朱世杰“以數學(xue)名家周游湖海二十余(yu)年”,“踵門而學(xue)者云集”(莫若、祖頤:《四元玉(yu)鑒》后序)。
宋元時期,中(zhong)(zhong)國數(shu)學(xue)鼎盛時期中(zhong)(zhong)杰(jie)(jie)出的數(shu)學(xue)家有(you)“秦九韶、李(li)冶、楊輝(hui)、朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)四大家”,朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)就是其(qi)中(zhong)(zhong)之一。朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)是一位平民(min)數(shu)學(xue)家和數(shu)學(xue)教育家。朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)(jie)平生勤力研習《九章算(suan)術》,旁通其(qi)它各(ge)種算(suan)法,成為元代著名數(shu)學(xue)家。
元(yuan)(yuan)(yuan)統(tong)一(yi)中國后,朱世杰曾以(yi)數(shu)(shu)學(xue)家的(de)身份(fen)周游各(ge)(ge)地20余年(nian),向他(ta)求學(xue)的(de)人(ren)很(hen)多,他(ta)到(dao)廣(guang)陵(今揚州)時“踵門(men)而(er)學(xue)者云集”。他(ta)全(quan)面繼承(cheng)了(le)前人(ren)數(shu)(shu)學(xue)成果,既吸收了(le)北方(fang)的(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術,又吸收了(le)南方(fang)的(de)正負開(kai)方(fang)術、各(ge)(ge)種日用(yong)算法及(ji)通俗(su)歌訣(jue),在此基礎上進行了(le)創造(zao)性(xing)的(de)研究,寫(xie)成以(yi)總結和普及(ji)當(dang)時各(ge)(ge)種數(shu)(shu)學(xue)知識為宗旨的(de)《算學(xue)啟(qi)蒙(meng)》(3卷),又寫(xie)成四元(yuan)(yuan)(yuan)術的(de)代表(biao)作--《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉鑒》(3卷),先后于:1299年(nian)和1303年(nian)刊印.《算學(xue)啟(qi)蒙(meng)》由淺入深(shen),從一(yi)位數(shu)(shu)乘法開(kai)始,一(yi)直講到(dao)當(dang)時的(de)最(zui)新(xin)數(shu)(shu)學(xue)成果――天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)術,形成一(yi)個(ge)完整體系。
書中明(ming)確(que)提出正負數乘法法則(ze),給(gei)出倒數的(de)概念和(he)(he)基本性(xing)質,概括出若(ruo)干(gan)新的(de)乘法公式(shi)和(he)(he)根式(shi)運算法則(ze),總(zong)結了若(ruo)干(gan)乘除捷算口訣(jue),并把設輔助未(wei)知數的(de)方法用(yong)于解線性(xing)方程組(zu).《四元(yuan)(yuan)玉鑒》的(de)主要內容是四元(yuan)(yuan)術,即多元(yuan)(yuan)高(gao)次(ci)方程組(zu)的(de)建(jian)立和(he)(he)求解方法.秦九韶的(de)高(gao)次(ci)方程數值解法和(he)(he)李冶的(de)天元(yuan)(yuan)術都被包含在內.
在宋(song)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)時期的(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)學群英中,朱世(shi)杰(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)工作(zuo)(zuo)具(ju)有(you)特殊(shu)重要的(de)(de)(de)(de)意義.如(ru)果把諸多(duo)數(shu)(shu)學家比作(zuo)(zuo)群山(shan)(shan),則(ze)(ze)朱世(shi)杰(jie)(jie)(jie)是(shi)最高(gao)大、最雄(xiong)偉的(de)(de)(de)(de)山(shan)(shan)峰.站(zhan)在朱世(shi)杰(jie)(jie)(jie)數(shu)(shu)學思想的(de)(de)(de)(de)高(gao)度俯嫩傳(chuan)統數(shu)(shu)學,會有(you)"一覽眾山(shan)(shan)小"之感.來世(shi)杰(jie)(jie)(jie)工作(zuo)(zuo)的(de)(de)(de)(de)意義就(jiu)在于總(zong)結了(le)(le)宋(song)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)數(shu)(shu)學,使之在理(li)論(lun)上達到新的(de)(de)(de)(de)高(gao)度.這(zhe)主要表現在以下(xia)三(san)個領域(yu).首(shou)先(xian)是(shi)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程理(li)論(lun).在列方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面,蔣周的(de)(de)(de)(de)演段(duan)法為(wei)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)作(zuo)(zuo)了(le)(le)準備工作(zuo)(zuo),他已具(ju)有(you)尋找(zhao)等(deng)值多(duo)項式的(de)(de)(de)(de)思想,洞淵馬(ma)與(yu)信道是(shi)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)先(xian)驅,但他們(men)推導方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程仍(reng)受幾何(he)思維的(de)(de)(de)(de)束縛,李(li)冶基(ji)本上擺脫了(le)(le)這(zhe)種束縛,總(zong)結出一套固定的(de)(de)(de)(de)天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)程序(xu),使天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)進入成(cheng)熟階段(duan).在解(jie)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)面,賈憲給出增乘開方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)法,劉(liu)益則(ze)(ze)用正(zheng)負開方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)術(shu)(shu)(shu)求出四(si)(si)次方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程正(zheng)根,秦九韶在此基(ji)礎(chu)上解(jie)決了(le)(le)高(gao)次方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程的(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)值解(jie)法問(wen)題.至此,一元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程的(de)(de)(de)(de)建立(li)和求解(jie)都已實現.而線性方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程組古(gu)已有(you)之,所(suo)以具(ju)備了(le)(le)多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程組產(chan)生(sheng)的(de)(de)(de)(de)條件.李(li)德載(zai)的(de)(de)(de)(de)二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)和劉(liu)大鑒的(de)(de)(de)(de)三(san)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)相(xiang)繼(ji)出現,朱世(shi)杰(jie)(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)正(zheng)是(shi)對二(er)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)、三(san)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)總(zong)結與(yu)提(ti)高(gao).由于四(si)(si)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)已把常數(shu)(shu)項的(de)(de)(de)(de)上下(xia)左(zuo)右(you)占滿,方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程理(li)論(lun)發展到這(zhe)里,顯然就(jiu)告一段(duan)落了(le)(le).從方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程種類看,天(tian)元(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)(yuan)術(shu)(shu)(shu)產(chan)生(sheng)之前的(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程都是(shi)整(zheng)式方(fang)(fang)(fang)(fang)(fang)程。
從(cong)洞淵到(dao)(dao)(dao)(dao)李(li)冶(ye)(ye),分式(shi)方程逐漸(jian)得(de)到(dao)(dao)(dao)(dao)發展.而朱(zhu)世杰,則突(tu)破了有理(li)(li)式(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)限制,開始處理(li)(li)無(wu)理(li)(li)方程.其次(ci)是(shi)(shi)高階等(deng)差級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)(yan)究(jiu).沈括(kuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)隙(xi)積(ji)(ji)(ji)術開研(yan)(yan)(yan)究(jiu)高階等(deng)差級(ji)數(shu)(shu)之先河,楊輝給出(chu)包括(kuo)隙(xi)積(ji)(ji)(ji)術在(zai)內(nei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)系(xi)(xi)列二階等(deng)差級(ji)數(shu)(shu)求和公(gong)式(shi).朱(zhu)世杰則在(zai)此(ci)基礎上(shang)依次(ci)研(yan)(yan)(yan)究(jiu)了二階、三階、四(si)(si)階乃至五(wu)階等(deng)差級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)求和問題,從(cong)而發現其規律,掌握了三角(jiao)垛統一(yi)(yi)公(gong)式(shi).他(ta)還發現了垛積(ji)(ji)(ji)術與(yu)內(nei)插法的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)在(zai)聯系(xi)(xi),利(li)用垛積(ji)(ji)(ji)公(gong)式(shi)給出(chu)規范的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)四(si)(si)次(ci)內(nei)插公(gong)式(shi).第三是(shi)(shi)幾何(he)(he)學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)研(yan)(yan)(yan)究(jiu).宋代以(yi)前,幾何(he)(he)研(yan)(yan)(yan)究(jiu)離不開勾股和面積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji).蔣周的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《益古(gu)集》也是(shi)(shi)以(yi)面積(ji)(ji)(ji)問題為研(yan)(yan)(yan)究(jiu)對(dui)象的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de).李(li)冶(ye)(ye)開始注意(yi)到(dao)(dao)(dao)(dao)圓城(cheng)因式(shi)中各(ge)元(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)(xi),得(de)到(dao)(dao)(dao)(dao)一(yi)(yi)些定理(li)(li),但未能(neng)推廣到(dao)(dao)(dao)(dao)更(geng)一(yi)(yi)般的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)情(qing)形.朱(zhu)世杰不僅總結了前人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)勾股及(ji)求積(ji)(ji)(ji)理(li)(li)論,而且在(zai)李(li)冶(ye)(ye)思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎上(shang)更(geng)進(jin)一(yi)(yi)步(bu),深(shen)入研(yan)(yan)(yan)究(jiu)了勾股形內(nei)及(ji)圓內(nei)各(ge)幾何(he)(he)元(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)(shu)量關(guan)系(xi)(xi),發現了兩個重要(yao)定理(li)(li)--射(she)影(ying)定理(li)(li)和弦冪定理(li)(li).他(ta)在(zai)立體(ti)幾何(he)(he)中也開始注意(yi)到(dao)(dao)(dao)(dao)圖形內(nei)各(ge)元(yuan)素(su)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關(guan)系(xi)(xi).朱(zhu)世杰的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo),使得(de)幾何(he)(he)研(yan)(yan)(yan)究(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)象由圖形整(zheng)體(ti)深(shen)入到(dao)(dao)(dao)(dao)圖形內(nei)部,體(ti)現了數(shu)(shu)學(xue)思想(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)進(jin)步(bu)。
朱世杰長(chang)期從(cong)事(shi)數(shu)(shu)學(xue)研究和(he)(he)教育(yu)事(shi)業(ye),以數(shu)(shu)學(xue)名家周游各地20多(duo)年,四方登門來(lai)學(xue)習的人(ren)很多(duo)。朱世杰數(shu)(shu)學(xue)代表作有《算學(xue)啟(qi)蒙(meng)》(1299)和(he)(he)《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉(yu)鑒》(1303)。《算學(xue)啟(qi)蒙(meng)》是一部通俗數(shu)(shu)學(xue)名著(zhu),曾流傳海外(wai),影(ying)響了(le)朝(chao)鮮、日本數(shu)(shu)學(xue)的發展。《四元(yuan)(yuan)(yuan)玉(yu)鑒》則是中國宋元(yuan)(yuan)(yuan)數(shu)(shu)學(xue)高(gao)峰(feng)的又一個標志(zhi),其(qi)中最杰出的數(shu)(shu)學(xue)創作有“四元(yuan)(yuan)(yuan)術”(多(duo)元(yuan)(yuan)(yuan)高(gao)次方程列(lie)式與(yu)消元(yuan)(yuan)(yuan)解法(fa))、“垛(duo)積法(fa)”(高(gao)階(jie)等差數(shu)(shu)列(lie)求和(he)(he))與(yu)“招差術”(高(gao)次內(nei)插法(fa))。
朱(zhu)世杰在數(shu)(shu)學(xue)(xue)科學(xue)(xue)上,全面地繼承了(le)(le)秦九韶、李冶、楊輝的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)成就,并給(gei)予創(chuang)造性(xing)的(de)發(fa)展,寫出(chu)了(le)(le)《算學(xue)(xue)啟蒙》、《四元(yuan)玉鑒》等著名作(zuo)品,把我國古代數(shu)(shu)學(xue)(xue)推向更(geng)高(gao)的(de)境界(jie),形成宋元(yuan)時期中國數(shu)(shu)學(xue)(xue)的(de)最(zui)高(gao)峰。《算學(xue)(xue)啟蒙》是朱(zhu)世杰在元(yuan)成宗大德三年(1299)刊印的(de),全書共三卷(juan),20門,總計(ji)259個問題和相應的(de)解(jie)答。這部書從乘除運算起,一(yi)直講到當時數(shu)(shu)學(xue)(xue)發(fa)展的(de)最(zui)高(gao)成就“天(tian)元(yuan)術”,全面介紹了(le)(le)當時數(shu)(shu)學(xue)(xue)所包含的(de)各方面內容。
它的(de)(de)(de)體系完整(zheng),內容深入淺出,通俗易懂(dong),是(shi)(shi)一部(bu)很著(zhu)名(ming)的(de)(de)(de)啟蒙讀物(wu)。這部(bu)著(zhu)作后來(lai)流傳到朝(chao)鮮、日本等(deng)國,出版(ban)過翻刻本和注釋本,產生過一定的(de)(de)(de)影(ying)響。而《四元(yuan)玉(yu)鑒》更是(shi)(shi)一部(bu)成就(jiu)輝煌的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學名(ming)著(zhu)。它受(shou)到近代(dai)數(shu)(shu)學史研(yan)究者的(de)(de)(de)高度(du)評(ping)價(jia),認為是(shi)(shi)中國古(gu)代(dai)數(shu)(shu)學科學著(zhu)作中最重要的(de)(de)(de)、最有(you)貢獻的(de)(de)(de)一部(bu)數(shu)(shu)學名(ming)著(zhu)。《四元(yuan)玉(yu)鑒》成書于大德七年(1303),共(gong)三卷,24門,288問,介(jie)紹了朱世(shi)杰在多元(yuan)高次方(fang)程組(zu)的(de)(de)(de)解法——四元(yuan)術,以及高階(jie)等(deng)差級(ji)數(shu)(shu)的(de)(de)(de)計(ji)算(suan)——垛積術、招差術等(deng)方(fang)面的(de)(de)(de)研(yan)究和成果。
“天元(yuan)(yuan)術(shu)(shu)”是設“天元(yuan)(yuan)為(wei)(wei)某某”,即(ji)某某為(wei)(wei)x。但當(dang)未知(zhi)(zhi)數不(bu)止一(yi)個的(de)(de)時候(hou),除設未知(zhi)(zhi)數天元(yuan)(yuan)(x)外(wai),還(huan)(huan)需設地(di)元(yuan)(yuan)(y)、人元(yuan)(yuan)(z)及物元(yuan)(yuan)(u),再列出二元(yuan)(yuan)、三(san)元(yuan)(yuan)甚至四元(yuan)(yuan)的(de)(de)高(gao)(gao)次聯(lian)方(fang)程(cheng)組,然后求解。這在歐洲(zhou),解聯(lian)立一(yi)次方(fang)程(cheng)開(kai)始(shi)于(yu)16世(shi)紀(ji),關于(yu)多元(yuan)(yuan)高(gao)(gao)次聯(lian)立方(fang)程(cheng)的(de)(de)研究還(huan)(huan)是18至19世(shi)紀(ji)的(de)(de)事了(le)。朱世(shi)杰(jie)的(de)(de)另(ling)一(yi)重大(da)貢(gong)獻(xian)是對(dui)于(yu)“垛(duo)積術(shu)(shu)”的(de)(de)研究。他對(dui)于(yu)一(yi)系列新的(de)(de)垛(duo)形的(de)(de)級(ji)數求和(he)問題(ti)作了(le)研究,從中(zhong)(zhong)歸納為(wei)(wei)“三(san)角垛(duo)”的(de)(de)公式(shi)(shi),實際上得到了(le)這一(yi)類任(ren)意高(gao)(gao)階(jie)等差(cha)級(ji)數求和(he)問題(ti)的(de)(de)系統、普遍的(de)(de)解法。朱世(shi)杰(jie)還(huan)(huan)把三(san)角垛(duo)公式(shi)(shi)引用(yong)到“招差(cha)術(shu)(shu)”中(zhong)(zhong),指出招差(cha)公式(shi)(shi)中(zhong)(zhong)的(de)(de)系數恰(qia)好依次是各三(san)角垛(duo)的(de)(de)積,這樣就得到了(le)包含有四次差(cha)的(de)(de)招差(cha)公式(shi)(shi)。
他還把這個招差(cha)公(gong)式推廣(guang)為包含任(ren)意高(gao)次差(cha)的(de)(de)(de)招差(cha)公(gong)式,這在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上是(shi)(shi)第一(yi)次,比歐(ou)洲牛(niu)頓的(de)(de)(de)同(tong)樣成就要早(zao)近4個世(shi)(shi)紀。正因為如此,朱世(shi)(shi)杰和他的(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)作《四元(yuan)玉鑒(jian)》才享(xiang)有巨大的(de)(de)(de)國(guo)(guo)際(ji)聲譽。近代(dai)日本(ben)(ben)、法國(guo)(guo)、美(mei)國(guo)(guo)、比利(li)時(shi)(shi)以及亞、歐(ou)、美(mei)許(xu)多國(guo)(guo)家都(dou)有人向本(ben)(ben)國(guo)(guo)介紹(shao)《四元(yuan)玉鑒(jian)》。美(mei)國(guo)(guo)已故的(de)(de)(de)著(zhu)(zhu)名的(de)(de)(de)科學(xue)(xue)史家薩(sa)頓是(shi)(shi)這樣評(ping)說朱世(shi)(shi)杰的(de)(de)(de):“(朱世(shi)(shi)杰)是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)華民族的(de)(de)(de)、他所(suo)生(sheng)活的(de)(de)(de)時(shi)(shi)代(dai)的(de)(de)(de)、同(tong)時(shi)(shi)也是(shi)(shi)貫穿古(gu)今的(de)(de)(de)一(yi)位最杰出的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)科學(xue)(xue)家。”“《四元(yuan)玉鑒(jian)》是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)國(guo)(guo)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作中(zhong)(zhong)最重要的(de)(de)(de),同(tong)時(shi)(shi)也是(shi)(shi)中(zhong)(zhong)世(shi)(shi)紀最杰出的(de)(de)(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作之一(yi)。它(ta)是(shi)(shi)世(shi)(shi)界(jie)數(shu)(shu)學(xue)(xue)寶庫中(zhong)(zhong)不可多得的(de)(de)(de)瑰(gui)寶。”從此中(zhong)(zhong)可以看出,宋(song)元(yuan)時(shi)(shi)期的(de)(de)(de)科學(xue)(xue)家及其著(zhu)(zhu)作,在世(shi)(shi)界(jie)數(shu)(shu)學(xue)(xue)史上起(qi)到了(le)不可估量(liang)的(de)(de)(de)作用。
朱世杰(jie)的(de)主要貢獻是(shi)(shi)創(chuang)造了(le)一套(tao)完整(zheng)的(de)消(xiao)未知數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)方法,稱為四(si)元消(xiao)法.這(zhe)種方法在世界上長期處(chu)于領先地位,直到18世紀,法國(guo)(guo)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學家貝祖(zu)(Bezout)提出一般的(de)高(gao)次方程組解法,才超過朱世杰(jie)。除了(le)四(si)元術(shu)以外,《四(si)元玉鑒》中(zhong)還(huan)有兩項重(zhong)要成(cheng)就,即創(chuang)立了(le)一般的(de)高(gao)階等差級數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)求和公式及等間距四(si)次內插法公式,后者通常稱為招差術(shu).此書代(dai)表著宋元數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學的(de)最(zui)(zui)高(gao)水平,美國(guo)(guo)科(ke)學史家薩(sa)頓(G.Sarton)稱贊它“是(shi)(shi)中(zhong)國(guo)(guo)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學著作中(zhong)最(zui)(zui)重(zhong)要的(de)一部(bu),同時也是(shi)(shi)中(zhong)世紀的(de)杰(jie)出數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學著作之一”。朱世杰(jie)處(chu)于中(zhong)國(guo)(guo)傳統數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學發展的(de)鼎盛時期,當(dang)時社(she)會上“尊崇算學,科(ke)目(mu)漸興”,數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)學著作廣為傳播。
對多(duo)元(yuan)高(gao)(gao)次方(fang)程(cheng)組解法(fa)(fa)、高(gao)(gao)階(jie)等差級數(shu)(shu)求和,高(gao)(gao)次內插法(fa)(fa)都有深入(ru)研究,他著(zhu)(zhu)有《算學啟蒙》(1299年)、《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》(1303年)各(ge)3卷,在后者中討論了多(duo)達四(si)(si)元(yuan)的(de)(de)高(gao)(gao)次聯立方(fang)程(cheng)組解法(fa)(fa),聯系在一(yi)起的(de)(de)多(duo)項(xiang)式的(de)(de)表達和運算以(yi)及消(xiao)去法(fa)(fa),已(yi)接(jie)近近世代數(shu)(shu)學,處(chu)于世界領先地位,他通曉高(gao)(gao)次招差法(fa)(fa)公式,比西方(fang)早四(si)(si)百年,中外數(shu)(shu)學史(shi)家都高(gao)(gao)度評價朱世杰和他的(de)(de)名著(zhu)(zhu)《四(si)(si)元(yuan)玉鑒》。
從天元(yuan)術推廣到二元(yuan)、三(san)元(yuan)和四元(yuan)的(de)(de)(de)高(gao)(gao)次(ci)聯立方(fang)程(cheng)組,是宋元(yuan)數學(xue)家的(de)(de)(de)又(you)一項杰(jie)出(chu)的(de)(de)(de)創造。留傳至(zhi)今(jin),并對這(zhe)一杰(jie)出(chu)創造進(jin)行系統論(lun)述(shu)(shu)的(de)(de)(de)是朱世杰(jie)的(de)(de)(de)《四元(yuan)玉鑒(jian)》。《四元(yuan)玉鑒(jian)》成書于(yu)1303年(nian)。全(quan)書共3卷,24門(men),288問(wen),主要論(lun)述(shu)(shu)高(gao)(gao)次(ci)方(fang)程(cheng)組的(de)(de)(de)解法(fa)(這(zhe)也是朱世杰(jie)的(de)(de)(de)最(zui)大貢(gong)獻)、高(gao)(gao)階等(deng)差級數求和以及高(gao)(gao)次(ci)內插法(fa)等(deng)內容。是流(liu)傳至(zhi)今(jin)且對四元(yuan)術進(jin)行系統論(lun)述(shu)(shu)的(de)(de)(de)重要代(dai)表作(zuo)。
在天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)術的(de)(de)基礎(chu)上(shang),朱世杰建立了“四(si)(si)元(yuan)(yuan)高次方(fang)(fang)程理論”,他把常數項放在中央(即(ji)“太”),然后“立天(tian)(tian)元(yuan)(yuan)一(yi)于下,地(di)(di)元(yuan)(yuan)一(yi)于左,人(ren)元(yuan)(yuan)一(yi)于右,物元(yuan)(yuan)一(yi)于上(shang)”,“天(tian)(tian)、地(di)(di)、人(ren)、物”這四(si)(si)“元(yuan)(yuan)”代表(biao)未知(zhi)數,(即(ji)相當于如(ru)今的(de)(de)x、y、z、w,)四(si)(si)元(yuan)(yuan)的(de)(de)各次冪放在上(shang)、下、左、右四(si)(si)個(ge)方(fang)(fang)向(xiang)上(shang),其它各項放在四(si)(si)個(ge)象限中。如(ru)果用現(xian)代的(de)(de)x、y、z、w表(biao)示天(tian)(tian)、地(di)(di)、人(ren)、物,那我們(men)可以把朱世杰列(lie)高次多元(yuan)(yuan)方(fang)(fang)程的(de)(de)方(fang)(fang)法表(biao)示:而(er)上(shang)面的(de)(de)兩個(ge)圖形“四(si)(si)元(yuan)(yuan)一(yi)次籌(chou)式(shi)”與“四(si)(si)元(yuan)(yuan)二次籌(chou)式(shi)”所表(biao)示的(de)(de)方(fang)(fang)程分別(bie)為:x+y+z+w=0
用上(shang)述方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)列(lie)出四(si)元(yuan)高次方(fang)(fang)(fang)(fang)程后(hou),再聯立方(fang)(fang)(fang)(fang)程組進行(xing)解方(fang)(fang)(fang)(fang)程組,方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)是用消(xiao)元(yuan)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)解答,先擇(ze)一(yi)(yi)元(yuan)為(wei)未知數(shu),其它(ta)(ta)元(yuan)組成(cheng)的(de)多(duo)項式作為(wei)這(zhe)未知數(shu)的(de)系數(shu),然后(hou)把四(si)元(yuan)四(si)式消(xiao)去一(yi)(yi)元(yuan),變(bian)成(cheng)三元(yuan)三式,再消(xiao)去一(yi)(yi)元(yuan)變(bian)二(er)元(yuan)二(er)式,再消(xiao)去一(yi)(yi)元(yuan),就得到只含一(yi)(yi)元(yuan)的(de)天元(yuan)開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)式,然后(hou)用增乘開(kai)方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)求(qiu)得正根(gen)。這(zhe)是線性方(fang)(fang)(fang)(fang)法(fa)組解法(fa)的(de)重大(da)發展,在西方(fang)(fang)(fang)(fang),較有(you)系統地(di)研究多(duo)元(yuan)方(fang)(fang)(fang)(fang)程組要(yao)(yao)等(deng)到16世(shi)紀(ji)。高階(jie)等(deng)差級(ji)數(shu)求(qiu)和與高次內插法(fa)也是《四(si)元(yuan)玉鑒》的(de)重要(yao)(yao)內容(rong)。由(you)許多(duo)求(qiu)和問(wen)題中的(de)一(yi)(yi)系列(lie)三角垛公式可歸納得公式。朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)給(gei)(gei)出了上(shang)式中當p=1,2,……6時的(de)公式。此外(wai),還有(you)其它(ta)(ta)高階(jie)等(deng)差級(ji)數(shu)求(qiu)和公式。在招差法(fa)方(fang)(fang)(fang)(fang)面,朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)相當于(yu)給(gei)(gei)出了招差公式,這(zhe)比(bi)西方(fang)(fang)(fang)(fang)要(yao)(yao)早400多(duo)年。
美國著(zhu)(zhu)名(ming)的(de)科學(xue)(xue)(xue)史家(jia)(jia)薩頓評論說(shuo):“朱(zhu)世杰(jie)(jie)是(shi)他所(suo)生存時(shi)(shi)代的(de),同時(shi)(shi)也是(shi)貫穿古今(jin)的(de)一(yi)位(wei)最(zui)杰(jie)(jie)出的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia)”,《四(si)元玉鑒》是(shi)“中(zhong)國數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作中(zhong)最(zui)重要的(de)一(yi)部,同時(shi)(shi)也是(shi)整個中(zhong)世紀最(zui)杰(jie)(jie)出的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)著(zhu)(zhu)作之一(yi)。”朱(zhu)世杰(jie)(jie)不(bu)僅是(shi)一(yi)名(ming)杰(jie)(jie)出的(de)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家(jia)(jia),他還是(shi)一(yi)位(wei)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)教(jiao)育家(jia)(jia),曾周游四(si)方各地,教(jiao)授(shou)生徒20余年。并親自編著(zhu)(zhu)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)入門(men)書(shu),稱為《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)(qi)蒙》。在《算學(xue)(xue)(xue)啟(qi)(qi)蒙》卷下(xia)中(zhong),朱(zhu)世杰(jie)(jie)提出已知勾弦(xian)和、股弦(xian)和求(qiu)解勾股形的(de)方法,補充了《九(jiu)章(zhang)算術》的(de)不(bu)足。
“燕山朱松庭先生”,是(shi)元朝時(shi)代的一位杰出的數(shu)學(xue)(xue)家。所寫的《四元玉鑒》和(he)《算學(xue)(xue)啟蒙(meng)》,是(shi)中(zhong)(zhong)國古(gu)代數(shu)學(xue)(xue)發展進程中(zhong)(zhong)的一個(ge)重要的里程碑,是(shi)中(zhong)(zhong)國古(gu)代數(shu)學(xue)(xue)的一份寶(bao)貴的遺(yi)產。13世紀中(zhong)(zhong)葉,朱世杰除了接(jie)受北方的數(shu)學(xue)(xue)成(cheng)就(jiu)之外,他(ta)也吸收了南方的數(shu)學(xue)(xue)成(cheng)就(jiu),尤其是(shi)各(ge)種日用算法、商(shang)用算術和(he)通俗化的歌(ge)訣等(deng)等(deng)。
朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)曾(ceng)“周(zhou)游(you)四(si)(si)方(fang)”,莫若(古代數(shu)學(xue)(xue)家)序中(zhong)有(you)“燕山松庭朱(zhu)(zhu)先生以(yi)數(shu)學(xue)(xue)名(ming)家周(zhou)游(you)湖(hu)海(hai)二十余(yu)年矣。四(si)(si)方(fang)之(zhi)來學(xue)(xue)者日眾,先生遂發明(ming)《九章》之(zhi)妙,以(yi)淑(shu)后(hou)圖學(xue)(xue),為書三卷……名(ming)曰《四(si)(si)元玉(yu)鑒》”,祖(zu)頤后(hou)序中(zhong)亦(yi)有(you)“漢(han)卿名(ming)世(shi)杰(jie),松庭其自號也。周(zhou)流四(si)(si)方(fang),復(fu)游(you)廣陵(ling),踵門而學(xue)(xue)者云集”。經(jing)過長期的游(you)學(xue)(xue)、講學(xue)(xue)等活動,終于在(zai)1299年和(he)(he)1303年,在(zai)揚州,刊刻了(le)(le)他的兩部數(shu)學(xue)(xue)杰(jie)作——《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙(meng)》和(he)(he)《四(si)(si)元玉(yu)鑒》。楊輝書中(zhong)的歸除歌訣在(zai)朱(zhu)(zhu)世(shi)杰(jie)所著《算(suan)學(xue)(xue)啟蒙(meng)》中(zhong)有(you)了(le)(le)進一步的發展。
清羅士琳認為:“漢卿在宋元(yuan)間(jian),與秦道(dao)古(gu)(即秦九韶)、李(li)仁(ren)卿可稱鼎足(zu)(zu)而(er)三。道(dao)古(gu)正(zheng)負開(kai)方(fang)(fang),漢卿天元(yuan)如積皆足(zu)(zu)上(shang)下(xia)千古(gu),漢卿又兼包眾有,充類盡(jin)量(liang),神而(er)明之,尤超越乎秦、李(li)之上(shang)”。清代數(shu)學(xue)家王鑒也說:“朱松庭先生兼秦、李(li)之所長,成一家之著(zhu)作(zuo)”。朱世杰全面繼承了(le)并創造性地(di)發揚了(le)天元(yuan)術、正(zheng)負開(kai)方(fang)(fang)法等秦、李(li)書(shu)中所載的(de)數(shu)學(xue)成就之外,還囊括了(le)楊輝書(shu)中的(de)日用、商用、歸(gui)除(chu)歌訣之類與當(dang)時社會生活密切相(xiang)關的(de)各種(zhong)算法,并作(zuo)了(le)新(xin)的(de)發展。