康托爾(er)，1862年(nian)(nian)入蘇黎世大學學工(gong),翌年(nian)(nian)轉(zhuan)入柏(bo)林大學攻讀數(shu)學和神學，受(shou)教(jiao)于(yu)庫默(mo)(mo)爾(er)（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾(er)斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克(ke)羅內克(ke)(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年(nian)(nian)曾(ceng)去(qu)(qu)格丁根學習(xi)一(yi)學期(qi)。1867年(nian)(nian)在庫默(mo)(mo)爾(er)指導(dao)下以解(jie)決一(yi)般整系(xi)數(shu)不(bu)定方程ax2+by2+cz2=0求解(jie)問(wen)題的(de)(de)(de)論文獲(huo)博士學位。畢(bi)業后受(shou)魏爾(er)斯特拉斯的(de)(de)(de)直接(jie)影響，由數(shu)論轉(zhuan)向(xiang)嚴格的(de)(de)(de)分(fen)(fen)析理(li)論的(de)(de)(de)研究(jiu)，不(bu)久嶄(zhan)露頭角(jiao)。他(ta)在哈(ha)雷(lei)大學任教(jiao)（1869-1913）的(de)(de)(de)初(chu)期(qi)證明了(le)復合變(bian)量(liang)函(han)數(shu)三角(jiao)級數(shu)展(zhan)開的(de)(de)(de)唯一(yi)性(xing)，繼(ji)而用(yong)有理(li)數(shu)列極限定義無理(li)數(shu)。1872年(nian)(nian)成為該校副教(jiao)授，1879年(nian)(nian)任教(jiao)授。由于(yu)學術(shu)觀點上受(shou)到的(de)(de)(de)沉重(zhong)打擊，康托爾(er)曾(ceng)一(yi)度患精神分(fen)(fen)裂癥(zheng)，雖在1887年(nian)(nian)恢復了(le)健(jian)康，繼(ji)續工(gong)作，但晚年(nian)(nian)一(yi)直病(bing)魔(mo)纏身。1918年(nian)(nian)1月6日在德國哈(ha)雷(lei)（Halle）-維滕貝格大學附屬精神病(bing)院去(qu)(qu)世。
康(kang)托爾愛好廣泛，極有個(ge)性(xing)，終(zhong)身信奉宗教。早期(qi)在(zai)數(shu)(shu)(shu)學方面的興(xing)趣(qu)是數(shu)(shu)(shu)論(lun)(lun)(lun)，1870年(nian)開始研究三角級數(shu)(shu)(shu)并由此導致19世(shi)(shi)紀末、20世(shi)(shi)紀初最偉大的數(shu)(shu)(shu)學成就——集合(he)論(lun)(lun)(lun)和超窮數(shu)(shu)(shu)理論(lun)(lun)(lun)的建立。除此之外，他還(huan)努力探(tan)討在(zai)新(xin)理論(lun)(lun)(lun)創立過程(cheng)中所涉及的數(shu)(shu)(shu)理哲(zhe)學問(wen)題.1888-1893年(nian)康(kang)托爾任柏林(lin)數(shu)(shu)(shu)學會(hui)第一任會(hui)長，1890年(nian)領(ling)導創立德國數(shu)(shu)(shu)學家聯合(he)會(hui)并任首(shou)屆主席。
康托爾對數學的貢獻(xian)是集合論和超窮數理(li)論。
兩千多年來，科學家們接觸(chu)到無(wu)窮(qiong)，卻又(you)無(wu)力(li)去把握(wo)和認(ren)識它，這的(de)(de)(de)確是向人類(lei)提(ti)出(chu)的(de)(de)(de)尖(jian)銳挑(tiao)戰(zhan)。康(kang)托爾以其思(si)維之獨特，想象(xiang)力(li)之豐富，方法之新穎繪制了(le)一幅人類(lei)智慧的(de)(de)(de)精品——集合論(lun)和超窮(qiong)數理論(lun)，令19、20世紀之交的(de)(de)(de)整個數學界(jie)、甚至哲學界(jie)感到震(zhen)驚。可以毫(hao)不夸張地講(jiang)，“關于數學無(wu)窮(qiong)的(de)(de)(de)革(ge)命幾乎是由他一個人獨立完成的(de)(de)(de)。”
19世紀由于(yu)分(fen)析(xi)的嚴格化和(he)函數(shu)論的發(fa)展，數(shu)學家們提出(chu)了一系列重(zhong)要(yao)問題，并對無理(li)數(shu)理(li)論、不(bu)連續函數(shu)理(li)論進行(xing)認真(zhen)考察，這方面(mian)的研究成果為康托爾后(hou)來的工(gong)作奠(dian)定了必要(yao)的思想基(ji)礎。
康托爾(er)是(shi)在(zai)(zai)(zai)尋找函數(shu)(shu)展開為(wei)(wei)三角(jiao)級數(shu)(shu)表(biao)(biao)(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)唯(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)性判(pan)別準則的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)中(zhong)，認(ren)識到無(wu)(wu)窮集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)要性，并(bing)開始從(cong)事無(wu)(wu)窮集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)般理(li)(li)論(lun)研(yan)究。早在(zai)(zai)(zai)1870年(nian)和1871年(nian)，康托爾(er)兩(liang)(liang)次(ci)在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)學雜志》上發(fa)表(biao)(biao)(biao)論(lun)文(wen)(wen)，證明了(le)(le)(le)函數(shu)(shu)f(x)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)三角(jiao)級數(shu)(shu)表(biao)(biao)(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)唯(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)性定(ding)(ding)理(li)(li)，而且證明了(le)(le)(le)即使在(zai)(zai)(zai)有(you)限(xian)個(ge)間斷(duan)點(dian)處不(bu)收斂(lian)，定(ding)(ding)理(li)(li)仍然(ran)成立。1872年(nian)他(ta)在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)學年(nian)鑒》上發(fa)表(biao)(biao)(biao)了(le)(le)(le)一(yi)(yi)(yi)(yi)篇題(ti)為(wei)(wei)《三角(jiao)級數(shu)(shu)中(zhong)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)定(ding)(ding)理(li)(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)推廣》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)文(wen)(wen)，把唯(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)性的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果推廣到允許(xu)例外值是(shi)某種(zhong)(zhong)無(wu)(wu)窮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)情形(xing)。為(wei)(wei)了(le)(le)(le)描述這種(zhong)(zhong)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)，他(ta)首先定(ding)(ding)義了(le)(le)(le)點(dian)集(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)極限(xian)點(dian)，然(ran)后(hou)引進了(le)(le)(le)點(dian)集(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)集(ji)(ji)(ji)和導(dao)集(ji)(ji)(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)導(dao)集(ji)(ji)(ji)等(deng)有(you)關重(zhong)要概(gai)念。這是(shi)從(cong)唯(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)性問題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)探索向(xiang)點(dian)集(ji)(ji)(ji)論(lun)研(yan)究的(de)(de)(de)(de)(de)(de)開端，并(bing)為(wei)(wei)點(dian)集(ji)(ji)(ji)論(lun)奠定(ding)(ding)了(le)(le)(le)理(li)(li)論(lun)基礎(chu)。以后(hou)，他(ta)又在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)學年(nian)鑒》和《數(shu)(shu)學雜志》兩(liang)(liang)刊上發(fa)表(biao)(biao)(biao)了(le)(le)(le)許(xu)多文(wen)(wen)章。他(ta)稱集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)為(wei)(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)些確定(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)、不(bu)同的(de)(de)(de)(de)(de)(de)東西(xi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)總體(ti)(ti)，這些東西(xi)人們能意識到并(bing)且能判(pan)斷(duan)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)給定(ding)(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)東西(xi)是(shi)否屬于這個(ge)總體(ti)(ti)。他(ta)還指出，如果一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)能夠和它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)部分構成一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)對應，它就(jiu)是(shi)無(wu)(wu)窮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。他(ta)又給出了(le)(le)(le)開集(ji)(ji)(ji)、閉集(ji)(ji)(ji)和完全集(ji)(ji)(ji)等(deng)重(zhong)要概(gai)念，并(bing)定(ding)(ding)義了(le)(le)(le)集(ji)(ji)(ji)合(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)并(bing)與交兩(liang)(liang)種(zhong)(zhong)運算。
為(wei)(wei)了將(jiang)(jiang)有(you)(you)窮(qiong)集(ji)合(he)(he)(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素個(ge)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念(nian)推(tui)廣到無窮(qiong)集(ji)合(he)(he)(he)(he)，他(ta)以(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)為(wei)(wei)原則，提出了集(ji)合(he)(he)(he)(he)等價(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念(nian)。兩(liang)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)只有(you)(you)它(ta)們的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素間可(ke)(ke)以(yi)建立一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)才稱為(wei)(wei)是(shi)(shi)(shi)等價(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這樣就第一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)次(ci)對(dui)各種無窮(qiong)集(ji)合(he)(he)(he)(he)按它(ta)們元(yuan)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“多(duo)少”進(jin)(jin)(jin)行了分類(lei)。他(ta)還引進(jin)(jin)(jin)了“可(ke)(ke)列(lie)”這個(ge)概(gai)念(nian)，把凡是(shi)(shi)(shi)能和(he)正整數(shu)(shu)(shu)構(gou)成(cheng)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)任何(he)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)合(he)(he)(he)(he)都稱為(wei)(wei)可(ke)(ke)列(lie)集(ji)合(he)(he)(he)(he)。1874年(nian)(nian)他(ta)在《數(shu)(shu)(shu)學(xue)雜志》上(shang)發(fa)表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文(wen)(wen)中(zhong)(zhong)，證(zheng)明(ming)了有(you)(you)理(li)數(shu)(shu)(shu)集(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，后來他(ta)還證(zheng)明(ming)了所有(you)(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)代(dai)數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)全體構(gou)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)集(ji)合(he)(he)(he)(he)也是(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。至于(yu)(yu)實(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)集(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)否可(ke)(ke)列(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)，1873年(nian)(nian)康托爾給戴(dai)德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)封信中(zhong)(zhong)提出過，但不久他(ta)自(zi)(zi)己得(de)到回答：實(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)集(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)不可(ke)(ke)列(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。由于(yu)(yu)實(shi)(shi)數(shu)(shu)(shu)集(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)不可(ke)(ke)列(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而(er)代(dai)數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)集(ji)合(he)(he)(he)(he)是(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，于(yu)(yu)是(shi)(shi)(shi)他(ta)得(de)到了必定有(you)(you)超越數(shu)(shu)(shu)存在的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)論(lun)(lun)，而(er)且超越數(shu)(shu)(shu)“大大多(duo)于(yu)(yu)”代(dai)數(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)。同年(nian)(nian)又構(gou)造了實(shi)(shi)變函(han)數(shu)(shu)(shu)論(lun)(lun)中(zhong)(zhong)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)“康托爾集(ji)”,給出測度(du)為(wei)(wei)零的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)不可(ke)(ke)數(shu)(shu)(shu)集(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)例子。他(ta)還巧妙(miao)地將(jiang)(jiang)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)條直線上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)與(yu)整個(ge)平面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)起來，甚至可(ke)(ke)以(yi)將(jiang)(jiang)直線與(yu)整個(ge)n維空間進(jin)(jin)(jin)行點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)應(ying)(ying)。從1879年(nian)(nian)到1883年(nian)(nian)，康托爾寫(xie)了六篇(pian)系列(lie)論(lun)(lun)文(wen)(wen)，論(lun)(lun)文(wen)(wen)總題(ti)目是(shi)(shi)(shi)“論(lun)(lun)無窮(qiong)線形(xing)點(dian)(dian)流形(xing)”，其中(zhong)(zhong)前四篇(pian)同以(yi)前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)文(wen)(wen)類(lei)似，討論(lun)(lun)了集(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)些數(shu)(shu)(shu)學(xue)成(cheng)果，特別是(shi)(shi)(shi)涉(she)及(ji)集(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)在分析上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)些有(you)(you)趣(qu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)用。第五篇(pian)論(lun)(lun)文(wen)(wen)后來以(yi)單行本出版，單行本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)書名《一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)般集(ji)合(he)(he)(he)(he)論(lun)(lun)基(ji)礎》。第六篇(pian)論(lun)(lun)文(wen)(wen)是(shi)(shi)(shi)第五篇(pian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)補(bu)充。康托爾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)信條是(shi)(shi)(shi)：“數(shu)(shu)(shu)學(xue)在它(ta)自(zi)(zi)身的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)發(fa)展中(zhong)(zhong)完全是(shi)(shi)(shi)自(zi)(zi)由的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，對(dui)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念(nian)限制只在于(yu)(yu)：必須是(shi)(shi)(shi)無矛盾的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，并(bing)且與(yu)由確切定義(yi)引進(jin)(jin)(jin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念(nian)相協調。……數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)本質就在于(yu)(yu)它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自(zi)(zi)由。”
《一般集合(he)論(lun)基礎》（以下(xia)簡稱《基礎》）在數學上的主(zhu)要成果是引進(jin)超窮(qiong)數，在具體展開這一理(li)論(lun)的過(guo)程(cheng)中，康(kang)托爾應用了以下(xia)幾(ji)條(tiao)原則：
第一生成原則(ze)：從任(ren)一給點的(de)數出發，通過(guo)相(xiang)繼加1（個(ge)單位）可得到(dao)它的(de)后(hou)繼數。
第二生成原則：任給一個其中無最(zui)大數的(de)序列(lie)(lie)，可產生一個作為該序列(lie)(lie)極限的(de)新數，它定義為大于此序列(lie)(lie)中所有數的(de)后繼數。
第(di)三(san)（限(xian)制）原(yuan)則：保證在(zai)上述超窮(qiong)序列中產生一(yi)種自然(ran)中斷(duan)，使第(di)二數(shu)類有一(yi)個確定極限(xian)，從(cong)而形成更大數(shu)類。
反復(fu)應用三個原則，得到超窮(qiong)數的序列
ω，ω1，ω2，…
利用先前引(yin)入的(de)(de)集合的(de)(de)勢(shi)(shi)的(de)(de)概念，康托爾指出(chu)(chu)，第(di)一(yi)(yi)數(shu)類（Ⅰ）和(he)第(di)二數(shu)類（Ⅱ）的(de)(de)重要區別在于（Ⅱ）的(de)(de)勢(shi)(shi)大于（Ⅰ）的(de)(de)勢(shi)(shi)。在《基礎》的(de)(de)第(di)十三章，康托爾第(di)一(yi)(yi)次指出(chu)(chu)，數(shu)類（Ⅱ）的(de)(de)勢(shi)(shi)是(shi)緊跟在數(shu)類（Ⅰ）的(de)(de)勢(shi)(shi)之后的(de)(de)勢(shi)(shi)。
在《基(ji)礎》中(zhong)，康托(tuo)爾(er)還給出了良(liang)序集(ji)和無窮(qiong)良(liang)序集(ji)編(bian)號的(de)概念，指出整(zheng)個超(chao)窮(qiong)數的(de)集(ji)合是良(liang)序的(de)，而且任何無窮(qiong)良(liang)序集(ji)，都存在唯一的(de)一個第(di)二數類中(zhong)的(de)數作(zuo)為(wei)表(biao)示它的(de)順序特性的(de)編(bian)號。康托(tuo)爾(er)還借助(zhu)良(liang)序集(ji)定義(yi)了超(chao)窮(qiong)數的(de)加法、乘法及其(qi)逆運算。
《對(dui)超窮(qiong)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)(lun)(lun)基礎的(de)獻文(wen)》是康(kang)托(tuo)爾最后一部(bu)(bu)重要(yao)的(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)著作，經歷了20年之久(jiu)的(de)艱(jian)苦(ku)探索，康(kang)托(tuo)尓(er)希(xi)望系統(tong)地總結一下超窮(qiong)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)理論(lun)(lun)(lun)嚴(yan)格的(de)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)基礎。《獻文(wen)》分兩(liang)部(bu)(bu)分，第一部(bu)(bu)分是“全序集(ji)合(he)(he)(he)的(de)研究(jiu)”，于1895年5月在(zai)《數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)年鑒》上發表。第二部(bu)(bu)分于1897年5月在(zai)《數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)年鑒》上發表，是關于“良序集(ji)的(de)研究(jiu)”。《獻文(wen)》的(de)發表標志集(ji)合(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)已從點集(ji)論(lun)(lun)(lun)過渡到抽象集(ji)合(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)。但是，由于它(ta)還不是公理化(hua)的(de)，而且它(ta)的(de)某些(xie)邏(luo)輯前(qian)提和某些(xie)證明方法(fa)如不給(gei)予(yu)適當的(de)限制(zhi)便會導(dao)出悖論(lun)(lun)(lun)，所以(yi)康(kang)托(tuo)爾的(de)集(ji)合(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)通常成(cheng)為古典集(ji)合(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)或樸素集(ji)合(he)(he)(he)論(lun)(lun)(lun)。
