun)中(zhong)出現的(de)悖論(lun)，從(cong)而比較圓滿(man)地(di)解決了(le)第(di)(di)三次數學(xue)危機。但在(zai)另一(yi)(yi)方面，羅(luo)素悖論(lun)對數學(xue)而言有著更為深刻(ke)的(de)影響(xiang)。它使得數學(xue)基(ji)礎問題第(di)(di)一(yi)(yi)次以最迫(po)切的(de)需要(yao)的(de)姿態擺到數學(xue)家面前，導致了(le)數學(xue)家對數學(xue)基(ji)礎的(de)研究。而這方面的(de)進(jin)一(yi)(yi)步發展又(you)極其(qi)深刻(ke)地(di)影響(xiang)了(le)整個數學(xue)。如圍(wei)繞著數學(xue)基(ji)礎之爭，形成了(le)現代(dai)數學(xue)史(shi)上著名的(de)三大數學(xue)流派，而各派的(de)工作(zuo)又(you)都促進(jin)了(le)數學(xue)的(de)大發展。

于(yu)是，數學(xue)的基礎被動搖(yao)了，這(zhe)就是所謂(wei)的第三次數學(xue)危機(ji)。

羅素的悖論發表(biao)之(zhi)后，接著又發現(xian)一系列(lie)悖論（后來歸入所謂語義悖論）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林和納爾遜悖論

悖論的解決

羅(luo)素(su)構造了一(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)S：S由一(yi)切不屬(shu)于(yu)自身的(de)(de)集(ji)(ji)合(he)(he)所組成。然后羅(luo)素(su)問：s是否屬(shu)于(yu)S呢？根(gen)據排中律(lv)，一(yi)個(ge)元素(su)或者(zhe)屬(shu)于(yu)某個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)，或者(zhe)不屬(shu)于(yu)某個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)。因此，對于(yu)一(yi)個(ge)給定集(ji)(ji)合(he)(he)，問是否屬(shu)于(yu)它自己是有(you)意義(yi)的(de)(de)。但對這個(ge)看似合(he)(he)理的(de)(de)問題的(de)(de)回(hui)答卻(que)會陷入兩難境地。如果s屬(shu)于(yu)S，根(gen)據S的(de)(de)定義(yi)，s就不屬(shu)于(yu)S；反之，如果s不屬(shu)于(yu)S，同樣(yang)根(gen)據定義(yi)，s就屬(shu)于(yu)S。無論如何都是矛(mao)盾的(de)(de)。

羅(luo)素悖論提(ti)(ti)出后(hou)，數學(xue)家們(men)紛(fen)紛(fen)提(ti)(ti)出自己(ji)的解決方(fang)案(an)。人們(men)希(xi)望能夠通(tong)過對康(kang)托(tuo)爾的集(ji)(ji)合論進(jin)行改造，通(tong)過對集(ji)(ji)合定義加以限(xian)制來(lai)排除悖論，這(zhe)就需要建立新的原(yuan)則。“這(zhe)些原(yuan)則必須足夠狹窄，以保證排除一(yi)切矛盾；另(ling)一(yi)方(fang)面又必須充分廣闊，使康(kang)托(tuo)爾集(ji)(ji)合論中一(yi)切有(you)價值的內容得以保存(cun)下來(lai)。”解決這(zhe)一(yi)悖論主要有(you)兩種選擇，ZF公(gong)理(li)系統和(he)NBG公(gong)理(li)系統。

1908年，策梅(mei)羅（Ernst Zermelo）在(zai)(zai)(zai)自己(ji)這一原則基礎(chu)上提(ti)出(chu)第一個公(gong)(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)體(ti)系(xi)，后來這一公(gong)(gong)理(li)(li)化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)系(xi)統(tong)(tong)很大程度上彌補了康托爾樸素(su)集(ji)(ji)合(he)(he)論(lun)的(de)(de)缺陷。這一公(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)在(zai)(zai)(zai)通過弗蘭(lan)克(ke)爾（Abraham Fraenkel）的(de)(de)改進后被(bei)稱為ZF公(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)。在(zai)(zai)(zai)該公(gong)(gong)理(li)(li)系(xi)統(tong)(tong)中，由于(yu)分類公(gong)(gong)理(li)(li)（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)x的(de)(de)一個性質，對任意已知集(ji)(ji)合(he)(he)A，存在(zai)(zai)(zai)一個集(ji)(ji)合(he)(he)B使得對所有元素(su)x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x∣x是(shi)一個集(ji)(ji)合(he)(he)}并(bing)不能在(zai)(zai)(zai)該系(xi)統(tong)(tong)中寫成(cheng)一個集(ji)(ji)合(he)(he)，由于(yu)它并(bing)不是(shi)任何已知集(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)子(zi)集(ji)(ji)；并(bing)且通過該公(gong)(gong)理(li)(li)，存在(zai)(zai)(zai)集(ji)(ji)合(he)(he)A={x∣x是(shi)一個集(ji)(ji)合(he)(he)}在(zai)(zai)(zai)ZF系(xi)統(tong)(tong)中能被(bei)證(zheng)明(ming)是(shi)矛盾的(de)(de)，因此羅素(su)悖論(lun)在(zai)(zai)(zai)該系(xi)統(tong)(tong)中被(bei)避免了。

除ZF系統外，集(ji)(ji)合論的(de)公(gong)理(li)系統還有(you)(you)多種(zhong)，如(ru)馮(feng)·諾伊曼（von Neumann）等人(ren)提出的(de)NBG系統等。在(zai)該(gai)公(gong)理(li)系統中，所(suo)有(you)(you)包(bao)含(han)集(ji)(ji)合的(de)"collection"都能被稱為類(class)，凡是(shi)集(ji)(ji)合也能被稱為類，但是(shi)某些collection太大(da)了(le)（比如(ru)一(yi)個(ge)collection包(bao)含(han)所(suo)有(you)(you)集(ji)(ji)合）以至(zhi)于不能是(shi)一(yi)個(ge)集(ji)(ji)合，因(yin)此只(zhi)能是(shi)個(ge)類。這同樣也避免(mian)了(le)羅素悖論。