《九章算術》約成書于(yu)東漢之初，共有246個問題的解法。在許多方面：如(ru)解聯立方程，分數四則運(yun)(yun)算，正負數運(yun)(yun)算，幾何圖(tu)形的體積(ji)面積(ji)計算等，都屬于(yu)世(shi)界(jie)先進之列。劉徽在曹魏景初四年注(zhu)《九章算術注(zhu)》。
但(dan)因解(jie)法(fa)(fa)(fa)(fa)比較原(yuan)始，缺乏必要的(de)(de)(de)(de)(de)證(zheng)明(ming)，劉徽則(ze)對此均作(zuo)了(le)補(bu)充證(zheng)明(ming)。在這(zhe)些證(zheng)明(ming)中(zhong)(zhong)，顯示了(le)他在眾(zhong)多(duo)方面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)創造性貢(gong)獻。他是世(shi)界上最早(zao)提(ti)出十進小(xiao)數概(gai)念的(de)(de)(de)(de)(de)人，并(bing)(bing)用十進小(xiao)數來表示無理(li)數的(de)(de)(de)(de)(de)立方根。在代數方面(mian)，他正(zheng)(zheng)確地提(ti)出了(le)正(zheng)(zheng)負數的(de)(de)(de)(de)(de)概(gai)念及其加減運算(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)法(fa)(fa)(fa)(fa)則(ze)，改進了(le)線性方程組(zu)的(de)(de)(de)(de)(de)解(jie)法(fa)(fa)(fa)(fa)。在幾何方面(mian)，提(ti)出了(le)"割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術"，即將圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周用內(nei)(nei)接或外切正(zheng)(zheng)多(duo)邊(bian)(bian)形窮竭的(de)(de)(de)(de)(de)一種求圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)積和圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周長的(de)(de)(de)(de)(de)方法(fa)(fa)(fa)(fa)。他利用割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術科(ke)學(xue)(xue)地求出了(le)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)π=3.1416的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果。他用割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術，從直徑為2尺的(de)(de)(de)(de)(de)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)內(nei)(nei)接正(zheng)(zheng)六邊(bian)(bian)形開始割(ge)(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)，依(yi)次(ci)得正(zheng)(zheng)12邊(bian)(bian)形、正(zheng)(zheng)24邊(bian)(bian)形……，割(ge)(ge)得越(yue)細，正(zheng)(zheng)多(duo)邊(bian)(bian)形面(mian)積和圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)積之差越(yue)小(xiao)，用他的(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)話說是“割(ge)(ge)之彌細，所(suo)失彌少，割(ge)(ge)之又割(ge)(ge)，以至于不可割(ge)(ge)，則(ze)與圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周合體而無所(suo)失矣。”他計(ji)算(suan)了(le)3072邊(bian)(bian)形面(mian)積并(bing)(bing)驗(yan)證(zheng)了(le)這(zhe)個值。劉徽提(ti)出的(de)(de)(de)(de)(de)計(ji)算(suan)圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)的(de)(de)(de)(de)(de)科(ke)學(xue)(xue)方法(fa)(fa)(fa)(fa)，奠定了(le)此后千余年來中(zhong)(zhong)國圓(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)周率(lv)計(ji)算(suan)在世(shi)界上的(de)(de)(de)(de)(de)領先地位。
劉徽在數(shu)(shu)學上的(de)(de)(de)貢獻極多(duo)，在開方(fang)(fang)(fang)不盡的(de)(de)(de)問題中(zhong)提出(chu)“求(qiu)徽數(shu)(shu)”的(de)(de)(de)思(si)想(xiang)，這(zhe)方(fang)(fang)(fang)法與后來(lai)求(qiu)無理(li)根的(de)(de)(de)近似值(zhi)的(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)法一(yi)致(zhi)，它(ta)不僅(jin)是圓周率精確(que)計算(suan)的(de)(de)(de)必要條件，而(er)且促進(jin)了十進(jin)小數(shu)(shu)的(de)(de)(de)產(chan)生；在線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組解法中(zhong)，他創(chuang)造了比直除法更簡便(bian)的(de)(de)(de)互乘相消法，與現今解法基本一(yi)致(zhi)；并(bing)在中(zhong)國數(shu)(shu)學史上第一(yi)次(ci)提出(chu)了“不定方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)問題”；他還(huan)建立了等(deng)(deng)差級(ji)數(shu)(shu)前n項(xiang)和公式；提出(chu)并(bing)定義了許多(duo)數(shu)(shu)學概念(nian)：如冪（面(mian)積）；方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)（線性方(fang)(fang)(fang)程(cheng)(cheng)組）；正(zheng)負數(shu)(shu)等(deng)(deng)等(deng)(deng)．劉徽還(huan)提出(chu)了許多(duo)公認正(zheng)確(que)的(de)(de)(de)判(pan)斷作為(wei)證明(ming)的(de)(de)(de)前提．他的(de)(de)(de)大(da)多(duo)數(shu)(shu)推理(li)、證明(ming)都(dou)合乎邏輯，十分嚴謹，從而(er)把《九章算(suan)術(shu)(shu)》及他自(zi)己提出(chu)的(de)(de)(de)解法、公式建立在必然(ran)性的(de)(de)(de)基礎之上。雖(sui)然(ran)劉徽沒有寫出(chu)自(zi)成體(ti)系的(de)(de)(de)著作，但他注《九章算(suan)術(shu)(shu)》所運(yun)用的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學知(zhi)識，實際上已經形成了一(yi)個獨具特色、包(bao)括概念(nian)和判(pan)斷、并(bing)以數(shu)(shu)學證明(ming)為(wei)其聯系紐(niu)帶的(de)(de)(de)理(li)論體(ti)系。
劉徽在割圓術中(zhong)提出的"割之彌(mi)細(xi)，所失彌(mi)少，割之又割以至于(yu)不可(ke)割，則與圓合體(ti)而無所失矣"，這可(ke)視為中(zhong)國古代(dai)極限觀念(nian)的佳作。《海島算經》一書中(zhong)，劉徽精心(xin)選編了九個測量問題，這些(xie)題目(mu)的創造(zao)性(xing)、復雜性(xing)和(he)富有(you)代(dai)表性(xing)，都(dou)在當(dang)時為西方(fang)所矚目(mu)。劉徽思想敏捷，方(fang)法靈活，既提倡推理又主(zhu)張直觀。他是我(wo)國最早明確主(zhu)張用邏輯(ji)推理的方(fang)式(shi)來論證數學命題的人。精確到了小(xiao)數點(dian)后5位。
劉徽其代表(biao)作《九(jiu)章(zhang)算(suan)術注(zhu)》是對《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》一書的(de)(de)(de)注(zhu)解。《九(jiu)章(zhang)算(suan)術》是中(zhong)國(guo)流(liu)傳至今(jin)最古老的(de)(de)(de)數學(xue)專著之(zhi)(zhi)一，它成書于西漢時(shi)期。這(zhe)部書的(de)(de)(de)完成經過(guo)(guo)了一段(duan)歷(li)史過(guo)(guo)程(cheng)，書中(zhong)所收集的(de)(de)(de)各種數學(xue)問題(ti)，有些是秦以前流(liu)傳的(de)(de)(de)問題(ti)，長期以來(lai)經過(guo)(guo)多(duo)人(ren)刪補、修訂，最后由西漢時(shi)期的(de)(de)(de)數學(xue)家整(zheng)理完成。現今(jin)流(liu)傳的(de)(de)(de)定本的(de)(de)(de)內容在(zai)東(dong)漢之(zhi)(zhi)前已(yi)經形成。
《九(jiu)章(zhang)算術》是中(zhong)國(guo)(guo)最重(zhong)要(yao)的(de)(de)一部經典數學(xue)著作，它的(de)(de)完(wan)成(cheng)奠定了(le)中(zhong)國(guo)(guo)古代數學(xue)發展的(de)(de)基礎，在中(zhong)國(guo)(guo)數學(xue)史上占有極為重(zhong)要(yao)的(de)(de)地(di)位(wei)。現傳(chuan)本《九(jiu)章(zhang)算術》共(gong)收(shou)集了(le)246個(ge)應用問(wen)題和各種問(wen)題的(de)(de)解法，分別(bie)隸屬(shu)于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均(jun)輸、盈不足、方程、勾股九(jiu)章(zhang)。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)產生是社會發展和(he)數學知(zhi)識長期積累的(de)(de)結(jie)果，它匯集了不同時(shi)期數學家(jia)的(de)(de)勞動成果。三國(guo)時(shi)的(de)(de)數學家(jia)劉徽(hui)認為(wei)：“周(zhou)公制禮有九(jiu)數，九(jiu)數之流，則《九(jiu)章(zhang)(zhang)》是矣。……漢(han)(han)北平(ping)侯張蒼(cang)、大司農中(zhong)丞耿(geng)壽昌皆以善算(suan)(suan)命世(shi)。蒼(cang)等因舊文之遺(yi)殘，各(ge)稱刪補。故(gu)校(xiao)其目則與(yu)古或(huo)異，而所論多近語也(ye)。”根(gen)據劉徽(hui)的(de)(de)考證結(jie)果，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》源于周(zhou)公時(shi)代的(de)(de)“九(jiu)數”，而他所見到的(de)(de)《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》是西漢(han)(han)時(shi)的(de)(de)張蒼(cang)、耿(geng)壽昌在先秦(qin)遺(yi)文的(de)(de)基礎上(shang)刪補而成的(de)(de)，其中(zhong)包括了大量西漢(han)(han)時(shi)補充的(de)(de)內容。根(gen)據歷(li)史(shi)文獻和(he)出土文物資(zi)料來(lai)分析，劉徽(hui)所言(yan)是可信(xin)的(de)(de)。
《九章算(suan)(suan)術(shu)》所(suo)包含(han)的(de)各種(zhong)算(suan)(suan)法是漢朝(chao)數(shu)(shu)學(xue)家們在秦(qin)以(yi)前(qian)流(liu)傳下(xia)來的(de)數(shu)(shu)學(xue)基(ji)礎上，適應當(dang)時的(de)需要(yao)補充修訂(ding)而(er)成(cheng)的(de)。按(an)照劉(liu)徽(hui)的(de)考(kao)證，張(zhang)(zhang)蒼和耿(geng)(geng)壽(shou)(shou)昌(chang)(chang)(chang)都(dou)是參加過修訂(ding)工作的(de)主要(yao)數(shu)(shu)學(xue)家。《史記(ji)·張(zhang)(zhang)丞(cheng)相(xiang)列傳》記(ji)載，張(zhang)(zhang)蒼（約公(gong)元前(qian)250～公(gong)元前(qian)152）經歷了秦(qin)、漢兩個朝(chao)代(dai)，他(ta)(ta)在高帝六年(nian)(nian)（公(gong)元前(qian)201年(nian)(nian)）以(yi)攻藏茶有功封為北平(ping)侯。“自秦(qin)時為柱下(xia)史，明天下(xia)圖(tu)書(shu)計籍。又善用算(suan)(suan)律歷。”他(ta)(ta)還“著書(shu)18篇(pian)，言(yan)陰(yin)陽律歷事(shi)。”耿(geng)(geng)壽(shou)(shou)昌(chang)(chang)(chang)的(de)生年(nian)(nian)年(nian)(nian)代(dai)不詳(xiang)，漢宣帝時官至大司農中(zhong)丞(cheng)，“以(yi)善為算(suan)(suan)，能商(shang)功利”得(de)寵(chong)于皇帝（見(jian)《漢書(shu)·食(shi)貨志》）。他(ta)(ta)于天文學(xue)主張(zhang)(zhang)渾(hun)天說，甘(gan)露二(er)年(nian)(nian)（公(gong)元前(qian)52年(nian)(nian)）奏(zou)“以(yi)圓儀度日(ri)月行(xing)，考(kao)驗天運狀”（見(jian)《后(hou)漢書(shu)·律歷志》）。張(zhang)(zhang)蒼和耿(geng)(geng)壽(shou)(shou)昌(chang)(chang)(chang)都(dou)是數(shu)(shu)學(xue)名家，又身居(ju)高位，由他(ta)(ta)們主持(chi)修訂(ding)先秦(qin)流(liu)傳下(xia)來的(de)《算(suan)(suan)術(shu)》是很自然的(de)事(shi)情。根據(ju)劉(liu)徽(hui)的(de)記(ji)載，他(ta)(ta)所(suo)注釋的(de)《九章算(suan)(suan)術(shu)》最后(hou)是由耿(geng)(geng)壽(shou)(shou)昌(chang)(chang)(chang)刪定(ding)的(de)。我們認(ren)為耿(geng)(geng)壽(shou)(shou)昌(chang)(chang)(chang)刪補《九章算(suan)(suan)術(shu)》的(de)年(nian)(nian)代(dai)可以(yi)定(ding)為這部書(shu)完成(cheng)的(de)年(nian)(nian)代(dai)。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》是由國家組織力(li)量編纂的(de)(de)(de)(de)一(yi)部官方(fang)性數(shu)學(xue)(xue)教(jiao)(jiao)科書(shu)(shu)(shu)，對兩漢(han)(han)(han)時(shi)期(qi)數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)發展產生(sheng)了很(hen)大的(de)(de)(de)(de)影響。《廣(guang)(guang)韻》卷(juan)四有“九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)術(shu)，漢(han)(han)(han)許(xu)商(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)、吳陳熾、王粲并(bing)善之”，《后(hou)漢(han)(han)(han)書(shu)(shu)(shu)·馬(ma)援傳》有馬(ma)續（約70～141年(nian)）“博(bo)觀群籍，善九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)”負記(ji)載(zai)。此(ci)外(wai)，史書(shu)(shu)(shu)中還有鄭玄（127～200年(nian)）、劉洪等(deng)人“通九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)”的(de)(de)(de)(de)記(ji)述。可知該書(shu)(shu)(shu)是當(dang)時(shi)學(xue)(xue)習(xi)數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)重要教(jiao)(jiao)材，在(zai)東(dong)漢(han)(han)(han)光和(he)二年(nian)（179）一(yi)塊銅版(ban)上的(de)(de)(de)(de)銘(ming)文規定：“大司農以(yi)戊寅（138？）詔書(shu)(shu)(shu)，……特更為(wei)諸(zhu)州作(zuo)銅斗(dou)、斜、稱(cheng)。依黃鐘律(lv)歷，《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》以(yi)均長短、輕重、大小，以(yi)齊七政，令海內都同。”這說明該書(shu)(shu)(shu)在(zai)東(dong)漢(han)(han)(han)時(shi)期(qi)不僅廣(guang)(guang)為(wei)流傳，而且度量衡研(yan)(yan)制涉及的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)問題(ti)也要以(yi)書(shu)(shu)(shu)中的(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)法(fa)為(wei)依據(ju)。許(xu)商(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)可能(neng)是《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)書(shu)(shu)(shu)》成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)后(hou)最早研(yan)(yan)究過該書(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家。許(xu)商(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)都是西漢(han)(han)(han)后(hou)期(qi)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)家。《漢(han)(han)(han)書(shu)(shu)(shu)·藝(yi)文志(zhi)(zhi)》著(zhu)(zhu)錄有《許(xu)商(shang)(shang)算(suan)(suan)術(shu)》26卷(juan)、《杜志(zhi)(zhi)算(suan)(suan)術(shu)》16卷(juan)。這兩部書(shu)(shu)(shu)都是漢(han)(han)(han)成(cheng)(cheng)帝三(san)年(nian)（前26）尹咸校對數(shu)術(shu)著(zhu)(zhu)作(zuo)之前撰寫的(de)(de)(de)(de)。許(xu)商(shang)(shang)、杜志(zhi)(zhi)的(de)(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作(zuo)完(wan)成(cheng)(cheng)年(nian)代與耿(geng)壽昌刪補《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)年(nian)代相去不遠，他(ta)們的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作(zuo)應當(dang)是在(zai)研(yan)(yan)究了《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)(zhang)(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》的(de)(de)(de)(de)基礎上完(wan)成(cheng)(cheng)的(de)(de)(de)(de)。
《九章(zhang)算(suan)術(shu)》不僅在(zai)中國數學史上占有(you)重(zhong)要地位(wei)，對世界數學的(de)(de)(de)發(fa)展也有(you)著重(zhong)要的(de)(de)(de)貢獻。分(fen)數理論(lun)及(ji)其(qi)完整的(de)(de)(de)算(suan)法(fa)(fa)(fa)，比例和比例分(fen)配(pei)算(suan)法(fa)(fa)(fa)，面積和體積算(suan)法(fa)(fa)(fa)，以及(ji)各類應用(yong)問題的(de)(de)(de)解法(fa)(fa)(fa)，在(zai)書中的(de)(de)(de)方(fang)田、粟米、衰(shuai)分(fen)、商功、均輸等章(zhang)已有(you)了相當詳備的(de)(de)(de)敘述。而少廣、盈不足、方(fang)程、勾(gou)股等章(zhang)中的(de)(de)(de)開立(li)方(fang)法(fa)(fa)(fa)、盈不足術(shu)（雙假設(she)法(fa)(fa)(fa)）、正負數概念、線性聯立(li)方(fang)程組(zu)解法(fa)(fa)(fa)、整數勾(gou)股弦的(de)(de)(de)一(yi)般公(gong)式等內容都是(shi)世界數學史上的(de)(de)(de)卓越成就(jiu)。 傳本《九章(zhang)算(suan)術(shu)》有(you)劉徽注(zhu)和唐李淳風(feng)等的(de)(de)(de)注(zhu)釋。
劉(liu)(liu)(liu)徽(hui)是中國(guo)古(gu)(gu)代(dai)(dai)杰(jie)出(chu)的(de)(de)(de)(de)數學(xue)家，他(ta)生(sheng)活在(zai)(zai)三國(guo)時代(dai)(dai)的(de)(de)(de)(de)魏國(guo)。《隋書·律歷志》論(lun)(lun)歷代(dai)(dai)量制引商(shang)功章(zhang)(zhang)注(zhu)，說(shuo)“魏陳留王(wang)景元(yuan)四年（263）劉(liu)(liu)(liu)徽(hui)注(zhu)《九(jiu)章(zhang)(zhang)》。”他(ta)的(de)(de)(de)(de)生(sheng)平(ping)不(bu)可(ke)詳(xiang)考。劉(liu)(liu)(liu)徽(hui)的(de)(de)(de)(de)《九(jiu)章(zhang)(zhang)》注(zhu)不(bu)僅在(zai)(zai)整理(li)(li)古(gu)(gu)代(dai)(dai)數學(xue)體(ti)系和(he)(he)完善(shan)古(gu)(gu)算(suan) 理(li)(li)論(lun)(lun)方(fang)面(mian)取(qu)得了(le)(le)重(zhong)要成就，而且提出(chu)了(le)(le)豐富(fu)多彩的(de)(de)(de)(de)創見和(he)(he)發(fa)明。劉(liu)(liu)(liu)徽(hui)在(zai)(zai)算(suan)術、代(dai)(dai)數、幾何等方(fang)面(mian)都有(you)(you)杰(jie)出(chu)的(de)(de)(de)(de)貢(gong)獻。例如，他(ta)用(yong)比率理(li)(li)論(lun)(lun)建立了(le)(le)數與式的(de)(de)(de)(de)統一(yi)的(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論(lun)(lun)基礎(chu)，他(ta)應用(yong)了(le)(le)出(chu)入(ru)相補原理(li)(li)和(he)(he)極(ji)限方(fang)法(fa)解(jie)決了(le)(le)許多面(mian)積(ji)和(he)(he)體(ti)積(ji)問(wen)題，建立了(le)(le)獨具風格的(de)(de)(de)(de)面(mian)積(ji)和(he)(he)體(ti)積(ji)理(li)(li)論(lun)(lun)。他(ta)對(dui)《九(jiu)章(zhang)(zhang)》中的(de)(de)(de)(de)許多結論(lun)(lun)給出(chu)了(le)(le)嚴格的(de)(de)(de)(de)證明，他(ta)的(de)(de)(de)(de)一(yi)些(xie)方(fang)法(fa)對(dui)后(hou)世有(you)(you)很(hen)大啟發(fa)，即使對(dui)現今數學(xue)也有(you)(you)可(ke)借(jie)鑒之處。
劉徽(hui)的數(shu)學成就大致為兩方面：
一是整理(li)中(zhong)國古代(dai)數學體系并奠定了它(ta)(ta)的(de)理(li)論基(ji)礎，這方面(mian)集(ji)中(zhong)體現在《九章(zhang)算術注》中(zhong)。它(ta)(ta)實已形成為一個比較完整的(de)理(li)論體系：
數系理論
用數的(de)(de)同類與異類闡述了(le)(le)通分、約分、四則運算，以及繁分數化簡等的(de)(de)運算法則；在(zai)(zai)開方術 的(de)(de)注釋中，他從開方不盡的(de)(de)意義出發，論述了(le)(le)無理方根的(de)(de)存(cun)在(zai)(zai)，并(bing)引進(jin)了(le)(le)新(xin)數，創(chuang)造了(le)(le)用十進(jin)分數無限逼近無理根的(de)(de)方法。
在籌式(shi)(shi)演(yan)算(suan)理(li)論(lun)方(fang)面， 先給率以比較明確(que)的(de)(de)定義，又(you)以遍乘(cheng)、通約(yue)、齊同(tong)等三種基本運算(suan)為基礎，建立了數(shu)與式(shi)(shi)運算(suan)的(de)(de)統(tong)一的(de)(de)理(li)論(lun)基礎，他還用(yong)“率”來定義中國古代數(shu)學(xue)中的(de)(de)“方(fang)程”，即(ji)現代數(shu)學(xue)中線性方(fang)程組的(de)(de)增廣矩陣(zhen)。
在勾(gou)股(gu)(gu)(gu)理(li)論(lun)(lun)方(fang)面(mian)逐一論(lun)(lun)證了有關勾(gou)股(gu)(gu)(gu)定理(li)與(yu)解勾(gou)股(gu)(gu)(gu)形(xing)的(de)計算(suan)原理(li)，建立了相似(si)勾(gou)股(gu)(gu)(gu)形(xing)理(li)論(lun)(lun)，發展(zhan)了勾(gou)股(gu)(gu)(gu)測(ce)量(liang)術，通(tong)過對“勾(gou)中容橫”與(yu)“股(gu)(gu)(gu)中容直”之類的(de)典型圖(tu)形(xing)的(de)論(lun)(lun)析(xi)，形(xing)成了中國特色的(de)相似(si)理(li)論(lun)(lun)。
面積與體積理論
用出入相補、以盈補虛的原理(li)及“割圓術”的極限方法提(ti)出了劉徽原理(li)，并解決(jue)了多種幾何形、幾何體(ti)的面積、體(ti)積計算(suan)問題(ti)。這些方面的理(li)論價值至(zhi)今仍(reng)閃爍著余輝。
二是在繼(ji)承的(de)基礎上(shang)提出了自己的(de)創見。這方面主要(yao)體現為(wei)以下幾項有代(dai)表性的(de)創見：
割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)與圓(yuan)(yuan)(yuan)周率， 他(ta)在《九(jiu)章算術(shu) 圓(yuan)(yuan)(yuan)田術(shu)》注中，用割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)證明了圓(yuan)(yuan)(yuan)面(mian)積的精(jing)確公式，并給(gei)出了計算圓(yuan)(yuan)(yuan)周率的科(ke)學方法。他(ta)首先從(cong)圓(yuan)(yuan)(yuan)內接六(liu)邊(bian)(bian)形(xing)開始割(ge)圓(yuan)(yuan)(yuan)，每次邊(bian)(bian)數倍增(zeng)，算到(dao)192邊(bian)(bian)形(xing)的面(mian)積，得(de)到(dao)π=157/50=3.14，又算到(dao)3072邊(bian)(bian)形(xing)的面(mian)積，得(de)到(dao)π=3927/1250=3.1416，稱為(wei)“徽率”。
劉徽原(yuan)理在《九章算(suan)術陽馬術》注中，他在用無限分割的方(fang)法解(jie)決錐體體積時，提出了關于(yu)多面體體積計算(suan)的劉徽原(yuan)理。
“牟合方蓋”說
在《九章算術(shu)開立圓(yuan)(yuan)術(shu)》注中，他(ta)指出了球體積(ji)公式(shi)V=9D3/16(D為球直徑)的(de)不精確性，并引(yin)入了“牟合方(fang)蓋”這一著名的(de)幾何(he)模(mo)型(xing)。“牟合方(fang)蓋”是指正方(fang)體的(de)兩個(ge)軸(zhou)互相垂(chui)直的(de)內(nei)切圓(yuan)(yuan)柱體的(de)貫交部分(fen)。
方程新術
在《九章算術方(fang)(fang)程術》注(zhu)中，他(ta)提出(chu)了(le)解線(xian)性方(fang)(fang)程組的新(xin)方(fang)(fang)法，運用(yong)了(le)比率算法的思想。
重差術
在(zai)(zai)自撰《海島算(suan)經》中，他(ta)提(ti)出(chu)了(le)重差(cha)術，采用(yong)了(le)重表、連索和累矩等(deng)測(ce)(ce)高(gao)測(ce)(ce)遠方法。他(ta)還運用(yong)“類(lei)推(tui)衍化”的(de)(de)方法，使重差(cha)術由兩次測(ce)(ce)望(wang)，發展為“三望(wang)”、“四望(wang)”。而印(yin)度(du)在(zai)(zai)7世紀，歐洲(zhou)在(zai)(zai)15～16世紀才開始研(yan)究(jiu)兩次測(ce)(ce)望(wang)的(de)(de)問題。劉徽的(de)(de)工(gong)作(zuo)，不(bu)僅(jin)對(dui)中國古代數學發展產(chan)生了(le)深遠影響(xiang)，而且在(zai)(zai)世界數學史(shi)上(shang)也確立了(le)崇高(gao)的(de)(de)歷史(shi)地位。鑒于劉徽的(de)(de)巨(ju)大貢獻，所以不(bu)少(shao)書上(shang)把他(ta)稱作(zuo)“中國數學史(shi)上(shang)的(de)(de)牛頓(dun)”。
