康(kang)托爾，1862年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)入蘇黎世(shi)大(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)學(xue)(xue)(xue)(xue)工(gong),翌年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)轉入柏林大(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)攻讀數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)和(he)神(shen)(shen)學(xue)(xue)(xue)(xue)，受教于庫(ku)默爾（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、維爾斯特(te)拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和(he)克羅內(nei)克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)曾(ceng)去(qu)格丁(ding)根學(xue)(xue)(xue)(xue)習一學(xue)(xue)(xue)(xue)期。1867年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)在(zai)(zai)庫(ku)默爾指導(dao)下以解決一般(ban)整系數(shu)(shu)不(bu)定方程ax2+by2+cz2=0求解問題(ti)的(de)(de)論文獲博士(shi)學(xue)(xue)(xue)(xue)位。畢業后受魏爾斯特(te)拉斯的(de)(de)直接影響，由數(shu)(shu)論轉向(xiang)嚴格的(de)(de)分析理論的(de)(de)研(yan)究，不(bu)久(jiu)嶄露頭角。他在(zai)(zai)哈(ha)雷(lei)大(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)任教（1869-1913）的(de)(de)初(chu)期證明了復合(he)變量函數(shu)(shu)三角級數(shu)(shu)展開的(de)(de)唯一性，繼(ji)而(er)用有理數(shu)(shu)列極限定義無理數(shu)(shu)。1872年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)成為該校副教授，1879年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)任教授。由于學(xue)(xue)(xue)(xue)術(shu)觀(guan)點上受到的(de)(de)沉重打擊(ji)，康(kang)托爾曾(ceng)一度(du)患精神(shen)(shen)分裂癥，雖(sui)在(zai)(zai)1887年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)恢復了健康(kang)，繼(ji)續工(gong)作，但晚(wan)年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)一直病(bing)魔纏(chan)身。1918年(nian)(nian)(nian)(nian)(nian)1月6日在(zai)(zai)德國(guo)哈(ha)雷(lei)（Halle）-維滕貝格大(da)學(xue)(xue)(xue)(xue)附屬精神(shen)(shen)病(bing)院去(qu)世(shi)。
康托(tuo)爾(er)愛好(hao)廣泛(fan)，極有個性，終身信(xin)奉宗教。早(zao)期(qi)在數(shu)(shu)學(xue)(xue)方面的(de)興(xing)趣是(shi)數(shu)(shu)論(lun)，1870年(nian)開(kai)始研究三(san)角級數(shu)(shu)并(bing)由(you)此導致19世(shi)紀末(mo)、20世(shi)紀初(chu)最偉(wei)大(da)的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)成就——集(ji)合(he)論(lun)和超窮數(shu)(shu)理(li)論(lun)的(de)建立(li)(li)。除此之外，他還努(nu)力探討在新理(li)論(lun)創(chuang)立(li)(li)過(guo)程中所涉及的(de)數(shu)(shu)理(li)哲學(xue)(xue)問題.1888-1893年(nian)康托(tuo)爾(er)任(ren)柏林數(shu)(shu)學(xue)(xue)會(hui)第(di)一任(ren)會(hui)長，1890年(nian)領(ling)導創(chuang)立(li)(li)德國數(shu)(shu)學(xue)(xue)家聯合(he)會(hui)并(bing)任(ren)首屆主席。
康托爾對數(shu)學的貢獻是集合(he)論(lun)和(he)超窮數(shu)理論(lun)。
兩千多年來，科學(xue)(xue)家們接觸到無(wu)(wu)窮，卻又無(wu)(wu)力去(qu)把握和認識它(ta)，這的(de)確是(shi)向人(ren)(ren)類提出的(de)尖銳挑戰。康托(tuo)爾以其(qi)思維(wei)之獨特，想象力之豐富，方法之新(xin)穎繪(hui)制(zhi)了一幅人(ren)(ren)類智慧(hui)的(de)精(jing)品——集合論和超(chao)窮數理(li)論，令19、20世紀之交的(de)整個數學(xue)(xue)界(jie)、甚(shen)至哲學(xue)(xue)界(jie)感到震驚(jing)。可以毫不夸張地(di)講(jiang)，“關于數學(xue)(xue)無(wu)(wu)窮的(de)革命幾(ji)乎是(shi)由他(ta)一個人(ren)(ren)獨立完成的(de)。”
19世(shi)紀(ji)由于分析的嚴格化和函數(shu)(shu)(shu)論(lun)的發展，數(shu)(shu)(shu)學(xue)家們提出了(le)一系列重要問題，并對無理(li)(li)數(shu)(shu)(shu)理(li)(li)論(lun)、不(bu)連續(xu)函數(shu)(shu)(shu)理(li)(li)論(lun)進(jin)行認(ren)真考察，這方面的研究成果為康托爾后(hou)來的工作奠定了(le)必要的思想基礎。
康(kang)托(tuo)爾(er)是(shi)(shi)在(zai)尋(xun)找函數展開(kai)為三(san)角(jiao)級(ji)數表示(shi)的(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)性(xing)判別(bie)準則的(de)(de)(de)工(gong)作中，認識(shi)(shi)到無窮(qiong)集(ji)合(he)的(de)(de)(de)重(zhong)(zhong)要性(xing)，并(bing)(bing)開(kai)始從事無窮(qiong)集(ji)合(he)的(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)般理論(lun)研(yan)究。早在(zai)1870年(nian)(nian)和1871年(nian)(nian)，康(kang)托(tuo)爾(er)兩次在(zai)《數學雜志》上(shang)發表論(lun)文(wen)，證明了(le)(le)(le)(le)函數f(x)的(de)(de)(de)三(san)角(jiao)級(ji)數表示(shi)的(de)(de)(de)唯一(yi)(yi)(yi)性(xing)定(ding)(ding)理，而且證明了(le)(le)(le)(le)即使(shi)在(zai)有限個(ge)間(jian)斷點(dian)(dian)處不收斂(lian)，定(ding)(ding)理仍(reng)然成(cheng)立。1872年(nian)(nian)他(ta)在(zai)《數學年(nian)(nian)鑒(jian)》上(shang)發表了(le)(le)(le)(le)一(yi)(yi)(yi)篇題為《三(san)角(jiao)級(ji)數中一(yi)(yi)(yi)個(ge)定(ding)(ding)理的(de)(de)(de)推廣》的(de)(de)(de)論(lun)文(wen)，把唯一(yi)(yi)(yi)性(xing)的(de)(de)(de)結果(guo)推廣到允(yun)許例外值是(shi)(shi)某種(zhong)(zhong)無窮(qiong)的(de)(de)(de)集(ji)合(he)情形。為了(le)(le)(le)(le)描述(shu)這種(zhong)(zhong)集(ji)合(he)，他(ta)首先定(ding)(ding)義了(le)(le)(le)(le)點(dian)(dian)集(ji)的(de)(de)(de)極限點(dian)(dian)，然后(hou)引進了(le)(le)(le)(le)點(dian)(dian)集(ji)的(de)(de)(de)導集(ji)和導集(ji)的(de)(de)(de)導集(ji)等(deng)有關重(zhong)(zhong)要概念(nian)。這是(shi)(shi)從唯一(yi)(yi)(yi)性(xing)問題的(de)(de)(de)探索向點(dian)(dian)集(ji)論(lun)研(yan)究的(de)(de)(de)開(kai)端，并(bing)(bing)為點(dian)(dian)集(ji)論(lun)奠(dian)定(ding)(ding)了(le)(le)(le)(le)理論(lun)基礎。以后(hou)，他(ta)又在(zai)《數學年(nian)(nian)鑒(jian)》和《數學雜志》兩刊上(shang)發表了(le)(le)(le)(le)許多文(wen)章。他(ta)稱集(ji)合(he)為一(yi)(yi)(yi)些確定(ding)(ding)的(de)(de)(de)、不同(tong)的(de)(de)(de)東(dong)西(xi)的(de)(de)(de)總(zong)體，這些東(dong)西(xi)人們能意識(shi)(shi)到并(bing)(bing)且能判斷一(yi)(yi)(yi)個(ge)給定(ding)(ding)的(de)(de)(de)東(dong)西(xi)是(shi)(shi)否屬于這個(ge)總(zong)體。他(ta)還指(zhi)出，如果(guo)一(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)合(he)能夠和它(ta)的(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)部分構成(cheng)一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對應，它(ta)就是(shi)(shi)無窮(qiong)的(de)(de)(de)。他(ta)又給出了(le)(le)(le)(le)開(kai)集(ji)、閉集(ji)和完全集(ji)等(deng)重(zhong)(zhong)要概念(nian)，并(bing)(bing)定(ding)(ding)義了(le)(le)(le)(le)集(ji)合(he)的(de)(de)(de)并(bing)(bing)與(yu)交兩種(zhong)(zhong)運算。
為(wei)(wei)了(le)將有窮(qiong)集合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素個(ge)(ge)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念推廣到無窮(qiong)集合(he)，他(ta)以一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)為(wei)(wei)原則，提(ti)出(chu)了(le)集合(he)等價的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念。兩個(ge)(ge)集合(he)只有它們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)元(yuan)素間(jian)(jian)可(ke)(ke)以建立一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)才稱為(wei)(wei)是(shi)(shi)(shi)(shi)等價的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這樣就(jiu)第一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)次(ci)對(dui)(dui)(dui)各(ge)種無窮(qiong)集合(he)按它們(men)元(yuan)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“多少”進行(xing)了(le)分(fen)類。他(ta)還引進了(le)“可(ke)(ke)列(lie)(lie)”這個(ge)(ge)概(gai)念，把凡是(shi)(shi)(shi)(shi)能和正整數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)構(gou)成(cheng)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)任何一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)集合(he)都稱為(wei)(wei)可(ke)(ke)列(lie)(lie)集合(he)。1874年(nian)他(ta)在(zai)(zai)(zai)《數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)雜志(zhi)》上(shang)發表(biao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)中，證明(ming)了(le)有理(li)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)集合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，后來他(ta)還證明(ming)了(le)所有的(de)(de)(de)(de)(de)(de)代數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)全(quan)體構(gou)成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)集合(he)也是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。至于實數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)集合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)否(fou)可(ke)(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題，1873年(nian)康托爾(er)給(gei)戴(dai)德(de)金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)封信中提(ti)出(chu)過，但不(bu)久他(ta)自(zi)己得(de)到回答：實數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)集合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可(ke)(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。由(you)于實數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)集合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)可(ke)(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，而代數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)集合(he)是(shi)(shi)(shi)(shi)可(ke)(ke)列(lie)(lie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，于是(shi)(shi)(shi)(shi)他(ta)得(de)到了(le)必定有超越(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)存在(zai)(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)，而且超越(yue)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)“大大多于”代數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。同年(nian)又構(gou)造(zao)了(le)實變函數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)中著名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)“康托爾(er)集”,給(gei)出(chu)測度為(wei)(wei)零的(de)(de)(de)(de)(de)(de)不(bu)可(ke)(ke)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)集的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)例子。他(ta)還巧妙地將一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)(tiao)直線上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點與(yu)整個(ge)(ge)平面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)起來，甚至可(ke)(ke)以將直線與(yu)整個(ge)(ge)n維空間(jian)(jian)進行(xing)點的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)應(ying)(ying)(ying)。從1879年(nian)到1883年(nian)，康托爾(er)寫了(le)六篇(pian)系(xi)列(lie)(lie)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)，論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)總題目是(shi)(shi)(shi)(shi)“論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)無窮(qiong)線形點流(liu)形”，其(qi)中前四篇(pian)同以前的(de)(de)(de)(de)(de)(de)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)類似，討論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)了(le)集合(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)些數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)成(cheng)果，特別是(shi)(shi)(shi)(shi)涉(she)及集合(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)在(zai)(zai)(zai)分(fen)析上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)些有趣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)應(ying)(ying)(ying)用。第五篇(pian)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)后來以單(dan)行(xing)本出(chu)版，單(dan)行(xing)本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)書名《一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)般(ban)集合(he)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)基(ji)礎》。第六篇(pian)論(lun)(lun)(lun)(lun)(lun)文(wen)是(shi)(shi)(shi)(shi)第五篇(pian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)補(bu)充。康托爾(er)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信條(tiao)(tiao)是(shi)(shi)(shi)(shi)：“數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)在(zai)(zai)(zai)它自(zi)身的(de)(de)(de)(de)(de)(de)發展中完全(quan)是(shi)(shi)(shi)(shi)自(zi)由(you)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，對(dui)(dui)(dui)他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念限制只在(zai)(zai)(zai)于：必須是(shi)(shi)(shi)(shi)無矛盾(dun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，并且與(yu)由(you)確切定義(yi)引進的(de)(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念相協(xie)調。……數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)本質就(jiu)在(zai)(zai)(zai)于它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)自(zi)由(you)。”
《一般集合(he)論基(ji)礎(chu)》（以下簡(jian)稱《基(ji)礎(chu)》）在(zai)數學上的主要成果(guo)是引(yin)進超窮數，在(zai)具體展(zhan)開這一理論的過程中，康托(tuo)爾應(ying)用(yong)了以下幾條原則：
第一生成原則：從任一給(gei)點的數(shu)出(chu)發，通過相繼加(jia)1（個(ge)單位）可得到(dao)它的后繼數(shu)。
第二生成原(yuan)則(ze)：任給一(yi)個其中(zhong)無最大數的序列，可產生一(yi)個作為(wei)該序列極限的新(xin)數，它定義為(wei)大于此序列中(zhong)所有(you)數的后繼數。
第三(san)（限(xian)制）原(yuan)則：保證在上述超(chao)窮序(xu)列中(zhong)產生一種(zhong)自然中(zhong)斷，使(shi)第二數類有一個確定極限(xian)，從而形成更大數類。
反(fan)復應用(yong)三個原(yuan)則，得到超(chao)窮數(shu)的(de)序列
ω，ω1，ω2，…
利用(yong)先前引(yin)入的(de)(de)(de)集合的(de)(de)(de)勢的(de)(de)(de)概(gai)念，康托爾指(zhi)出，第(di)一(yi)數類(lei)（Ⅰ）和第(di)二數類(lei)（Ⅱ）的(de)(de)(de)重(zhong)要(yao)區別在(zai)于（Ⅱ）的(de)(de)(de)勢大(da)于（Ⅰ）的(de)(de)(de)勢。在(zai)《基礎》的(de)(de)(de)第(di)十三章(zhang)，康托爾第(di)一(yi)次(ci)指(zhi)出，數類(lei)（Ⅱ）的(de)(de)(de)勢是緊(jin)跟在(zai)數類(lei)（Ⅰ）的(de)(de)(de)勢之后的(de)(de)(de)勢。
在《基(ji)礎(chu)》中，康托爾還給出(chu)了良(liang)(liang)序(xu)集和無窮(qiong)良(liang)(liang)序(xu)集編號的(de)(de)概念，指出(chu)整個超窮(qiong)數(shu)的(de)(de)集合是良(liang)(liang)序(xu)的(de)(de)，而且任何(he)無窮(qiong)良(liang)(liang)序(xu)集，都(dou)存(cun)在唯一的(de)(de)一個第二數(shu)類中的(de)(de)數(shu)作為表示它的(de)(de)順序(xu)特(te)性的(de)(de)編號。康托爾還借助良(liang)(liang)序(xu)集定義(yi)了超窮(qiong)數(shu)的(de)(de)加法(fa)、乘法(fa)及其逆運算。
《對(dui)超窮(qiong)數論基(ji)礎(chu)的(de)(de)獻(xian)文》是(shi)康托爾最后(hou)一(yi)部(bu)重要的(de)(de)數學著作，經歷(li)了(le)20年之久的(de)(de)艱(jian)苦探索，康托尓希望(wang)系統地總結(jie)一(yi)下(xia)超窮(qiong)數理(li)論嚴格的(de)(de)數學基(ji)礎(chu)。《獻(xian)文》分(fen)兩(liang)部(bu)分(fen)，第一(yi)部(bu)分(fen)是(shi)“全序(xu)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)研究”，于1895年5月在《數學年鑒(jian)》上發(fa)表。第二(er)部(bu)分(fen)于1897年5月在《數學年鑒(jian)》上發(fa)表，是(shi)關于“良序(xu)集(ji)(ji)的(de)(de)研究”。《獻(xian)文》的(de)(de)發(fa)表標志集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論已從點集(ji)(ji)論過(guo)渡(du)到抽象集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論。但是(shi)，由于它(ta)還不是(shi)公理(li)化的(de)(de)，而且(qie)它(ta)的(de)(de)某些(xie)邏輯(ji)前(qian)提和某些(xie)證(zheng)明方法如(ru)不給予適(shi)當的(de)(de)限制便(bian)會導出悖(bei)論，所以康托爾的(de)(de)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論通常成為古(gu)典集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論或樸(pu)素集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論。
