一行（公元683年～公元727年），佛(fo)法(fa)名(ming)號(hao)。中國唐代著名(ming)的天文(wen)學(xue)家和釋學(xue)家，本名(ming)張(zhang)遂，魏州昌(chang)樂（今河(he)南(nan)省南(nan)樂縣）人(ren)。
張遂的(de)曾(ceng)祖是唐太宗李世民的(de)功(gong)臣、襄州都督、郯國公張公謹。其(qi)父張擅為(wei)武功(gong)縣令(ling)。張氏家族在(zai)武則天時代已經(jing)衰微。張遂自幼生活在(zai)關(guan)中，刻苦學(xue)(xue)習歷象和(he)陰陽五(wu)行之學(xue)(xue)。青(qing)年時代即(ji)以(yi)學(xue)(xue)識(shi)淵博聞名于(yu)長安。為(wei)避開武則天侄(zhi)的(de)糾纏，剃度(du)為(wei)僧，取名一行。先后(hou)在(zai)嵩山、天臺山、當陽山學(xue)(xue)習釋教經(jing)典和(he)天文數學(xue)(xue)。曾(ceng)翻譯(yi)過(guo)多種(zhong)印度(du)佛(fo)經(jing)，后(hou)成為(wei)佛(fo)教一派——密宗的(de)領袖(xiu)。
唐(tang)朝開元九年(nian)(nian)（公元721年(nian)(nian)），因為李(li)淳(chun)風的(de)《麟德歷》幾次預報日食不準，玄宗命一(yi)行主持修編新歷。一(yi)行一(yi)生中最主要的(de)成(cheng)就(jiu)是編制(zhi)《大(da)衍歷》，他在制(zhi)造天文儀器、觀測(ce)(ce)天象和主持天文大(da)地測(ce)(ce)量方面有很大(da)貢獻。
幼年時，一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)家庭貧困，經常(chang)得(de)到(dao)鄰(lin)居王姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)接濟。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)做(zuo)了(le)(le)天(tian)(tian)(tian)子(zi)之師常(chang)想起王姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)。然而尚(shang)來(lai)不(bu)及(ji)報答(da)，王姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)已找(zhao)上門(men)來(lai)。兒(er)子(zi)殺(sha)人犯(fan)罪(zui)(zui)，王姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)想讓一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)出(chu)面(mian)求(qiu)(qiu)求(qiu)(qiu)情。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)明白殺(sha)人償命(ming)，國法難違。他(ta)說：姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)是(shi)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)的(de)(de)恩(en)人，要錢(qian)要物要多少一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)都(dou)應當滿足，此事(shi)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)卻(que)辦不(bu)到(dao)。王姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)聽(ting)了(le)(le)大罵(ma)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)見(jian)死(si)(si)不(bu)救忘恩(en)負義。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)惟有(you)不(bu)停地在(zai)(zai)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)面(mian)前謝(xie)罪(zui)(zui)。目送姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)姥(lao)(lao)(lao)(lao)(lao)離去，一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)把一(yi)(yi)(yi)布(bu)袋交給兩個(ge)心腹(fu)之人，命(ming)他(ta)們(men)在(zai)(zai)指(zhi)定(ding)的(de)(de)一(yi)(yi)(yi)個(ge)地方(fang)潛藏，他(ta)說從中(zhong)午(wu)到(dao)黃(huang)昏，會(hui)有(you)七(qi)(qi)(qi)樣(yang)東西(xi)進(jin)入布(bu)袋。他(ta)們(men)照(zhao)著(zhu)做(zuo)了(le)(le)，用布(bu)袋帶回七(qi)(qi)(qi)只(zhi)豬(zhu)(zhu)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)把七(qi)(qi)(qi)只(zhi)豬(zhu)(zhu)放進(jin)已準備好的(de)(de)大甕中(zhong)封蓋(gai)。次日一(yi)(yi)(yi)早，宮里來(lai)人叩門(men)急切，說皇帝有(you)事(shi)相商(shang)。剛到(dao)便(bian)殿，李隆(long)基(ji)已迎出(chu)來(lai)，問：昨夜北斗七(qi)(qi)(qi)星不(bu)見(jian)了(le)(le)，是(shi)吉是(shi)兇？如何應對？一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)有(you)理(li)有(you)據做(zuo)了(le)(le)分(fen)析，然后建(jian)議“莫若大赦天(tian)(tian)(tian)下”。李隆(long)基(ji)當即下詔大赦天(tian)(tian)(tian)下。當天(tian)(tian)(tian)晚上，七(qi)(qi)(qi)星中(zhong)的(de)(de)一(yi)(yi)(yi)顆在(zai)(zai)天(tian)(tian)(tian)空中(zhong)出(chu)現了(le)(le)，七(qi)(qi)(qi)天(tian)(tian)(tian)后，七(qi)(qi)(qi)星全部(bu)在(zai)(zai)天(tian)(tian)(tian)空中(zhong)出(chu)現了(le)(le)…… 恩(en)人的(de)(de)兒(er)子(zi)犯(fan)死(si)(si)罪(zui)(zui)，一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)要報恩(en)，又要不(bu)違犯(fan)國法，在(zai)(zai)此情境下，他(ta)惟有(you)用自己(ji)的(de)(de)“方(fang)法”。段成式記述(shu)此事(shi)，心中(zhong)亦(yi)有(you)疙瘩(da)解(jie)不(bu)開(kai)：此事(shi)頗怪，然大傳(chuan)眾口，不(bu)得(de)不(bu)著(zhu)之。
僧(seng)(seng)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)博覽無(wu)不(bu)(bu)(bu)(bu)知，尤(you)善于數，鉤(gou)深(shen)藏往(wang)，當(dang)(dang)時學(xue)者莫(mo)能測(ce)。幼時家貧，鄰有(you)王姥(lao)(lao)，前后(hou)濟之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)數十(shi)萬(wan)，及(ji)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)開元中承上敬遇，言(yan)無(wu)不(bu)(bu)(bu)(bu)可，常思報之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。尋王姥(lao)(lao)兒犯(fan)殺(sha)人(ren)罪，獄未具，姥(lao)(lao)訪(fang)一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)求(qiu)救，一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)曰(yue)：“姥(lao)(lao)要金帛，當(dang)(dang)十(shi)倍酬也。明君執(zhi)法，難以請(qing)求(qiu)，如何？”王姥(lao)(lao)戟(ji)手大罵曰(yue)：“何用識(shi)此(ci)僧(seng)(seng)！”一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)從(cong)而謝之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，終不(bu)(bu)(bu)(bu)顧。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)心計渾天(tian)寺中工役(yi)數百(bai)，乃命空其(qi)室內，徙大甕(weng)于中，又密選常住奴(nu)二人(ren)，授以布(bu)囊，謂曰(yue)：“某坊某角有(you)廢園(yuan)，汝向中潛伺，從(cong)午至(zhi)昏，當(dang)(dang)有(you)物入來。其(qi)數七(qi)，可盡掩(yan)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。失一(yi)(yi)(yi)則杖汝。”奴(nu)如言(yan)而往(wang)，至(zhi)酉后(hou)，果有(you)群豕至(zhi)，奴(nu)悉獲而歸(gui)。一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)大喜，令置(zhi)甕(weng)中，覆以木(mu)蓋，封于六一(yi)(yi)(yi)泥，朱題梵字數寸(cun)，其(qi)徒莫(mo)測(ce)。詰朝，中使(shi)叩(kou)門急(ji)召。至(zhi)便(bian)殿，玄(xuan)宗(zong)迎問曰(yue)：“太史奏昨夜(ye)北斗不(bu)(bu)(bu)(bu)見(jian)，是(shi)何祥也，師有(you)以禳(rang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)乎(hu)？”一(yi)(yi)(yi)行(xing)(xing)(xing)曰(yue)：“后(hou)魏時，失熒惑(huo)，至(zhi)今帝車不(bu)(bu)(bu)(bu)見(jian)，古(gu)所無(wu)者，天(tian)將大警于陛下(xia)也。如臣曲(qu)見(jian)，莫(mo)若大赦天(tian)下(xia)。”玄(xuan)宗(zong)從(cong)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。又，其(qi)夕，太史奏北斗一(yi)(yi)(yi)星見(jian)，凡七(qi)日而復。成式(shi)以此(ci)事頗怪，然大傳眾口，不(bu)(bu)(bu)(bu)得不(bu)(bu)(bu)(bu)著之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。
據明正德本(ben)《大(da)(da)名(ming)(ming)府志》及今本(ben)《南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)志》記(ji)載(zai)：西漢置(zhi)樂(le)昌(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，屬(shu)東(dong)郡(jun)。樂(le)昌(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)在(zai)東(dong)漢初年(nian)(nian)廢置(zhi)。西晉(jin)于原(yuan)樂(le)昌(chang)(chang)縣(xian)(xian)(xian)(xian)故地復(fu)設(she)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，更名(ming)(ming)昌(chang)(chang)樂(le)，屬(shu)魏(wei)(wei)(wei)郡(jun)。隋開(kai)皇三(san)年(nian)(nian)(公(gong)(gong)元583年(nian)(nian))，從昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)西北部(bu)分置(zhi)繁水縣(xian)(xian)(xian)(xian)，同屬(shu)魏(wei)(wei)(wei)州(zhou)(zhou)(zhou)。大(da)(da)業元年(nian)(nian)(公(gong)(gong)元605年(nian)(nian))，昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)并入(ru)繁水縣(xian)(xian)(xian)(xian)。唐(tang)貞觀十六年(nian)(nian)(公(gong)(gong)元643年(nian)(nian))，改(gai)(gai)繁水縣(xian)(xian)(xian)(xian)為昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。五(wu)代后梁貞明二年(nian)(nian)(公(gong)(gong)元916年(nian)(nian))，昌(chang)(chang)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)更名(ming)(ming)南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)，仍屬(shu)魏(wei)(wei)(wei)州(zhou)(zhou)(zhou)。再查考魏(wei)(wei)(wei)州(zhou)(zhou)(zhou)，原(yuan)名(ming)(ming)魏(wei)(wei)(wei)郡(jun)，北周改(gai)(gai)之，五(wu)代又更名(ming)(ming)興(xing)唐(tang)府、廣(guang)晉(jin)府、大(da)(da)名(ming)(ming)府。南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)從五(wu)代到民國(guo)初年(nian)(nian)，長(chang)期為大(da)(da)名(ming)(ming)府所轄。由上(shang)可見，南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)是由樂(le)昌(chang)(chang)、昌(chang)(chang)樂(le)、繁水沿革而來，唐(tang)時的(de)魏(wei)(wei)(wei)州(zhou)(zhou)(zhou)繁水、昌(chang)(chang)樂(le)即(ji)今河南(nan)(nan)南(nan)(nan)樂(le)縣(xian)(xian)(xian)(xian)。
僧(seng)一(yi)行，姓(xing)張(zhang)氏，先名遂，魏州(zhou)昌樂人(ren)，襄州(zhou)都督、郯國公公謹之(zhi)孫也。父(fu)擅，武功令。
一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)少聰敏，博覽經史，尤精歷象、陰(yin)陽(yang)、五行(xing)(xing)(xing)(xing)之(zhi)(zhi)學(xue)。時道士尹崇(chong)(chong)博學(xue)先達，素多(duo)墳籍。一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)詣崇(chong)(chong)，借揚雄《太玄經》，將歸讀之(zhi)(zhi)。數(shu)日(ri)，復詣崇(chong)(chong)，還(huan)其書。崇(chong)(chong)曰(yue)(yue)：“此書意指稍(shao)深，吾尋(xun)(xun)之(zhi)(zhi)積年(nian)，尚不能曉，吾子(zi)試(shi)更研求，何遽(ju)見還(huan)也？”一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)曰(yue)(yue)：“究其義矣。”因出所撰《大衍玄圖》及《義決》一(yi)卷以(yi)(yi)示崇(chong)(chong)。崇(chong)(chong)大驚，因與(yu)一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)談其奧(ao)賾，甚(shen)嗟伏(fu)之(zhi)(zhi)。謂(wei)人曰(yue)(yue)：“此后(hou)生(sheng)顏子(zi)也。”一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)由(you)是(shi)大知(zhi)名。武三(san)思慕其學(xue)行(xing)(xing)(xing)(xing)，就請與(yu)結交(jiao)，一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)逃匿以(yi)(yi)避之(zhi)(zhi)。尋(xun)(xun)出家為(wei)僧，隱于嵩山，師(shi)事(shi)沙(sha)(sha)門普寂。睿宗(zong)即位，敕東(dong)都留守韋安(an)石以(yi)(yi)禮征(zheng)。一(yi)行(xing)(xing)(xing)(xing)固辭以(yi)(yi)疾，不應命。后(hou)步往荊(jing)州當陽(yang)山，依沙(sha)(sha)門悟(wu)真(zhen)以(yi)(yi)習梵(fan)律。
癲坷開元(yuan)五年，玄宗令其族叔禮部郎中(zhong)洽赍敕(chi)書就荊州強起之(zhi)。一(yi)行至京，置于光太殿，數就之(zhi)，訪以(yi)安國撫人之(zhi)道，言皆(jie)切直(zhi)，無(wu)有(you)所隱。開元(yuan)十年，永穆公主出降，敕(chi)有(you)司優厚發遣，依(yi)太平(ping)公主故(gu)事。一(yi)行以(yi)為高宗末(mo)年，唯有(you)一(yi)女，所以(yi)特加其禮。又太平(ping)驕僭(jian)，竟以(yi)得(de)罪，不應引以(yi)為例。上納其言，遽(ju)追敕(chi)不行，但依(yi)常禮。其諫諍皆(jie)此(ci)類(lei)也。
卷(juan)，一(yi)(yi)行(xing)(xing)尤(you)明(ming)(ming)著述，撰(zhuan)(zhuan)《大衍(yan)論》三(san)卷(juan)，《攝調伏藏(zang)》十(shi)(shi)(shi)卷(juan)，《天(tian)一(yi)(yi)太(tai)一(yi)(yi)經》及(ji)《太(tai)一(yi)(yi)局遁甲經》、《釋氏系錄》各一(yi)(yi)卷(juan)。時(shi)《麟德歷經》推(tui)步漸疏(shu)，敕一(yi)(yi)行(xing)(xing)考前代諸家歷法，改撰(zhuan)(zhuan)新歷，又(you)令率(lv)府長史梁令瓚等(deng)與(yu)工人創造(zao)黃道游儀(yi)，以(yi)考七曜(yao)行(xing)(xing)度，互相(xiang)證明(ming)(ming)。于(yu)是一(yi)(yi)行(xing)(xing)推(tui)《周易》大衍(yan)之數，立衍(yan)以(yi)應之，改撰(zhuan)(zhuan)《開元大衍(yan)歷經》。至十(shi)(shi)(shi)五年卒，年四(si)十(shi)(shi)(shi)五，賜謚曰“大慧禪師”。
魏(wei)書初，一(yi)行(xing)(xing)從祖東臺舍(she)人(ren)(ren)太素，撰《后魏(wei)書》一(yi)百卷，其(qi)《天文志》未成，一(yi)行(xing)(xing)續(xu)而(er)成之。上(shang)為一(yi)行(xing)(xing)制碑文，親書于石，出(chu)內庫錢五十萬，為起塔于銅(tong)人(ren)(ren)之原(yuan)。明年，幸(xing)溫湯，過其(qi)塔前，又駐騎徘徊，令品官就塔以(yi)告其(qi)出(chu)豫之意；更賜絹(juan)五十匹，以(yi)蒔(shi)塔前松柏焉。
逅攏初，一行求訪師資，以窮大衍，至天臺山國清寺，見一院(yuan)，古(gu)松十數，門(men)(men)有流水。一行立于門(men)(men)屏(ping)間，聞院(yuan)僧于庭布算聲，而謂其(qi)徒曰：“今日當(dang)(dang)有弟子自遠(yuan)求吾算法，已合到門(men)(men)，豈無(wu)人(ren)導(dao)達也？”即(ji)除(chu)一算。又謂曰：“門(men)(men)前水當(dang)(dang)卻西(xi)流，弟子亦至。”一行承其(qi)言(yan)而趨入，稽(ji)首(shou)請(qing)法，盡受其(qi)術(shu)焉，而門(men)(men)前水果卻西(xi)流。道士邢(xing)和璞嘗謂尹愔(yin)曰：“一行其(qi)圣(sheng)(sheng)人(ren)乎？漢(han)之洛下閎造歷，云：‘后八百歲當(dang)(dang)差(cha)一日，必有圣(sheng)(sheng)人(ren)正(zheng)之。’今年(nian)期畢矣(yi)，而一行造《大衍》正(zheng)其(qi)差(cha)謬，則(ze)洛下閎之言(yan)，信矣(yi)！非(fei)圣(sheng)(sheng)人(ren)而何？
為之(zhi)時又有黃州(zhou)僧泓者(zhe)，善葬法。每(mei)行視山原，即為之(zhi)圖，張說(shuo)深信(xin)重之(zhi)。
說(shuo)，桑道(dao)茂者，大(da)歷中(zhong)(zhong)游京(jing)師，善太(tai)一遁甲五(wu)行災異之(zhi)(zhi)說(shuo)，言(yan)事(shi)無不(bu)中(zhong)(zhong)。代宗(zong)召之(zhi)(zhi)禁中(zhong)(zhong)，待詔翰林。建中(zhong)(zhong)初，神(shen)策軍修奉天(tian)(tian)城，道(dao)茂請(qing)高(gao)其垣墻(qiang)，大(da)為(wei)制(zhi)度，德(de)宗(zong)不(bu)之(zhi)(zhi)省。及朱泚之(zhi)(zhi)亂，帝蒼卒(zu)出幸(xing)，至奉天(tian)(tian)，方思道(dao)茂之(zhi)(zhi)言(yan)。時道(dao)茂已卒(zu)，命祭之(zhi)(zhi)。
贊(zan)曰(yue)：術數之精，事必前知。粲如垂象，變(bian)告無疑。怪誕之夫，誣罔蓍(shi)龜。致彼庸妄，幸時艱危。
一(yi)行主張在(zai)實測的基礎上編訂歷法。為(wei)此，首先(xian)需要有測量天體位(wei)置的儀器。他于開(kai)元(yuan)九(jiu)年(nian)(nian)（公元(yuan)721年(nian)(nian)）率(lv)府兵曹參軍梁令瓚設計黃道(dao)游儀，并制成(cheng)木模。一(yi)行決定(ding)用(yong)銅(tong)鐵鑄造，于開(kai)元(yuan)十一(yi)年(nian)(nian)（公元(yuan)723年(nian)(nian)）完成(cheng)。這架儀器的黃道(dao)不是固定(ding)的，可(ke)以(yi)在(zai)赤道(dao)上移位(wei)，以(yi)符合歲差現象（當時認為(wei)歲差是黃道(dao)沿赤道(dao)西(xi)退，實則相反）。
后來，一行和(he)梁令(ling)瓚等又設(she)計制造水(shui)(shui)(shui)運(yun)(yun)渾(hun)象(xiang)。這個以(yi)水(shui)(shui)(shui)力推動而運(yun)(yun)轉(zhuan)的(de)(de)渾(hun)象(xiang)，附有(you)報(bao)時裝置，可(ke)以(yi)自動報(bao)時，稱(cheng)為"水(shui)(shui)(shui)運(yun)(yun)渾(hun)天(tian)"或(huo)"開(kai)元水(shui)(shui)(shui)運(yun)(yun)渾(hun)天(tian)俯(fu)視圖"。水(shui)(shui)(shui)運(yun)(yun)渾(hun)天(tian)儀(yi)是一具依靠水(shui)(shui)(shui)力而使(shi)其運(yun)(yun)轉(zhuan)，能模仿天(tian)體(ti)運(yun)(yun)行的(de)(de)儀(yi)器，并可(ke)以(yi)測定時間。這個渾(hun)天(tian)儀(yi)改(gai)進了漢代(dai)科學家張衡(heng)的(de)(de)設(she)計，注水(shui)(shui)(shui)激輪(lun)，令(ling)其自轉(zhuan)，晝夜一周，除了表(biao)現星宿(su)的(de)(de)運(yun)(yun)動以(yi)外，還(huan)能表(biao)現日升月落，當然比張衡(heng)的(de)(de)水(shui)(shui)(shui)運(yun)(yun)渾(hun)象(xiang)儀(yi)更加精巧、復雜了。所以(yi)，當水(shui)(shui)(shui)運(yun)(yun)渾(hun)天(tian)儀(yi)造成(cheng)之后，置于(yu)武成(cheng)殿(dian)前，文武百僚觀看后，無不為其制作(zuo)精妙，測定朔望、報(bao)告時辰準確而嘆(tan)服，共稱(cheng)其妙。
特別是(shi)(shi)(shi)在水(shui)運渾天儀上(shang)，還設有兩個(ge)(ge)(ge)木(mu)人（相關(guan)的(de)(de)(de)(de)商州銅(tong)佛龕(kan)文物遺址(zhi)仍存），用(yong)齒輪帶動(dong)，一(yi)個(ge)(ge)(ge)木(mu)人每(mei)刻（古代(dai)(dai)(dai)把(ba)一(yi)晝夜分(fen)為一(yi)百刻）自動(dong)擊鼓，一(yi)個(ge)(ge)(ge)木(mu)人每(mei)辰（合現(xian)(xian)在兩個(ge)(ge)(ge)小(xiao)時(shi)）自動(dong)撞鐘。這兩個(ge)(ge)(ge)木(mu)人是(shi)(shi)(shi)運用(yong)機(ji)械原理而制成(cheng)的(de)(de)(de)(de)古代(dai)(dai)(dai)機(ji)器(qi)人。這是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)十分(fen)巧妙的(de)(de)(de)(de)計時(shi)機(ji)械，是(shi)(shi)(shi)世界上(shang)最早的(de)(de)(de)(de)機(ji)械時(shi)鐘裝(zhuang)置(zhi)，是(shi)(shi)(shi)現(xian)(xian)代(dai)(dai)(dai)機(ji)械類鐘表的(de)(de)(de)(de)祖先，比(bi)公(gong)元1370年西方才出現(xian)(xian)的(de)(de)(de)(de)威克鐘要早六個(ge)(ge)(ge)世紀，這充分(fen)顯示了中國古代(dai)(dai)(dai)勞動(dong)人民和科學家的(de)(de)(de)(de)聰明才智。
盡管這架水(shui)運渾天儀在使(shi)用了(le)一(yi)段時(shi)間后，便因銅鐵漸澀(se)，不能自轉而進入博物館了(le)。但是，一(yi)行(xing)和(he)梁(liang)令瓚卻以獲(huo)得天文鐘(zhong)(zhong)的發明(ming)(ming)權而永(yong)垂史冊。英(ying)國著名科(ke)技(ji)史家李(li)約瑟(se)博士在《中國科(ke)學技(ji)術史》第(di)四卷中說：高僧一(yi)行(xing)和(he)梁(liang)令瓚所發明(ming)(ming)的平行(xing)聯動裝置，實(shi)質(zhi)上就是最早的機(ji)械時(shi)鐘(zhong)(zhong)，是一(yi)切(qie)擒縱器的祖(zu)先，走在歐洲(zhou)14世紀第(di)一(yi)具機(ji)械時(shi)鐘(zhong)(zhong)的前面；
水(shui)運(yun)渾(hun)天(tian)儀上(shang)(shang)刻有(you)二十八宿，注(zhu)水(shui)激輪，每(mei)天(tian)一(yi)周，恰(qia)恰(qia)與天(tian)體周日(ri)視運(yun)動(dong)一(yi)致。水(shui)運(yun)渾(hun)天(tian)儀一(yi)半(ban)在水(shui)柜(ju)里，柜(ju)的(de)上(shang)(shang)框，有(you)如地(di)則自然撞(zhuang)鐘(zhong)(zhong)。整個水(shui)運(yun)渾(hun)天(tian)儀既(ji)能(neng)(neng)演示日(ri)、月、星辰(chen)的(de)視運(yun)動(dong)，又(you)能(neng)(neng)自動(dong)報(bao)時(shi)(shi)(shi),有(you)二木人(ren)，每(mei)刻(古(gu)代把一(yi)晝夜分做(zuo)一(yi)百刻=0.24小時(shi)(shi)(shi)=14,4分鐘(zhong)(zhong))擊鼓，每(mei)時(shi)(shi)(shi)辰(chen)（合現(xian)在兩小時(shi)(shi)(shi)）撞(zhuang)鐘(zhong)(zhong)。這是世界(jie)上(shang)(shang)最早將(jiang)擒(qin)縱應用于報(bao)時(shi)(shi)(shi)的(de)裝(zhuang)置(zhi)，比外(wai)國自鳴鐘(zhong)(zhong)的(de)出現(xian)早了六百多年。
一(yi)行等(deng)以新制(zhi)的(de)黃(huang)道(dao)游儀觀測(ce)日月五星的(de)運動，測(ce)量一(yi)些(xie)恒星的(de)赤道(dao)坐標和對(dui)黃(huang)道(dao)的(de)相(xiang)對(dui)位置(zhi)，發(fa)現這些(xie)恒星的(de)位置(zhi)同漢(han)代所(suo)測(ce)結(jie)果有很(hen)大變動。
一行受詔改歷后(hou)組織發起了(le)一次大規模(mo)的(de)天(tian)文(wen)大地測量工作。這(zhe)次測量，用實測數(shu)據徹底地否定了(le)歷史(shi)上(shang)的(de)“日(ri)影一寸(cun)，地差千里”的(de)錯(cuo)誤理論，提供了(le)相當(dang)精確的(de)地球子午線(xian)一度(du)弧(hu)的(de)長(chang)度(du)。
一(yi)行發(fa)(fa)起這次大規模的(de)(de)天(tian)文(wen)測(ce)量(liang)(liang)主要目(mu)的(de)(de)有二。其(qi)(qi)一(yi)，中國古代有一(yi)種傳統理論：“日(ri)(ri)影(ying)一(yi)寸(cun)，地(di)(di)差千里。”劉(liu)(liu)宋時期的(de)(de)天(tian)算家何承天(tian)根(gen)據當時在(zai)交州（今(jin)越南(nan)(nan)河內(nei)一(yi)帶）的(de)(de)測(ce)量(liang)(liang)數(shu)據，開始對此提出了懷疑(yi)，但長期未能得到證實。隋朝(chao)天(tian)算家劉(liu)(liu)焯則(ze)提出了用實測(ce)結果來否定(ding)這一(yi)錯(cuo)誤說法的(de)(de)具體計劃，他說：“交愛(ai)之州，表北(bei)無(wu)(wu)(wu)影(ying)，計無(wu)(wu)(wu)萬里，南(nan)(nan)過(guo)戴(dai)日(ri)(ri)，是千里一(yi)寸(cun)，非其(qi)(qi)實差。”他建議：“請一(yi)水工，并解算術士(shi)，取河南(nan)(nan)北(bei)平地(di)(di)之所(suo)，可(ke)量(liang)(liang)數(shu)百里，南(nan)(nan)北(bei)使正。審(shen)時以漏，平地(di)(di)以繩，隨氣至分，同(tong)(tong)日(ri)(ri)度影(ying)。得其(qi)(qi)差率，里即可(ke)知。則(ze)天(tian)地(di)(di)無(wu)(wu)(wu)所(suo)匿其(qi)(qi)形，辰象(xiang)無(wu)(wu)(wu)所(suo)逃其(qi)(qi)數(shu)，超前(qian)顯圣，效(xiao)象(xiang)除疑(yi)。”但這個建議在(zai)隋朝(chao)沒(mei)有被采納。一(yi)行的(de)(de)測(ce)量(liang)(liang)則(ze)實現(xian)(xian)了這一(yi)計劃。其(qi)(qi)二，當時發(fa)(fa)現(xian)(xian)，觀測(ce)地(di)(di)點(dian)不(bu)同(tong)(tong)，日(ri)(ri)食(shi)發(fa)(fa)生的(de)(de)時刻和所(suo)見食(shi)象(xiang)都(dou)不(bu)同(tong)(tong)，各(ge)節氣的(de)(de)日(ri)(ri)影(ying)長度和漏刻晝夜分也不(bu)相同(tong)(tong)。這種現(xian)(xian)象(xiang)是過(guo)去的(de)(de)歷(li)法所(suo)沒(mei)有考慮到的(de)(de)。這就需(xu)要到各(ge)地(di)(di)進行實地(di)(di)測(ce)量(liang)(liang)。
這(zhe)次(ci)測(ce)量(liang)過程中，由太史監南宮(gong)說(shuo)及太史官大(da)相(xiang)元(yuan)太等人(ren)分赴各地(di)，“測(ce)候(hou)日(ri)影，回日(ri)奏聞”。而一(yi)行(xing)“則以南北(bei)日(ri)影較量(liang)，用勾股法算之”。可見，一(yi)行(xing)不僅負責組織領導了(le)(le)這(zhe)次(ci)測(ce)量(liang)工(gong)作，而且(qie)親自承擔(dan)了(le)(le)測(ce)量(liang)數據的分析計算工(gong)作。
當時(shi)測量(liang)的范(fan)圍很廣，北到北緯(wei)(wei)51度左右(you)的鐵勒回紇部（今蒙古(gu)烏蘭巴托西南(nan)），南(nan)到約北緯(wei)(wei)18度的林邑（今越南(nan)的中部）等十三處，超出了現在中國南(nan)北的陸地疆(jiang)界(jie)。這樣的規模在世界(jie)科學(xue)史上都(dou)是(shi)空前的。
其(qi)中(zhong)最值(zhi)得(de)注(zhu)意的(de)(de)是由南(nan)宮說(shuo)親自率領的(de)(de)測(ce)量(liang)隊，按(an)劉焯的(de)(de)計劃在(zai)黃(huang)河(he)兩岸(an)平原地區測(ce)量(liang)的(de)(de)四個點(dian)，由北(bei)(bei)(bei)(bei)向南(nan)有滑州白馬(ma)(ma)（今(jin)(jin)河(he)南(nan)滑縣）、汴州浚儀太岳臺（今(jin)(jin)開封西北(bei)(bei)(bei)(bei)）、許州扶溝（今(jin)(jin)河(he)南(nan)扶溝）、豫州上(shang)蔡武津(jin)館（今(jin)(jin)河(he)南(nan)上(shang)蔡）。其(qi)中(zhong)白馬(ma)(ma)在(zai)黃(huang)河(he)北(bei)(bei)(bei)(bei)，其(qi)他三(san)點(dian)都在(zai)黃(huang)河(he)以南(nan)。它(ta)們均介于東經114.2度—114.5度之間，差(cha)不多(duo)在(zai)同一經度上(shang)（即劉焯所說(shuo)的(de)(de)“南(nan)北(bei)(bei)(bei)(bei)使正(zheng)”）。總計白馬(ma)(ma)至上(shang)蔡526里270步(bu)，北(bei)(bei)(bei)(bei)極高度相差(cha)1.5度，從而得(de)出大約三(san)百五十一里八十步(bu)，北(bei)(bei)(bei)(bei)極高度相差(cha)一度的(de)(de)結論。這實際(ji)上(shang)給出了地球子午線(xian)一度的(de)(de)長度。
由(you)于對唐尺(chi)數值的(de)大小，人(ren)們目前的(de)看法還不(bu)一(yi)致(zhi)，故評價一(yi)行(xing)這次子午線測量的(de)精度受到限制。初步的(de)估計結果是，一(yi)行(xing)的(de)測量值與現代值相比，相對誤(wu)差大約為11.8%。
國(guo)外最早(zao)根據(ju)日(ri)影長(chang)(chang)度(du)(du)計算(suan)地(di)(di)球(qiu)(qiu)周長(chang)(chang)的(de)是古希臘(la)科學家埃(ai)(ai)拉(la)托斯特尼，約公元前240年，他根據(ju)亞(ya)歷山大港與阿斯旺之間不同的(de)正(zheng)午(wu)時分的(de)太陽(yang)高線及(ji)三(san)角(jiao)學計算(suan)，以斯塔蒂(di)亞(ya)（stadia）為單(dan)位出(chu)地(di)(di)球(qiu)(qiu)的(de)直徑。斯塔蒂(di)亞(ya)乃是古希臘(la)的(de)長(chang)(chang)度(du)(du)單(dan)位，各地(di)(di)不一。如按(an)雅典的(de)長(chang)(chang)度(du)(du)算(suan)，則(ze)地(di)(di)球(qiu)(qiu)周長(chang)(chang)為46620公里(li)，多了16.3%，若按(an)埃(ai)(ai)及(ji)的(de)長(chang)(chang)度(du)(du)算(suan)，則(ze)地(di)(di)球(qiu)(qiu)周長(chang)(chang)為39690公里(li)，其誤差小于2%。
伊(yi)斯(si)蘭世界最早的子(zi)午線實(shi)測是(shi)在(zai)公(gong)元814年，在(zai)一(yi)行(xing)之后九十年，由天文學家(jia)阿爾·花剌子(zi)米（約783—850）參與組織，在(zai)幼發拉底河平原進行(xing)了(le)一(yi)次大地測量，測算結果(guo)得出子(zi)午線一(yi)度長為(wei)111.815公(gong)里（現(xian)代(dai)理論(lun)值(zhi)為(wei)110.6公(gong)里），相(xiang)當(dang)精(jing)確。
從(cong)開元十(shi)三年(nian)（公元725年(nian)）起(qi)，一(yi)行(xing)開始編(bian)歷(li)(li)(li)(li)。經過兩(liang)年(nian)時間，編(bian)成草(cao)稿，定名為《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)(li)(li)》。《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)(li)(li)》后經張說和歷(li)(li)(li)(li)官(guan)陳玄景等人整理成書。從(cong)開元十(shi)七年(nian)起(qi)，根據《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)(li)(li)》編(bian)算成的每(mei)年(nian)的歷(li)(li)(li)(li)書頒(ban)行(xing)全國。經過檢驗，《大衍(yan)(yan)歷(li)(li)(li)(li)》比唐代已(yi)有的其他歷(li)(li)(li)(li)法都(dou)更精密。開元二十(shi)一(yi)年(nian)（公元733年(nian)）傳入日本，行(xing)用近百年(nian)。
《大衍歷》的九服晷影算法及其正切函數表
中國古代歷法從東漢《四分歷》開始，就有各節氣初日晷影長度和太陽去極度的觀測記錄，漏刻、晷影成為古代歷法的重要計算項目。隋朝劉焯發明二次等間距插值法之后，李淳風首先將二次插值法引入到漏刻計算中，由每氣初日的漏刻、晷影長度數求該氣各日的漏刻、晷影數。但是，各歷法中所記載和計算的漏刻和晷影大多是陽城（今河南登封東南告成鎮）的數值。一行在編制《大衍歷》時，曾進行了大規模的天文測量，通過觀測知道，隨去極度變化的影長，又因地方而異，但同太陽的天頂距有固定的對應關系。一行在《大衍歷》中發明了求任何地方每日影長和去極度的計算方法，稱做“九服晷影”。歷法中已(yi)(yi)給出(chu)陽(yang)(yang)城各(ge)氣(qi)初日的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)去極度(du)，則各(ge)氣(qi)的去極度(du)差(cha)即(ji)為已(yi)(yi)知(zhi)(zhi)，同樣(yang)各(ge)氣(qi)的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天頂距(ju)(ju)差(cha)亦為已(yi)(yi)知(zhi)(zhi)，而這個(ge)(ge)差(cha)數(shu)對(dui)于任一(yi)地點都是相(xiang)等的。這樣(yang)一(yi)來，對(dui)于任一(yi)地方，只要知(zhi)(zhi)道某一(yi)節(jie)氣(qi)（如夏(xia)至(zhi)）的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天頂距(ju)(ju)，其(qi)他各(ge)氣(qi)的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天頂距(ju)(ju)都可以(yi)通(tong)過加減這個(ge)(ge)差(cha)數(shu)求(qiu)出(chu)。剩(sheng)下(xia)還(huan)要解決以(yi)下(xia)兩個(ge)(ge)問(wen)題：其(qi)一(yi)，如何求(qiu)某地夏(xia)至(zhi)（或冬至(zhi)）的太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天頂距(ju)(ju)；其(qi)二(er)，已(yi)(yi)知(zhi)(zhi)天頂距(ju)(ju)如何換算出(chu)晷影長。這兩個(ge)(ge)問(wen)題都可以(yi)通(tong)過建立一(yi)個(ge)(ge)影長與太(tai)(tai)陽(yang)(yang)天頂距(ju)(ju)的對(dui)應數(shu)表來解決。
如(ru)果列(lie)出一(yi)張(zhang)以天頂距(ju)為引數，每隔一(yi)度(du)的(de)影(ying)長(chang)的(de)數值表，則以上(shang)兩個問題都(dou)(dou)可(ke)(ke)以解決：先在所(suo)測地測出（冬(dong)）夏至晷影(ying)長(chang)度(du)（在一(yi)行領導的(de)大地測量中，在每處都(dou)(dou)進行了(le)這樣的(de)測量），由影(ying)長(chang)查(cha)表得出太(tai)陽天頂距(ju)，再加減一(yi)個如(ru)前所(suo)述的(de)差數即可(ke)(ke)求(qiu)出該地各氣的(de)天頂距(ju)，返回再查(cha)表得影(ying)長(chang)。一(yi)行在《大衍(yan)歷(li)》“步晷漏術”中就建立了(le)這樣一(yi)個從0度(du)到80度(du)的(de)每度(du)影(ying)長(chang)與(yu)太(tai)陽天頂距(ju)對應數表，這是世界數學史上(shang)最早的(de)一(yi)張(zhang)正(zheng)切(qie)函數表。
在(zai)國(guo)外，大(da)約920年(nian)(nian)左右，阿(a)(a)拉伯(bo)學者(zhe)阿(a)(a)爾·巴(ba)坦尼(ni)（al-Battani，約858年(nian)(nian)—929年(nian)(nian)）根據影長與太陽(yang)仰(yang)角(jiao)(jiao)之間的(de)(de)關系(xi)，編(bian)(bian)制(zhi)了(le)0度—90度每隔一(yi)度時12尺竿子的(de)(de)影長表(biao)(biao)，這實際上是一(yi)個12ctgα的(de)(de)數表(biao)(biao)。另(ling)一(yi)位阿(a)(a)拉伯(bo)學者(zhe)阿(a)(a)爾·威發(fa)（Abul-Wafa，940—998）在(zai)980年(nian)(nian)左右編(bian)(bian)成(cheng)了(le)正(zheng)(zheng)切(qie)(qie)和余(yu)(yu)切(qie)(qie)函(han)(han)(han)數表(biao)(biao)，每隔15度和10度給出一(yi)個值。他(ta)還首次引進了(le)正(zheng)(zheng)割和余(yu)(yu)割函(han)(han)(han)數。一(yi)行(xing)和阿(a)(a)爾·巴(ba)坦尼(ni)差不多沿著相(xiang)(xiang)(xiang)同的(de)(de)途徑編(bian)(bian)成(cheng)正(zheng)(zheng)切(qie)(qie)和余(yu)(yu)切(qie)(qie)函(han)(han)(han)數表(biao)(biao)。一(yi)行(xing)用太陽(yang)天(tian)頂距，阿(a)(a)爾·巴(ba)坦尼(ni)用太陽(yang)仰(yang)角(jiao)(jiao)，兩者(zhe)互為余(yu)(yu)角(jiao)(jiao)，所以(yi)他(ta)們兩人的(de)(de)發(fa)現是相(xiang)(xiang)(xiang)同的(de)(de)。而一(yi)行(xing)的(de)(de)正(zheng)(zheng)切(qie)(qie)函(han)(han)(han)數表(biao)(biao)比(bi)阿(a)(a)爾·巴(ba)坦尼(ni)的(de)(de)余(yu)(yu)切(qie)(qie)函(han)(han)(han)數表(biao)(biao)早(zao)(zao)近(jin)兩百年(nian)(nian)，比(bi)阿(a)(a)爾·威發(fa)的(de)(de)正(zheng)(zheng)切(qie)(qie)表(biao)(biao)要早(zao)(zao)二百五(wu)十年(nian)(nian)。盡管(guan)一(yi)行(xing)的(de)(de)正(zheng)(zheng)切(qie)(qie)函(han)(han)(han)數表(biao)(biao)只從0度到80度，誤差也相(xiang)(xiang)(xiang)應大(da)一(yi)些，但(dan)它畢竟(jing)是世界上最早(zao)(zao)的(de)(de)正(zheng)(zheng)切(qie)(qie)函(han)(han)(han)數表(biao)(biao)。
《大衍歷》的插值算法
今天常用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)牛頓插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)公式，其不等(deng)間(jian)距(ju)(ju)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式比(bi)等(deng)間(jian)距(ju)(ju)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式要復雜得多。天算(suan)(suan)史界有(you)一(yi)種(zhong)流行(xing)(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)看法(fa)(fa)，認(ren)為(wei)(wei)在中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國古(gu)代，唐(tang)朝天文學家、數(shu)學家一(yi)行(xing)(xing)(xing)在其《大(da)衍(yan)歷(li)》中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)發明了二次不等(deng)間(jian)距(ju)(ju)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)，且一(yi)行(xing)(xing)(xing)還有(you)意識地應用了三(san)次差內插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)法(fa)(fa)近(jin)似公式。因此，一(yi)行(xing)(xing)(xing)在插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)方(fang)面(mian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)貢獻備受中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)外(wai)天算(suan)(suan)史研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)者的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)關注。中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國古(gu)代非(fei)線性(xing)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)，是(shi)劉(liu)焯(zhuo)在其《皇(huang)(huang)極歷(li)》（604年）中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)考慮到(dao)太(tai)陽(yang)運動(dong)不均勻性(xing)為(wei)(wei)計算(suan)(suan)太(tai)陽(yang)行(xing)(xing)(xing)度改(gai)正值(zhi)(zhi)時首創的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。有(you)關中(zhong)(zhong)(zhong)(zhong)國古(gu)代插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)理研(yan)(yan)究(jiu)(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)新成果表明，劉(liu)焯(zhuo)二次等(deng)間(jian)距(ju)(ju)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)造術(shu)原理建(jian)立在源于《九章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》描(miao)述勻變速運動(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)模型基(ji)(ji)礎之上(shang)，認(ren)為(wei)(wei)太(tai)陽(yang)每日(ri)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)運行(xing)(xing)(xing)速度之值(zhi)(zhi)構成一(yi)等(deng)差數(shu)列。質言之，所用數(shu)學方(fang)法(fa)(fa)就(jiu)是(shi)構造一(yi)等(deng)差數(shu)列并求(qiu)其前若干項和。一(yi)行(xing)(xing)(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)(fa)并沒有(you)人們所想象(xiang)那樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)推廣意義。就(jiu)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)算(suan)(suan)法(fa)(fa)本身(shen)，一(yi)行(xing)(xing)(xing)算(suan)(suan)法(fa)(fa)與劉(liu)焯(zhuo)算(suan)(suan)法(fa)(fa)實質完(wan)全(quan)相(xiang)同。所不同的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)，《皇(huang)(huang)極歷(li)》是(shi)在以(yi)平氣為(wei)(wei)間(jian)隔的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)日(ri)躔表基(ji)(ji)礎上(shang)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)。而《大(da)衍(yan)歷(li)》是(shi)在以(yi)定氣為(wei)(wei)間(jian)隔的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)日(ri)躔表上(shang)插(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)(cha)值(zhi)(zhi)。
《太(tai)初歷》以后，各(ge)(ge)歷都以平(ping)分一(yi)(yi)回歸(gui)年365.25日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)為(wei)24等份而得每(mei)(mei)節(jie)氣(qi)(qi)長(chang)15.22日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)，這(zhe)樣規定(ding)(ding)的(de)(de)二(er)十四氣(qi)(qi)稱為(wei)“常氣(qi)(qi)”，或叫“平(ping)氣(qi)(qi)”。張子信指出“日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)行(xing)(xing)春(chun)分后則遲(chi)，秋分后則速(su)”，于是(shi)(shi)(shi)劉(liu)焯(zhuo)造《皇極歷》時體會到二(er)十四氣(qi)(qi)皆應有(you)“定(ding)(ding)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)”，他(ta)說(shuo)：“春(chun)、秋分定(ding)(ding)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)去(qu)冬至(zhi)各(ge)(ge)八十八日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)有(you)奇，去(qu)夏至(zhi)各(ge)(ge)九十三日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)有(you)奇。”但(dan)劉(liu)焯(zhuo)并沒(mei)有(you)搞清楚太(tai)陽(yang)速(su)度(du)的(de)(de)加(jia)減和(he)季節(jie)的(de)(de)關系，他(ta)的(de)(de)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)躔表是(shi)(shi)(shi)把(ba)秋分定(ding)(ding)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)后到春(chun)分定(ding)(ding)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)前(qian)平(ping)均分為(wei)12段(duan)，每(mei)(mei)氣(qi)(qi)14.54日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)；春(chun)分定(ding)(ding)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)后到秋分定(ding)(ding)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)前(qian)也平(ping)分為(wei)12段(duan)，每(mei)(mei)氣(qi)(qi)15.45日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)。這(zhe)顯然不(bu)是(shi)(shi)(shi)“定(ding)(ding)氣(qi)(qi)”。一(yi)(yi)行(xing)(xing)則認為(wei)，太(tai)陽(yang)在一(yi)(yi)回歸(gui)年365.2444日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)中(zhong)共行(xing)(xing)365.2444度(du)，每(mei)(mei)氣(qi)(qi)行(xing)(xing)15.2185度(du)。冬至(zhi)附近(jin)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)行(xing)(xing)速(su)度(du)最急，故二(er)氣(qi)(qi)間(jian)(jian)(jian)(jian)所需運行(xing)(xing)時間(jian)(jian)(jian)(jian)最短，夏至(zhi)附近(jin)日(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)(ri)行(xing)(xing)速(su)度(du)最緩(huan)，故二(er)氣(qi)(qi)間(jian)(jian)(jian)(jian)的(de)(de)時間(jian)(jian)(jian)(jian)最長(chang)。實際(ji)上，《大衍歷》這(zhe)里首先提出了(le)平(ping)分黃道為(wei)24等份，以太(tai)陽(yang)實際(ji)走完每(mei)(mei)個等份的(de)(de)時間(jian)(jian)(jian)(jian)長(chang)度(du)為(wei)各(ge)(ge)節(jie)氣(qi)(qi)長(chang)度(du)，這(zhe)就(jiu)是(shi)(shi)(shi)通常所稱的(de)(de)“定(ding)(ding)氣(qi)(qi)”概念(nian)(nian)。一(yi)(yi)行(xing)(xing)提出正確的(de)(de)定(ding)(ding)氣(qi)(qi)概念(nian)(nian)以后，在計算太(tai)陽(yang)改正時自然就(jiu)以定(ding)(ding)氣(qi)(qi)為(wei)插(cha)值間(jian)(jian)(jian)(jian)隔(ge)。至(zhi)于插(cha)值法本(ben)身則完全是(shi)(shi)(shi)沿(yan)用劉(liu)焯(zhuo)的(de)(de)方(fang)法。
值得一提的是，劉焯在日躔表中規(gui)定太(tai)陽視(shi)運動(dong)一年(nian)內的變(bian)化規(gui)律(lv)是：冬至(zhi)(zhi)最快，冬至(zhi)(zhi)后漸慢(man)，到(dao)(dao)(dao)立春時(shi)開始(shi)加(jia)快，春分(fen)時(shi)又達到(dao)(dao)(dao)最快，冬至(zhi)(zhi)到(dao)(dao)(dao)春分(fen)這段時(shi)間內日速(su)(su)比平均速(su)(su)度(du)快。春分(fen)后太(tai)陽視(shi)運動(dong)的速(su)(su)度(du)突變(bian)為最慢(man)，之后逐(zhu)漸加(jia)快，到(dao)(dao)(dao)立夏(xia)(xia)(xia)時(shi)又開始(shi)減(jian)慢(man)，夏(xia)(xia)(xia)至(zhi)(zhi)達到(dao)(dao)(dao)最慢(man)。春分(fen)到(dao)(dao)(dao)夏(xia)(xia)(xia)至(zhi)(zhi)時(shi)段內比平均速(su)(su)度(du)慢(man)。夏(xia)(xia)(xia)至(zhi)(zhi)以(yi)后的變(bian)化情(qing)況以(yi)夏(xia)(xia)(xia)至(zhi)(zhi)處為鏡面(mian)對稱。
《大衍(yan)歷(li)》盈縮分(fen)一年內的(de)變化趨勢將盈縮分(fen)在冬(dong)至附近最大，以(yi)后逐漸(jian)變小(xiao)，夏(xia)至時(shi)最小(xiao)，之后又(you)逐漸(jian)增大。這(zhe)(zhe)相當于把冬(dong)至作(zuo)為(wei)太陽(yang)視運動的(de)近日點(dian)(dian)，夏(xia)至為(wei)遠日點(dian)(dian)。這(zhe)(zhe)種認識(shi)是正確的(de)，而《皇(huang)極歷(li)》的(de)規定是不符合(he)實際的(de)。
說(shuo)一行有意識地應(ying)用了(le)三次差(cha)內(nei)插(cha)法(fa)的(de)(de)近似公式，是指《大衍歷》的(de)(de)月亮極黃緯算法(fa)和五星中(zhong)心差(cha)改正算法(fa)中(zhong)所(suo)用的(de)(de)插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)。當對(dui)中(zhong)國古代歷法(fa)中(zhong)的(de)(de)插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)的(de)(de)構造原理有了(le)深入(ru)的(de)(de)認(ren)識之后，研(yan)究(jiu)(jiu)者(zhe)進一步(bu)通(tong)過將這兩處插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)的(de)(de)有關術文與劉焯二次等間距(ju)插(cha)值(zhi)(zhi)法(fa)的(de)(de)術文進行對(dui)比研(yan)究(jiu)(jiu)，證明兩者(zhe)在實質上也是相(xiang)同的(de)(de)。
人們之所以會認為《大(da)衍歷(li)》使用了(le)三(san)次差(cha)插值(zhi)法(fa)，是(shi)因為《大(da)衍歷(li)》在(zai)(zai)上述(shu)兩種算法(fa)的(de)(de)(de)插值(zhi)法(fa)中都引(yin)入(ru)了(le)“中差(cha)”概念的(de)(de)(de)緣(yuan)故。但(dan)實際(ji)上一(yi)(yi)行引(yin)入(ru)“中差(cha)”的(de)(de)(de)原因在(zai)(zai)于，劉焯日躔表(biao)中的(de)(de)(de)各(ge)氣陟降(jiang)率之差(cha)是(shi)相等(deng)的(de)(de)(de)，而《大(da)衍歷(li)》月(yue)亮極黃緯等(deng)數表(biao)相鄰兩欄的(de)(de)(de)差(cha)一(yi)(yi)般不等(deng)。這(zhe)種現(xian)象的(de)(de)(de)出現(xian)，正是(shi)一(yi)(yi)行受命改(gai)歷(li)時作了(le)大(da)量天文觀測的(de)(de)(de)結果。若仍照搬《皇極歷(li)》的(de)(de)(de)做法(fa)，就會出現(xian)同(tong)一(yi)(yi)點(dian)處(chu)有可能得到兩個不同(tong)的(de)(de)(de)值(zhi)的(de)(de)(de)現(xian)象，這(zhe)就迫使一(yi)(yi)行必須(xu)在(zai)(zai)計算方(fang)法(fa)上進行一(yi)(yi)點(dian)細節上的(de)(de)(de)調整(zheng)。
巧笑倩兮 
