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簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非奇(qi)異復射(she)影代(dai)數簇上, 任一霍(huo)奇(qi)類是代(dai)數閉鏈類的有(you)理線性組合。

背景

二十世紀的數學家們(men)發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法(fa)。

基本想法是(shi)問在(zai)(zai)(zai)怎樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)程(cheng)度上，我們可(ke)以(yi)(yi)把(ba)給定對(dui)象的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)狀通過(guo)把(ba)維數(shu)不(bu)斷(duan)增加(jia)(jia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)簡單幾何(he)營(ying)造塊粘合(he)在(zai)(zai)(zai)一起來形(xing)成。這種技(ji)巧(qiao)是(shi)變得如此有(you)用(yong)，使(shi)得它可(ke)以(yi)(yi)用(yong)許多不(bu)同的(de)(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)式來推(tui)(tui)廣(guang)；最終(zhong)導致一些強有(you)力的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工具(ju)，使(shi)數(shu)學家(jia)在(zai)(zai)(zai)對(dui)他(ta)們研究中(zhong)所遇(yu)到(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)形(xing)色色的(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)象進(jin)行分類(lei)時(shi)取得巨大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)進(jin)展。不(bu)幸的(de)(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)，在(zai)(zai)(zai)這一推(tui)(tui)廣(guang)中(zhong)，程(cheng)序(xu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)出發點變得模糊起來。在(zai)(zai)(zai)某種意(yi)義下，必須加(jia)(jia)上某些沒有(you)任(ren)何(he)幾何(he)解(jie)釋(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)部件。霍奇猜(cai)想斷(duan)言，對(dui)于(yu)所謂射影代(dai)數(shu)簇這種特別(bie)完美的(de)(de)(de)(de)(de)(de)空間(jian)類(lei)型來說，稱作霍奇閉(bi)鏈的(de)(de)(de)(de)(de)(de)部件實(shi)際上是(shi)稱作代(dai)數(shu)閉(bi)鏈的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幾何(he)部件的(de)(de)(de)(de)(de)(de)（有(you)理線性）組(zu)合(he)。

問題

霍奇猜(cai)想是(shi)代(dai)數(shu)幾(ji)何(he)的(de)一個(ge)重大的(de)懸而未決的(de)問題。它(ta)是(shi)關于(yu)非奇異復代(dai)數(shu)簇的(de)代(dai)數(shu)拓(tuo)撲和它(ta)由定義子簇的(de)多項式方程所表述的(de)幾(ji)何(he)的(de)關聯的(de)猜(cai)想。它(ta)在霍奇的(de)著述的(de)一個(ge)結(jie)(jie)果中出現(xian)，他在1930至1940年間通(tong)過包含額外(wai)的(de)結(jie)(jie)構豐(feng)富了(le)德拉姆上同調的(de)表述，這(zhe)種結(jie)(jie)構出現(xian)于(yu)代(dai)數(shu)簇的(de)情況（但(dan)不僅限于(yu)這(zhe)種情況）。

現狀

黎曼假設、龐加萊猜(cai)想(xiang)、霍奇猜(cai)想(xiang)、貝赫(he)和(he)斯維訥通－戴(dai)爾(er)猜(cai)想(xiang)、納維葉―斯托克(ke)斯方程、楊―米爾(er)理論、P問(wen)題對NP問(wen)題被稱(cheng)為(wei)21世紀(ji)七大數(shu)學難題。2000年5月，美國的(de)克(ke)萊數(shu)學促進會為(wei)每道題懸(xuan)賞百萬美元(yuan)求解。目前，這(zhe)一難題仍(reng)沒(mei)有(you)被破解。

已知的情形

對于(1,1)類的(de)霍奇(qi)猜(cai)(cai)想(xiang)已經在霍奇(qi)本人提(ti)出本猜(cai)(cai)想(xiang)前(qian)的(de)1924年由 Lefschetz證(zheng)明。換句(ju)話說，霍奇(qi)猜(cai)(cai)想(xiang)對于H^2成立(li)。實際上，這(zhe)是霍奇(qi)提(ti)出其(qi)猜(cai)(cai)想(xiang)的(de)動(dong)機之(zhi)一。

除此(ci)以外(wai)，還成立以下(xia)定理：如果霍奇猜想對于度數p的(de)霍奇類成立，其(qi)中p<n，n是(shi)上述射影代數簇的(de)維數，那么對于度數為2n-p的(de)霍奇類，霍奇猜想也成立。

霍奇的想法

蘇格蘭(lan)數學家威廉·霍(huo)奇(qi)(qi)：怎么能(neng)知道(dao)哪些類(lei)的(de)(de)(de)(de)同源(yuan)性在任何給定歧管，相(xiang)當(dang)于(yu)一(yi)個(ge)(ge)代(dai)數周期？一(yi)個(ge)(ge)偉(wei)大的(de)(de)(de)(de)想法。 只(zhi)是(shi)(shi)他不(bu)能(neng)證明。 我們(men)有(you)一(yi)個(ge)(ge)小的(de)(de)(de)(de)平滑的(de)(de)(de)(de)“空間”（在每(mei)個(ge)(ge)鄰域類(lei)似于(yu)歐(ou)幾(ji)里德空間，但(dan)在更大的(de)(de)(de)(de)規(gui)模上，“空間”是(shi)(shi)不(bu)同的(de)(de)(de)(de)），這是(shi)(shi)由(you)一(yi)群方程(cheng)描述，使(shi)得(de)這個(ge)(ge)空間具有(you)均勻(yun)的(de)(de)(de)(de)維度。 然后(hou)我們(men)獲(huo)取基本(ben)的(de)(de)(de)(de)“拓撲(pu)”信息，并將(jiang)其(qi)分(fen)解(jie)成(cheng)更小的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何部(bu)分(fen)（由(you)數字對(dui)標(biao)記(ji)）。幾(ji)何部(bu)分(fen)內的(de)(de)(de)(de)理性東西被稱(cheng)為“Hodge循(xun)環(huan)”。 每(mei)個(ge)(ge)較小的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何部(bu)分(fen)是(shi)(shi)稱(cheng)為代(dai)數循(xun)環(huan)的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何部(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)組(zu)(zu)合。 基本(ben)上我們(men)有(you)一(yi)個(ge)(ge)“樁”。我們(men)仔細看(kan)看(kan)它，看(kan)看(kan)它是(shi)(shi)由(you)許多“切(qie)碎的(de)(de)(de)(de)木(mu)材”組(zu)(zu)成(cheng)。“切(qie)碎的(de)(de)(de)(de)木(mu)材”里面(mian)有(you)“twigs”（霍(huo)奇(qi)(qi)循(xun)環(huan)）。霍(huo)奇(qi)(qi)猜想斷(duan)言，對(dui)于(yu)成(cheng)堆(dui)的(de)(de)(de)(de)切(qie)碎的(de)(de)(de)(de)木(mu)材，樹枝實際上是(shi)(shi)被稱(cheng)為原子（代(dai)數循(xun)環(huan)）的(de)(de)(de)(de)幾(ji)何部(bu)分(fen)的(de)(de)(de)(de)組(zu)(zu)合。

這個(ge)叫霍奇(qi)猜(cai)想的(de)東東，用通(tong)俗的(de)話(hua)說(shuo)，就是(shi)“再(zai)好再(zai)復雜的(de)一(yi)座宮殿，都(dou)可以(yi)(yi)由一(yi)堆積(ji)木壘(lei)成(cheng)”。用文人的(de)話(hua)說(shuo)就是(shi): 任(ren)何(he)一(yi)個(ge)形(xing)狀的(de)幾何(he)圖(tu)形(xing)，不管它(ta)有多復雜(只要(yao)你能想得出(chu)來(lai))，它(ta)都(dou)可以(yi)(yi)用一(yi)堆簡單的(de)幾何(he)圖(tu)形(xing)拼成(cheng)。在實際工作中，我(wo)們(men)無法在二維平面的(de)紙上繪(hui)畫出(chu)來(lai)一(yi)種復雜的(de)多維圖(tu)形(xing)，霍奇(qi)猜(cai)想就是(shi)把(ba)復雜的(de)拓撲圖(tu)形(xing)分(fen)拆成(cheng)為一(yi)個(ge)個(ge)構件，我(wo)們(men)只要(yao)按照規則(ze)安裝(zhuang)就可以(yi)(yi)理解設(she)計者的(de)思想。霍奇(qi)猜(cai)想提出(chu)已(yi)經快80年了，至今(jin)有了第(di)一(yi)個(ge)例(li)子。