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歷史背景

數(shu)(shu)學中的(de)轉折點是笛卡(ka)爾的(de)變數(shu)(shu)，有了(le)(le)(le)變數(shu)(shu)，運(yun)動進入了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學，有了(le)(le)(le)變數(shu)(shu)，辯(bian)證法進入了(le)(le)(le)數(shu)(shu)學，有了(le)(le)(le)變數(shu)(shu)，微分學和積分學也就(jiu)立刻成為必要的(de)了(le)(le)(le)，而它(ta)們(men)也就(jiu)立刻產生，并且是由(you)(you)牛頓和萊布尼茲大體上(shang)完成的(de)，但不(bu)是由(you)(you)他們(men)發明的(de)。——恩格(ge)斯

從15世紀初歐洲文藝復興時期起(qi)，工業(ye)、農業(ye)、航海事業(ye)與(yu)(yu)商賈貿易的(de)(de)(de)大規模發(fa)展，形成(cheng)了(le)一個新的(de)(de)(de)經濟(ji)時代，宗教改革(ge)與(yu)(yu)對教會思(si)想禁錮的(de)(de)(de)懷疑，東方(fang)先進的(de)(de)(de)科學(xue)(xue)(xue)(xue)技術通過阿拉伯的(de)(de)(de)傳(chuan)入，以(yi)及拜占(zhan)庭帝國覆滅后希臘大量文獻的(de)(de)(de)流入歐洲，在當時的(de)(de)(de)知識階層面(mian)前(qian)呈現出(chu)(chu)一個完全嶄新的(de)(de)(de)面(mian)貌。而十六世紀的(de)(de)(de)歐洲，正處在資本主義萌(meng)芽時期，生產(chan)力得到了(le)很大的(de)(de)(de)發(fa)展，生產(chan)實踐(jian)的(de)(de)(de)發(fa)展向自然科學(xue)(xue)(xue)(xue)提(ti)出(chu)(chu)了(le)新的(de)(de)(de)課(ke)題，迫切要求力學(xue)(xue)(xue)(xue)、天文學(xue)(xue)(xue)(xue)等基(ji)礎(chu)學(xue)(xue)(xue)(xue)科的(de)(de)(de)發(fa)展，而這些學(xue)(xue)(xue)(xue)科都是深刻依賴于數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)，因而也推動(dong)的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)(de)(de)發(fa)展。科學(xue)(xue)(xue)(xue)對數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)提(ti)出(chu)(chu)的(de)(de)(de)種種要求，最(zui)后匯總成(cheng)多個核心問題：

（1）運動中(zhong)速度與距離的互求問題

即，已(yi)知物(wu)(wu)(wu)體(ti)移動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)表為時(shi)(shi)(shi)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式(shi)，求物(wu)(wu)(wu)體(ti)在(zai)任(ren)意時(shi)(shi)(shi)刻的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)和加(jia)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)；反過來，已(yi)知物(wu)(wu)(wu)體(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)加(jia)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)表為時(shi)(shi)(shi)間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)公式(shi)，求速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)和距(ju)離(li)。這(zhe)類問題(ti)是(shi)研(yan)究(jiu)運(yun)動(dong)(dong)時(shi)(shi)(shi)直(zhi)接出現的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)，困難(nan)在(zai)于，所研(yan)究(jiu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)和加(jia)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)是(shi)每時(shi)(shi)(shi)每刻都在(zai)變(bian)化的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。比(bi)如，計算物(wu)(wu)(wu)體(ti)在(zai)某(mou)時(shi)(shi)(shi)刻的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)瞬(shun)時(shi)(shi)(shi)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)，就不能(neng)象計算平均(jun)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)那樣，用(yong)運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)(shi)間去除移動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)，因(yin)為在(zai)給定的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)瞬(shun)間，物(wu)(wu)(wu)體(ti)移動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)和所用(yong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)(shi)間是(shi)，而是(shi)無意義的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。但是(shi)，根據物(wu)(wu)(wu)理，每個運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)(wu)體(ti)在(zai)它運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)每一(yi)時(shi)(shi)(shi)刻必有速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)，這(zhe)也是(shi)無疑(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。已(yi)知速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)公式(shi)求移動(dong)(dong)距(ju)離(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題(ti)，也遇(yu)到同樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)困難(nan)。因(yin)為速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)每時(shi)(shi)(shi)每刻都在(zai)變(bian)化，所以不能(neng)用(yong)運(yun)動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)(shi)間乘任(ren)意時(shi)(shi)(shi)刻的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)速(su)(su)(su)度(du)(du)(du)(du)，來得到物(wu)(wu)(wu)體(ti)移動(dong)(dong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)距(ju)離(li)。

（2）求曲線的切線問(wen)題

這個問(wen)題(ti)本(ben)身是(shi)純(chun)幾何的(de)，而(er)且對于(yu)(yu)科(ke)學(xue)應用有巨大的(de)重要(yao)性。由(you)于(yu)(yu)研究(jiu)天文的(de)需要(yao)，光(guang)學(xue)是(shi)十七(qi)世紀(ji)的(de)一(yi)門較重要(yao)的(de)科(ke)學(xue)研究(jiu)，透鏡的(de)設計者要(yao)研究(jiu)光(guang)線(xian)(xian)(xian)(xian)通(tong)過透鏡的(de)通(tong)道，必須知道光(guang)線(xian)(xian)(xian)(xian)入(ru)射透鏡的(de)角度以便應用反(fan)射定律，這里(li)重要(yao)的(de)是(shi)光(guang)線(xian)(xian)(xian)(xian)與(yu)曲線(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)法線(xian)(xian)(xian)(xian)間的(de)夾(jia)角，而(er)法線(xian)(xian)(xian)(xian)是(shi)垂(chui)直于(yu)(yu)切線(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)，所以總(zong)是(shi)就在于(yu)(yu)求出(chu)法線(xian)(xian)(xian)(xian)或(huo)切線(xian)(xian)(xian)(xian)；另一(yi)個涉及到曲線(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)切線(xian)(xian)(xian)(xian)的(de)科(ke)學(xue)問(wen)題(ti)出(chu)現于(yu)(yu)運(yun)動(dong)的(de)研究(jiu)中，求運(yun)動(dong)物體在它的(de)軌跡上(shang)任一(yi)點上(shang)的(de)運(yun)動(dong)方向(xiang)，即軌跡的(de)切線(xian)(xian)(xian)(xian)方向(xiang)。

（3）求長度(du)、面積、體積、與重心(xin)問題等

這(zhe)(zhe)些問題包括(kuo)，求曲(qu)線(xian)(xian)的(de)(de)長度（如(ru)行(xing)星(xing)在已(yi)知時期移動的(de)(de)距離(li)），曲(qu)線(xian)(xian)圍成(cheng)的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)，曲(qu)面(mian)圍成(cheng)的(de)(de)體(ti)積(ji)(ji)(ji)，物(wu)體(ti)的(de)(de)重心(xin)，一個(ge)相當(dang)大的(de)(de)物(wu)體(ti)（如(ru)行(xing)星(xing)）作(zuo)用于另一物(wu)體(ti)上(shang)的(de)(de)引力(li)。實(shi)際(ji)上(shang)，關于計算橢圓的(de)(de)長度的(de)(de)問題，就(jiu)難住(zhu)數(shu)(shu)學家們(men)(men)，以(yi)致有一段時期數(shu)(shu)學家們(men)(men)對這(zhe)(zhe)個(ge)問題的(de)(de)進一步工(gong)作(zuo)失敗了，直到下一世紀(ji)才得到新的(de)(de)結果。又如(ru)求面(mian)積(ji)(ji)(ji)問題，早在古希臘時期人們(men)(men)就(jiu)用窮(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)求出了一些面(mian)積(ji)(ji)(ji)和體(ti)積(ji)(ji)(ji)，如(ru)求拋物(wu)線(xian)(xian)在區間上(shang)與(yu)軸和直線(xian)(xian)所圍成(cheng)的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)，他們(men)(men)就(jiu)采用了窮(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)。當(dang)越來(lai)越小時，右端的(de)(de)結果就(jiu)越來(lai)越接近所求的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)精確值。但是，應用窮(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)，必須添上(shang)許多技藝(yi)，并且缺乏(fa)一般性，常(chang)(chang)常(chang)(chang)得不到數(shu)(shu)字解。當(dang)阿基米(mi)德的(de)(de)工(gong)作(zuo)在歐洲聞名時，求長度、面(mian)積(ji)(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)(ji)和重心(xin)的(de)(de)興趣復活(huo)了。窮(qiong)竭(jie)法(fa)(fa)先是逐漸地(di)被修改，后來(lai)由于微積(ji)(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)創(chuang)立而根本地(di)修改了。

（4）求最大值和最小值問題(ti)

炮彈(dan)在炮筒里射(she)(she)出，它運(yun)行(xing)的(de)水平距(ju)離(li)，即(ji)(ji)射(she)(she)程(cheng)，依(yi)賴于炮筒對地面的(de)傾斜角(jiao)，即(ji)(ji)發射(she)(she)角(jiao)。一個“實際”的(de)問題(ti)(ti)是(shi)求(qiu)能獲得最(zui)大射(she)(she)程(cheng)的(de)發射(she)(she)角(jiao)。十七世紀初期(qi)，Galileo斷定(ding)（在真空中）最(zui)大射(she)(she)程(cheng)在發射(she)(she)角(jiao)是(shi)時(shi)達(da)到(dao)(dao)；他還得出炮彈(dan)從各個不(bu)同角(jiao)度發射(she)(she)后所達(da)到(dao)(dao)的(de)不(bu)同的(de)最(zui)大高度。研究(jiu)行(xing)星(xing)的(de)運(yun)動也涉及到(dao)(dao)最(zui)大值和最(zui)小值的(de)問題(ti)(ti)，如求(qiu)行(xing)星(xing)離(li)開太陽(yang)的(de)距(ju)離(li)。

創立過程

早期思想

早在公(gong)元(yuan)前7世紀，古(gu)希(xi)臘科學(xue)家、哲學(xue)家泰(tai)勒斯就(jiu)對球(qiu)的(de)(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)、體(ti)積(ji)(ji)、與長度等問(wen)題的(de)(de)(de)研究就(jiu)含有微(wei)積(ji)(ji)分(fen)思(si)想(xiang)。古(gu)希(xi)臘數(shu)學(xue)家、力(li)學(xue)家阿基米德（公(gong)元(yuan)前287~前212）的(de)(de)(de)著作《圓的(de)(de)(de)測量(liang)》和(he)《論球(qiu)與圓柱》中(zhong)(zhong)就(jiu)已含有積(ji)(ji)分(fen)學(xue)的(de)(de)(de)萌芽，他在研究解決拋(pao)物線(xian)下(xia)(xia)的(de)(de)(de)弓形面(mian)積(ji)(ji)、球(qiu)和(he)球(qiu)冠面(mian)積(ji)(ji)、螺線(xian)下(xia)(xia)的(de)(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)和(he)旋(xuan)轉(zhuan)雙曲線(xian)所(suo)得的(de)(de)(de)體(ti)積(ji)(ji)的(de)(de)(de)問(wen)題中(zhong)(zhong)就(jiu)隱含著近代(dai)積(ji)(ji)分(fen)的(de)(de)(de)思(si)想(xiang)。中(zhong)(zhong)國古(gu)代(dai)數(shu)學(xue)家也(ye)產生過積(ji)(ji)分(fen)學(xue)的(de)(de)(de)萌芽思(si)想(xiang)，例如三國時期的(de)(de)(de)劉徽，他對積(ji)(ji)分(fen)學(xue)的(de)(de)(de)思(si)想(xiang)主要有兩點：割(ge)圓術及求(qiu)體(ti)積(ji)(ji)問(wen)題的(de)(de)(de)設想(xiang)。

在3世紀，中國(guo)數學家劉(liu)徽創立(li)的(de)割圓(yuan)(yuan)術(shu)用圓(yuan)(yuan)內接(jie)正(zheng)九十六邊形的(de)面(mian)積近似(si)代替圓(yuan)(yuan)面(mian)積，求出圓(yuan)(yuan)周率的(de)近似(si)值(zhi)，并指出：“割之彌細，所失(shi)彌少，割之又割，以(yi)至不可割，則(ze)與圓(yuan)(yuan)合體而無所失(shi)矣”。劉(liu)徽對面(mian)積的(de)深刻(ke)認識和他的(de)割圓(yuan)(yuan)術(shu)方(fang)法，正(zheng)是(shi)極(ji)(ji)(ji)限(xian)思想的(de)具體體現。數列極(ji)(ji)(ji)限(xian)是(shi)函(han)數極(ji)(ji)(ji)限(xian)的(de)基礎，一個數列如果當無限(xian)增大時(shi)，與某一實(shi)數無限(xian)接(jie)近，就稱之為(wei)收(shou)斂數列，為(wei)數列的(de)極(ji)(ji)(ji)限(xian)。

客觀價值

客觀(guan)世界的一切事物，小至粒子，大(da)至宇宙，始(shi)終都在運(yun)動和(he)變(bian)化(hua)著。因此在數學中引入了變(bian)量的概念后，就有可(ke)能把運(yun)動現象用數學來加(jia)以描述了。

由(you)于函數(shu)概念的(de)(de)(de)產(chan)生和運用的(de)(de)(de)加深，也(ye)由(you)于科(ke)學(xue)技術發(fa)展的(de)(de)(de)需(xu)要，一門新的(de)(de)(de)數(shu)學(xue)分(fen)支就繼(ji)解析幾何之后(hou)產(chan)生了(le)，這就是(shi)微積分(fen)學(xue)。微積分(fen)學(xue)這門學(xue)科(ke)在數(shu)學(xue)發(fa)展中的(de)(de)(de)地位是(shi)十分(fen)重要的(de)(de)(de)，可以說它是(shi)繼(ji)歐氏幾何后(hou)，全部數(shu)學(xue)中的(de)(de)(de)最大的(de)(de)(de)一個創造。

歷史

微(wei)積分的(de)(de)(de)產生一(yi)般分為(wei)三個階(jie)段：極限概(gai)念；求積的(de)(de)(de)無限小方法；積分與微(wei)分的(de)(de)(de)互逆關(guan)系(xi)。最后一(yi)步是由牛頓、萊布尼茲完成(cheng)的(de)(de)(de)。前兩階(jie)段的(de)(de)(de)工作(zuo)，歐洲的(de)(de)(de)大(da)批數學(xue)家一(yi)直追溯到古希臘(la)的(de)(de)(de)阿基米(mi)德都作(zuo)出(chu)了各自的(de)(de)(de)貢獻。對于這方面(mian)的(de)(de)(de)工作(zuo)，古代中國(guo)毫不遜色(se)于西(xi)方，微(wei)積分思想在(zai)古代中國(guo)也有萌芽，甚至(zhi)不次于古希臘(la)。

微分早期

早在公(gong)元前7世(shi)紀，古(gu)希(xi)臘(la)科學家、哲學家泰勒斯就對球(qiu)(qiu)的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)、體積(ji)(ji)(ji)、與長度等問題(ti)的(de)(de)研究就含有微積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)思想(xiang)。古(gu)希(xi)臘(la)數學家、力學家阿基(ji)米德（公(gong)元前287~前212）的(de)(de)著作《圓(yuan)的(de)(de)測量》和(he)《論球(qiu)(qiu)與圓(yuan)柱(zhu)》中就已(yi)含有積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)學的(de)(de)萌芽，他(ta)在研究解(jie)決拋物(wu)線(xian)下(xia)的(de)(de)弓形面(mian)積(ji)(ji)(ji)、球(qiu)(qiu)和(he)球(qiu)(qiu)冠(guan)面(mian)積(ji)(ji)(ji)、螺線(xian)下(xia)的(de)(de)面(mian)積(ji)(ji)(ji)和(he)旋轉雙曲線(xian)所(suo)得的(de)(de)體積(ji)(ji)(ji)的(de)(de)問題(ti)中就隱含著近(jin)代積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)思想(xiang)。

極限思想

早在公元前(qian)7世(shi)紀(ji)，古(gu)希臘科學家、哲學家泰勒斯(si)就(jiu)對球的(de)(de)面(mian)積(ji)、體積(ji)、與長度等問題的(de)(de)研究就(jiu)含(han)有(you)微積(ji)分思(si)(si)想(xiang)。公元前(qian)4世(shi)紀(ji)《墨經》中有(you)了(le)有(you)窮(qiong)、無(wu)(wu)窮(qiong)、無(wu)(wu)限(xian)(xian)小（最(zui)小無(wu)(wu)內(nei)）、無(wu)(wu)窮(qiong)大（最(zui)大無(wu)(wu)外）的(de)(de)定(ding)義和(he)極限(xian)(xian)、瞬時等概(gai)念。劉徽公元263年首創的(de)(de)割圓(yuan)術求圓(yuan)面(mian)積(ji)和(he)方錐體積(ji)，求得圓(yuan)周率約等于3.1416，他的(de)(de)極限(xian)(xian)思(si)(si)想(xiang)和(he)無(wu)(wu)窮(qiong)小方法，是世(shi)界古(gu)代極限(xian)(xian)思(si)(si)想(xiang)的(de)(de)深刻體現(xian)。

公元前三(san)世紀，古希臘的(de)(de)阿基米德在(zai)研究解決拋物弓(gong)形的(de)(de)面積(ji)、球和球冠(guan)面積(ji)、螺線下面積(ji)和旋(xuan)轉雙(shuang)曲體(ti)的(de)(de)體(ti)積(ji)的(de)(de)問題中(zhong)(zhong)，就隱含著(zhu)近代積(ji)分學(xue)的(de)(de)思想。作為微(wei)分學(xue)基礎的(de)(de)極限理論來說，在(zai)古代以(yi)有比(bi)較清楚的(de)(de)論述。比(bi)如我國的(de)(de)莊周(zhou)所(suo)著(zhu)的(de)(de)《莊子》一(yi)書的(de)(de)“天下篇”中(zhong)(zhong)，記(ji)有“一(yi)尺之棰，日取其半(ban)，萬世不竭”。三(san)國時期的(de)(de)劉徽在(zai)他(ta)的(de)(de)割(ge)圓術中(zhong)(zhong)提(ti)到(dao)“割(ge)之彌細，所(suo)失(shi)(shi)彌小，割(ge)之又割(ge)，以(yi)至于不可割(ge)，則與圓周(zhou)和體(ti)而無所(suo)失(shi)(shi)矣。”這些都(dou)是樸素(su)的(de)(de)、也是很典(dian)型的(de)(de)極限概念。

微積分思想

微積分思(si)想雖然可追溯到(dao)古希(xi)臘(la)，但它的(de)(de)概念和(he)法(fa)則卻是16世紀(ji)(ji)下半葉(xie)，開普勒、卡瓦列(lie)利等求(qiu)積的(de)(de)不可分量(liang)思(si)想和(he)方(fang)法(fa)基礎上(shang)產生和(he)發展起來的(de)(de)。而這些思(si)想和(he)方(fang)法(fa)從(cong)劉徽對圓(yuan)錐、圓(yuan)臺、圓(yuan)柱的(de)(de)體積公式(shi)的(de)(de)證(zheng)明(ming)到(dao)公元5世紀(ji)(ji)祖恒求(qiu)球體積的(de)(de)方(fang)法(fa)中(zhong)都可找到(dao)。北(bei)宋(song)大科學(xue)家沈(shen)括的(de)(de)《夢溪筆(bi)談》獨創了“隙積術”、“會圓(yuan)術”和(he)“棋局都數術”開創了對高階等差(cha)級數求(qiu)和(he)的(de)(de)研究。

特別是(shi)(shi)13世紀40年(nian)代(dai)到14世紀初，在主要領域都(dou)達到了(le)(le)中國(guo)古代(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)的(de)(de)高(gao)峰，出(chu)現了(le)(le)現通(tong)稱賈(jia)憲三(san)角形的(de)(de)“開方作法本源圖”和增乘(cheng)開方法、“正(zheng)負開方術(shu)(shu)”、“大(da)(da)(da)衍求一術(shu)(shu)”、“大(da)(da)(da)衍總(zong)數(shu)(shu)(shu)術(shu)(shu)”（一次同余式組解(jie)法）、“垛積(ji)(ji)術(shu)(shu)”（高(gao)階等(deng)差級(ji)數(shu)(shu)(shu)求和）、“招(zhao)差術(shu)(shu)”（高(gao)次差內(nei)差法）、“天元(yuan)術(shu)(shu)”（數(shu)(shu)(shu)字高(gao)次方程一般解(jie)法）、“四(si)元(yuan)術(shu)(shu)”（四(si)元(yuan)高(gao)次方程組解(jie)法）、勾股數(shu)(shu)(shu)學(xue)、弧矢(shi)割圓(yuan)術(shu)(shu)、組合(he)數(shu)(shu)(shu)學(xue)、計算(suan)技(ji)術(shu)(shu)改革(ge)和珠算(suan)等(deng)都(dou)是(shi)(shi)在世界數(shu)(shu)(shu)學(xue)史(shi)上有重要地位的(de)(de)杰出(chu)成果，中國(guo)古代(dai)數(shu)(shu)(shu)學(xue)有了(le)(le)微積(ji)(ji)分(fen)(fen)前(qian)兩階段的(de)(de)出(chu)色工作，其中許多都(dou)是(shi)(shi)微積(ji)(ji)分(fen)(fen)得(de)以創立(li)的(de)(de)關鍵。中國(guo)已具備(bei)了(le)(le)17世紀發明微積(ji)(ji)分(fen)(fen)前(qian)夕的(de)(de)全部內(nei)在條件，已經(jing)接近了(le)(le)微積(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)大(da)(da)(da)門。可惜(xi)中國(guo)元(yuan)朝以后，八股取士制造成了(le)(le)學(xue)術(shu)(shu)上的(de)(de)大(da)(da)(da)倒退(tui)，封建統治的(de)(de)文化專制和盲目排外致使包括(kuo)數(shu)(shu)(shu)學(xue)在內(nei)的(de)(de)科學(xue)日漸衰落，在微積(ji)(ji)分(fen)(fen)創立(li)的(de)(de)最關鍵一步落伍(wu)了(le)(le)。

十七世紀

到了十七世紀(ji)，有許多(duo)科學問(wen)(wen)題(ti)需要(yao)解決，這(zhe)些問(wen)(wen)題(ti)也就成(cheng)了促使微積分產(chan)生的(de)(de)(de)因素。歸結起來(lai)，大約有四種(zhong)主要(yao)類型的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)：第一類是(shi)(shi)(shi)(shi)研(yan)究運(yun)動的(de)(de)(de)時(shi)候(hou)直接出現的(de)(de)(de)，也就是(shi)(shi)(shi)(shi)求(qiu)即時(shi)速度(du)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)。第二類問(wen)(wen)題(ti)是(shi)(shi)(shi)(shi)求(qiu)曲(qu)線(xian)的(de)(de)(de)切線(xian)的(de)(de)(de)問(wen)(wen)題(ti)。第三類問(wen)(wen)題(ti)是(shi)(shi)(shi)(shi)求(qiu)函(han)數(shu)的(de)(de)(de)最(zui)大值(zhi)(zhi)和最(zui)小值(zhi)(zhi)問(wen)(wen)題(ti)。第四類問(wen)(wen)題(ti)是(shi)(shi)(shi)(shi)求(qiu)曲(qu)線(xian)長、曲(qu)線(xian)圍成(cheng)的(de)(de)(de)面積、曲(qu)面圍成(cheng)的(de)(de)(de)體(ti)積、物體(ti)的(de)(de)(de)重心(xin)、一個體(ti)積相當大的(de)(de)(de)物體(ti)作用于另一物體(ti)上的(de)(de)(de)引(yin)力。

數(shu)(shu)學首先從對(dui)運動（如天文、航海(hai)問題(ti)(ti)(ti)等）的(de)研究中(zhong)(zhong)(zhong)引出了一(yi)個(ge)基(ji)本概(gai)念，在那以(yi)后的(de)二百年里，這(zhe)個(ge)概(gai)念在幾乎所(suo)有(you)的(de)工作中(zhong)(zhong)(zhong)占(zhan)中(zhong)(zhong)(zhong)心(xin)位(wei)置，這(zhe)就是(shi)函數(shu)(shu)——或變量(liang)間關系——的(de)概(gai)念。緊接著(zhu)函數(shu)(shu)概(gai)念的(de)采用(yong)，產(chan)生了微積(ji)分，它(ta)是(shi)繼Euclid幾何之后，全部數(shu)(shu)學中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)一(yi)個(ge)最(zui)大的(de)創造。圍繞著(zhu)解決上(shang)述四個(ge)核心(xin)的(de)科學問題(ti)(ti)(ti)，微積(ji)分問題(ti)(ti)(ti)至(zhi)少被十(shi)七世紀(ji)十(shi)幾個(ge)最(zui)大的(de)數(shu)(shu)學家和幾十(shi)個(ge)小一(yi)些的(de)數(shu)(shu)學家探索過。位(wei)于他們全部貢獻(xian)頂峰的(de)是(shi)牛(niu)頓和萊(lai)布尼茨的(de)成就。在此，我們主要來介(jie)紹(shao)這(zhe)兩位(wei)大師的(de)工作。

實際(ji)上，在牛頓和萊(lai)布尼茨作出(chu)他們的沖刺之前，微(wei)積分的大量(liang)知識已經積累起來了。十七世紀的許(xu)多(duo)著名(ming)的數(shu)學(xue)家、天文學(xue)家、物理學(xue)家都(dou)為(wei)解決上述幾類問(wen)題(ti)作了大量(liang)的研究(jiu)工作，如法國的費馬、笛(di)卡爾、羅伯瓦(wa)、笛(di)沙格；英(ying)國的巴羅、沃利斯(si)；德(de)國的開普(pu)勒；意大利的卡瓦(wa)列里(li)等人都(dou)提出(chu)許(xu)多(duo)很(hen)有建(jian)樹(shu)的理論。為(wei)微(wei)積分的創立做出(chu)了貢(gong)獻。

例如費馬、巴羅、笛卡(ka)爾都對求(qiu)曲線的(de)(de)(de)切線以及曲線圍成(cheng)的(de)(de)(de)面積問(wen)題有過(guo)深(shen)入的(de)(de)(de)研究，并且得(de)到了一些結果(guo)，但是(shi)(shi)他們(men)都沒有意識(shi)到它的(de)(de)(de)重要(yao)性。在十七世紀(ji)的(de)(de)(de)前(qian)三分(fen)之二，微(wei)積分(fen)的(de)(de)(de)工作沉沒在細節里，作用(yong)不(bu)大(da)的(de)(de)(de)細微(wei)末節的(de)(de)(de)推(tui)理使他們(men)筋疲力盡了。只有少數幾(ji)個大(da)學家意識(shi)到了這(zhe)個問(wen)題，如James Gregory說過(guo)：“數學的(de)(de)(de)真正劃分(fen)不(bu)是(shi)(shi)分(fen)成(cheng)幾(ji)何(he)和(he)(he)(he)算術，而是(shi)(shi)分(fen)成(cheng)普遍(bian)的(de)(de)(de)和(he)(he)(he)特殊的(de)(de)(de)”。而這(zhe)普遍(bian)的(de)(de)(de)東西是(shi)(shi)由兩個包羅萬象的(de)(de)(de)思想(xiang)家牛頓和(he)(he)(he)萊布尼茨提(ti)供的(de)(de)(de)。

十七世紀下半葉，在(zai)(zai)前(qian)人工作(zuo)的(de)基礎上(shang)，英國大(da)科學(xue)家牛(niu)頓和(he)德國數學(xue)家萊布尼(ni)茨分(fen)別在(zai)(zai)自己的(de)國度里獨(du)自研究(jiu)和(he)完成了微(wei)積(ji)(ji)分(fen)的(de)創立(li)工作(zuo)，雖然這只是十分(fen)初步的(de)工作(zuo)。他們的(de)最大(da)功績(ji)是把兩個貌似毫(hao)不相關的(de)問題(ti)(ti)(ti)聯系(xi)在(zai)(zai)一(yi)起，一(yi)個是切線(xian)問題(ti)(ti)(ti)（微(wei)分(fen)學(xue)的(de)中(zhong)心(xin)問題(ti)(ti)(ti)），一(yi)個是求積(ji)(ji)問題(ti)(ti)(ti)（積(ji)(ji)分(fen)學(xue)的(de)中(zhong)心(xin)問題(ti)(ti)(ti)）。

牛(niu)頓和萊(lai)(lai)布尼茨建立微積分的(de)(de)出發點(dian)是(shi)直觀的(de)(de)無窮小(xiao)量，因(yin)此這門學(xue)科早期(qi)也稱為無窮小(xiao)分析，這正(zheng)是(shi)數學(xue)中分析學(xue)這一大分支名(ming)稱的(de)(de)來(lai)(lai)源。牛(niu)頓研(yan)究(jiu)微積分著重于從(cong)運動學(xue)來(lai)(lai)考慮(lv)，萊(lai)(lai)布尼茨卻是(shi)側重于幾何學(xue)來(lai)(lai)考慮(lv)的(de)(de)。

牛頓

牛頓(dun)在1671年寫(xie)了《流(liu)數(shu)(shu)法和(he)無窮(qiong)級數(shu)(shu)》，這(zhe)本書直到1736年才出(chu)版(ban)，它在這(zhe)本書里指出(chu)，變量(liang)是由點、線(xian)、面的連續(xu)運(yun)動(dong)(dong)產生(sheng)的，否定(ding)了以前自己(ji)認為的變量(liang)是無窮(qiong)小元素的靜止集(ji)合。他(ta)把連續(xu)變量(liang)叫做(zuo)流(liu)動(dong)(dong)量(liang)，把這(zhe)些流(liu)動(dong)(dong)量(liang)的導數(shu)(shu)叫做(zuo)流(liu)數(shu)(shu)。牛頓(dun)在流(liu)數(shu)(shu)術(shu)中所提出(chu)的中心問(wen)題是：已(yi)知(zhi)連續(xu)運(yun)動(dong)(dong)的路徑，求(qiu)給(gei)定(ding)時刻(ke)的速度（微分法）；已(yi)知(zhi)運(yun)動(dong)(dong)的速度求(qiu)給(gei)定(ding)時間內經(jing)過(guo)的路程(積(ji)分法)。

萊布尼茨

德國的萊(lai)布(bu)(bu)尼茨(ci)是(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)個(ge)博才多學(xue)的學(xue)者，1684年，他(ta)發表了現在世界上認(ren)為(wei)是(shi)(shi)最(zui)早的微(wei)積分(fen)(fen)文(wen)(wen)獻(xian)，這篇(pian)(pian)文(wen)(wen)章有一(yi)(yi)(yi)個(ge)很(hen)長而且很(hen)古怪的名字《一(yi)(yi)(yi)種(zhong)求極大極小和(he)(he)切線的新方法(fa)，它也適(shi)用(yong)(yong)于(yu)分(fen)(fen)式和(he)(he)無理量，以(yi)(yi)及(ji)這種(zhong)新方法(fa)的奇妙類型的計(ji)算》。就(jiu)是(shi)(shi)這樣一(yi)(yi)(yi)片(pian)說(shuo)理也頗含糊(hu)的文(wen)(wen)章，卻有劃時代的意義(yi)。他(ta)以(yi)(yi)含有現代的微(wei)分(fen)(fen)符(fu)號(hao)和(he)(he)基本微(wei)分(fen)(fen)法(fa)則(ze)。1686年，萊(lai)布(bu)(bu)尼茨(ci)發表了第一(yi)(yi)(yi)篇(pian)(pian)積分(fen)(fen)學(xue)的文(wen)(wen)獻(xian)。他(ta)是(shi)(shi)歷史上最(zui)偉大的符(fu)號(hao)學(xue)者之一(yi)(yi)(yi)，他(ta)所創設(she)的微(wei)積分(fen)(fen)符(fu)號(hao)，遠(yuan)遠(yuan)優于(yu)牛頓的符(fu)號(hao)，這對微(wei)積分(fen)(fen)的發展有極大的影響。我們使用(yong)(yong)的微(wei)積分(fen)(fen)通用(yong)(yong)符(fu)號(hao)就(jiu)是(shi)(shi)當時萊(lai)布(bu)(bu)尼茨(ci)精心選用(yong)(yong)的。

從幼年時(shi)代起，萊(lai)布尼茨就(jiu)明顯展露出一顆(ke)燦爛的(de)思(si)想明星的(de)跡象。他(ta)(ta)13歲時(shi)就(jiu)像其他(ta)(ta)孩子讀(du)小(xiao)(xiao)說一樣輕松地閱讀(du)經院(yuan)學者(zhe)(zhe)的(de)艱(jian)深的(de)論文(wen)了。他(ta)(ta)提出無窮小(xiao)(xiao)的(de)微(wei)積分算(suan)法(fa)，并且他(ta)(ta)發表(biao)自己的(de)成果比艾薩克·牛頓爵(jue)士將(jiang)它的(de)手(shou)稿付(fu)梓早三年，而后(hou)者(zhe)(zhe)宣稱自己第一個做出了這項發現。

萊布尼茨是一(yi)個世故的(de)人(ren)，取悅(yue)于宮廷并得(de)到(dao)知名人(ren)士的(de)庇護(hu)。他(ta)與斯賓(bin)諾莎有私交，后者的(de)哲學(xue)給他(ta)以深(shen)刻的(de)印象，雖然他(ta)斷然與斯賓(bin)諾莎的(de)觀念分(fen)道揚鑣了(le)。

萊(lai)布尼茨與哲學家(jia)(jia)、神學家(jia)(jia)和(he)文人們進行著廣泛的(de)通信交往。在他的(de)宏大計劃中曾嘗試達成(cheng)新教和(he)天主(zhu)教之間(jian)的(de)一個和(he)解以及基督教國家(jia)(jia)之間(jian)的(de)聯(lian)合，這種聯(lian)合在他那個時代意(yi)味著歐洲聯(lian)盟。他還(huan)做(zuo)過后來(lai)成(cheng)為普魯(lu)士科(ke)學院的(de)柏林(lin)科(ke)學協會(hui)的(de)第(di)一會(hui)長。

他曾服務于漢諾威宮廷(ting)，但(dan)當(dang)喬治一世成為英格蘭國王時，萊布尼茨沒有被(bei)邀請同去，也許是(shi)由于他與牛頓的(de)爭端。他的(de)公眾(zhong)影響力下降了，而在1716年(nian)，他再無(wu)人注意，甚至被(bei)他所創立的(de)學會忽視的(de)情況下去世，終年(nian)70歲。

創立期爭議

微積分(fen)學(xue)的(de)創(chuang)立，極大地(di)推動了(le)數(shu)學(xue)的(de)發展(zhan)，過去很多(duo)初等(deng)數(shu)學(xue)束(shu)手無策(ce)的(de)問(wen)題，運用(yong)微積分(fen)，往往迎刃而解，顯示出微積分(fen)學(xue)的(de)非(fei)凡威力。

前面已經提到，一門(men)科(ke)學的(de)創(chuang)立(li)決(jue)不是某一個人的(de)業績，他(ta)必定是經過多(duo)少人的(de)努力(li)后，在積累了大量(liang)成(cheng)果(guo)的(de)基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成(cheng)的(de)。微積分也(ye)是這(zhe)樣。

不(bu)(bu)幸的(de)是，由于人(ren)們在(zai)欣賞微積分的(de)宏偉功(gong)效之(zhi)余，在(zai)提出誰是這門(men)學科的(de)創(chuang)立者的(de)時(shi)候，竟然引起了一場悍然大(da)波，造(zao)成了歐洲(zhou)大(da)陸的(de)數(shu)學家和英(ying)國數(shu)學家的(de)長期對(dui)立。英(ying)國數(shu)學在(zai)一個時(shi)期里(li)閉(bi)關鎖(suo)國，囿于民族偏(pian)見，過于拘(ju)泥在(zai)牛頓的(de)“流數(shu)術”中停步不(bu)(bu)前，因(yin)而數(shu)學發展整(zheng)整(zheng)落后了一百(bai)年(nian)。

其實，牛頓(dun)和萊布尼茨分(fen)別是自己獨立研(yan)究，在大(da)體(ti)上相近的時(shi)間里先(xian)后完(wan)成的。比較(jiao)特(te)殊的是牛頓(dun)創(chuang)立微(wei)積分(fen)要(yao)比萊布尼茨早10年(nian)左右，但是正式(shi)公開發(fa)(fa)表微(wei)積分(fen)這(zhe)一理論，萊布尼茨卻(que)要(yao)比牛頓(dun)發(fa)(fa)表早三年(nian)。他們的研(yan)究各有(you)長處，也都各有(you)短處。那時(shi)候，由于(yu)民(min)族偏見，關于(yu)發(fa)(fa)明優先(xian)權(quan)的爭論竟從1699年(nian)始延(yan)續(xu)了一百多年(nian)。

應(ying)該指(zhi)出，這是和(he)歷史上任何(he)一項重(zhong)大理論(lun)的(de)完成(cheng)都(dou)要經歷一段(duan)時間一樣，牛頓(dun)和(he)萊(lai)布尼茨的(de)工作也都(dou)是很不(bu)完善的(de)。他們在無(wu)(wu)窮和(he)無(wu)(wu)窮小量這個(ge)問題上，其說(shuo)不(bu)一，十分含糊。牛頓(dun)的(de)無(wu)(wu)窮小量，有時候(hou)是零，有時候(hou)不(bu)是零而是有限的(de)小量；萊(lai)布尼茨的(de)也不(bu)能(neng)自圓其說(shuo)。這些基礎方面的(de)缺陷，最終(zhong)導致了第二(er)次數學危機(ji)的(de)產生。

完善邏輯基礎

直到19世(shi)紀初，法國(guo)科學(xue)(xue)學(xue)(xue)院的(de)(de)科學(xue)(xue)家以柯西為(wei)首(shou)，對微積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)理論(lun)(lun)進(jin)行(xing)了(le)認(ren)真研究(jiu)，建立了(le)極限理論(lun)(lun)，後來又(you)經過德國(guo)數學(xue)(xue)家維爾(er)斯(si)(si)特(te)拉斯(si)(si)進(jin)一步(bu)的(de)(de)嚴格(ge)化，使極限理論(lun)(lun)成(cheng)為(wei)了(le)微積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)堅定(ding)基礎。才(cai)使微積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)進(jin)一步(bu)的(de)(de)發(fa)展(zhan)開來。任何(he)新興的(de)(de)、具有(you)無(wu)量前途的(de)(de)科學(xue)(xue)成(cheng)就都吸引著廣大的(de)(de)科學(xue)(xue)工作者。在微積(ji)(ji)(ji)分(fen)(fen)的(de)(de)歷(li)史上也閃(shan)爍著這(zhe)樣的(de)(de)一些明星(xing)：瑞士的(de)(de)雅科布(bu)·貝努利和他的(de)(de)兄弟約(yue)翰·貝努利、歐拉、法國(guo)的(de)(de)拉格(ge)朗日、柯西……

歐(ou)氏幾何(he)也(ye)好(hao)，上古和中世紀的(de)代數(shu)學(xue)(xue)也(ye)好(hao)，都(dou)是(shi)一(yi)種常量數(shu)學(xue)(xue)，微積分(fen)才是(shi)真(zhen)正的(de)變量數(shu)學(xue)(xue)，是(shi)數(shu)學(xue)(xue)中的(de)大革命(ming)。微積分(fen)是(shi)高等數(shu)學(xue)(xue)的(de)主要分(fen)支，不(bu)只是(shi)局限(xian)在(zai)解決力學(xue)(xue)中的(de)變速(su)問題(ti)，它馳騁在(zai)近代和現代科學(xue)(xue)技術(shu)園地里(li)，建立了(le)數(shu)不(bu)清的(de)豐(feng)功偉績。

微積分介紹

微積分(fen)（Calculus）是高等數(shu)學(xue)(xue)中研究函(han)數(shu)的(de)(de)(de)(de)微分(fen)（Differentiation）、積分(fen)(Integration)以及有關概念和應(ying)用(yong)的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)分(fen)支。它(ta)(ta)是數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)一個基礎學(xue)(xue)科(ke)。內容主要包括(kuo)極限(xian)、微分(fen)學(xue)(xue)、積分(fen)學(xue)(xue)及其應(ying)用(yong)。微分(fen)學(xue)(xue)包括(kuo)求(qiu)導數(shu)的(de)(de)(de)(de)運(yun)算，是一套(tao)關于變化率(lv)的(de)(de)(de)(de)理論。它(ta)(ta)使得(de)函(han)數(shu)、速度(du)、加速度(du)和曲線(xian)的(de)(de)(de)(de)斜(xie)率(lv)等均可用(yong)一套(tao)通用(yong)的(de)(de)(de)(de)符號進行討論。積分(fen)學(xue)(xue)，包括(kuo)求(qiu)積分(fen)的(de)(de)(de)(de)運(yun)算，為定(ding)義和計算面積、體(ti)積等提供(gong)一套(tao)通用(yong)的(de)(de)(de)(de)方(fang)法。

微(wei)積(ji)(ji)分(fen)是與應(ying)(ying)(ying)用聯系著(zhu)發展起來的(de)，最初牛頓應(ying)(ying)(ying)用微(wei)積(ji)(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)及(ji)微(wei)分(fen)方程(cheng)為了(le)(le)從萬有(you)(you)引力定(ding)律導出了(le)(le)開(kai)普(pu)勒行星運動(dong)三定(ding)律。此后(hou)，微(wei)積(ji)(ji)分(fen)學(xue)(xue)(xue)(xue)極(ji)大(da)的(de)推動(dong)了(le)(le)數學(xue)(xue)(xue)(xue)的(de)發展，同時也(ye)極(ji)大(da)的(de)推動(dong)了(le)(le)天文(wen)學(xue)(xue)(xue)(xue)、力學(xue)(xue)(xue)(xue)、物理學(xue)(xue)(xue)(xue)、化學(xue)(xue)(xue)(xue)、生物學(xue)(xue)(xue)(xue)、工程(cheng)學(xue)(xue)(xue)(xue)、經濟(ji)學(xue)(xue)(xue)(xue)等(deng)自然科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)、社(she)會科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)及(ji)應(ying)(ying)(ying)用科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)各個分(fen)支(zhi)中(zhong)的(de)發展。并(bing)在(zai)這(zhe)些學(xue)(xue)(xue)(xue)科(ke)中(zhong)有(you)(you)越來越廣泛的(de)應(ying)(ying)(ying)用，特別是計算機的(de)出現更有(you)(you)助(zhu)于(yu)這(zhe)些應(ying)(ying)(ying)用的(de)不(bu)斷發展。微(wei)積(ji)(ji)分(fen)作為一門(men)交(jiao)叉性很強的(de)科(ke)目(mu)，除(chu)了(le)(le)在(zai)物理等(deng)自然科(ke)學(xue)(xue)(xue)(xue)上有(you)(you)強實用性外，在(zai)經濟(ji)學(xue)(xue)(xue)(xue)上也(ye)有(you)(you)很強的(de)推動(dong)作用。

微積分學應用

微積(ji)(ji)分(fen)學(xue)的(de)發展(zhan)與應用(yong)幾乎(hu)影響了現代生活的(de)所有(you)領域(yu)。它與大(da)部分(fen)科(ke)學(xue)分(fen)支關系密切，包(bao)括醫藥、護理(li)(li)、工業工程、商業管理(li)(li)、精算、計算機(ji)、統計、人口統計，特別是物理(li)(li)學(xue)；經濟學(xue)亦經常會用(yong)到微積(ji)(ji)分(fen)學(xue)。幾乎(hu)所有(you)現代科(ke)學(xue)技術，如：機(ji)械、土(tu)木、建筑(zhu)、航空及航海等工業工程都以(yi)微積(ji)(ji)分(fen)學(xue)作為基(ji)本(ben)數學(xue)工具。微積(ji)(ji)分(fen)使得數學(xue)可(ke)以(yi)在變量和常量之(zhi)間互相轉(zhuan)化(hua)，讓(rang)我(wo)們可(ke)以(yi)已知一種(zhong)方(fang)式時推導出來另一種(zhong)方(fang)式。

物理學(xue)大量(liang)應用(yong)微(wei)積分(fen)；經典力(li)學(xue)、熱(re)傳和電磁學(xue)都(dou)與微(wei)積分(fen)有密切聯(lian)系。已(yi)知密度的(de)物體(ti)質量(liang)，動摩擦力(li)，保守力(li)場的(de)總能量(liang)都(dou)可用(yong)微(wei)積分(fen)來計算。例如：將微(wei)積分(fen)應用(yong)到牛頓第二定律中，史料一般將導(dao)數(shu)稱為(wei)“變化率(lv)”。物體(ti)動量(liang)的(de)變化率(lv)等于向(xiang)物體(ti)以同一方(fang)向(xiang)所施的(de)力(li)。今 天常用(yong)的(de)表達方(fang)式(shi)是(shi) extbf{emph{F}}=m extbf{emph{a}}，它包括了微(wei)分(fen)，因(yin)為(wei)加速度是(shi)速度的(de)導(dao)數(shu)，或是(shi)位(wei)置(zhi)矢量(liang)的(de)二階導(dao)數(shu)。已(yi)知物體(ti)的(de)加速度，我(wo)們就可以得出(chu)它的(de)路徑。

生物學用微(wei)積分來計算種(zhong)群動態，輸入繁殖和死亡率來模擬(ni)種(zhong)群改變。

化學使用(yong)微積分(fen)來計算(suan)反應速率，放射性衰退(tui)。

麥克斯韋爾的(de)電磁學(xue)和愛因(yin)斯坦的(de)廣義相對論都應用(yong)了(le)微分。

微積分可以與其他數(shu)學分支交(jiao)叉(cha)混合(he)。例(li)如，混合(he)線(xian)性代數(shu)來求得(de)(de)值(zhi)域中一組數(shu)列的“最(zui)佳”線(xian)性近似。它也可以用在(zai)(zai)概率論(lun)中來確(que)定由假設密度方程產生(sheng)的連(lian)續隨機變量(liang)的概率。在(zai)(zai)解析幾何(he)對方程圖像的研究中，微積分可以求得(de)(de)最(zui)大值(zhi)、最(zui)小值(zhi)、斜(xie)率、凹度、拐(guai)點等。

格(ge)林公式連接了一個封(feng)閉曲線(xian)上的(de)(de)線(xian)積(ji)分與一個邊界(jie)為C且平面區域為D的(de)(de)雙重(zhong)積(ji)分。它被設計(ji)為求(qiu)積(ji)儀工具，用(yong)以量(liang)度不規(gui)則(ze)的(de)(de)平面面積(ji)。例如：它可(ke)以在設計(ji)時計(ji)算不規(gui)則(ze)的(de)(de)花(hua)瓣床(chuang)、游泳池的(de)(de)面積(ji)。

在(zai)醫(yi)療領域，微積分(fen)可(ke)以(yi)計算血管最優支角，將血流最大化。通(tong)過(guo)藥(yao)物(wu)在(zai)體內(nei)的衰退數據，微積分(fen)可(ke)以(yi)推導出服用量。在(zai)核醫(yi)學中，它可(ke)以(yi)為治療腫瘤建立放(fang)射輸送模型。

在經濟(ji)學中，微(wei)積分可以通過計算(suan)邊際成本和邊際利潤來確(que)定最大收益(yi)。

微(wei)(wei)積分(fen)也(ye)被用于尋找方(fang)(fang)程的近(jin)(jin)似值；實踐(jian)中，它(ta)用于解(jie)微(wei)(wei)分(fen)方(fang)(fang)程，計算相關的應(ying)用題，如：牛頓(dun)法(fa)、定點循環、線(xian)性(xing)近(jin)(jin)似等。比如：宇宙(zhou)飛船(chuan)利用歐拉方(fang)(fang)法(fa)來(lai)求得零(ling)重力環境(jing)下的近(jin)(jin)似曲線(xian)。

微積分學課程

在大(da)學(xue)的(de)(de)數理、工程、商管(guan)教(jiao)學(xue)中，微積(ji)分(fen)是(shi)“高(gao)等數學(xue)”的(de)(de)主(zhu)要內容之一。其教(jiao)學(xue)法由學(xue)科創立(li)一開始就受到(dao)人們重視。在美國大(da)學(xue)先修課(ke)程中，AP微積(ji)分(fen)AB、BC分(fen)別為對應大(da)學(xue)一元微積(ji)分(fen)半年(nian)、全年(nian)課(ke)程。

在(zai)香港，微(wei)積分(fen)(fen)是(shi)新高中課程數學（延(yan)展(zhan)部(bu)分(fen)(fen)）的一部(bu)分(fen)(fen)，這(zhe)部(bu)分(fen)(fen)是(shi)選修的。