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起源

黎(li)曼猜(cai)想是波恩哈德·黎(li)曼1859年提(ti)出的(de)(de)，這位數(shu)(shu)學家于1826年出生在當時屬于漢諾威王國的(de)(de)名叫布列斯倫(lun)茨的(de)(de)小(xiao)鎮。1859年，黎(li)曼被(bei)選為了柏林科(ke)學院(yuan)的(de)(de)通信院(yuan)士。作為對這一(yi)崇高榮譽(yu)的(de)(de)回報，他向柏林科(ke)學院(yuan)提(ti)交了一(yi)篇題為“論小(xiao)于給定數(shu)(shu)值的(de)(de)素數(shu)(shu)個數(shu)(shu)”的(de)(de)論文。這篇只有短短八(ba)頁的(de)(de)論文就是黎(li)曼猜(cai)想的(de)(de)“誕(dan)生地”。

黎曼那(nei)篇論文所(suo)研(yan)(yan)究的(de)(de)(de)是一個數(shu)(shu)(shu)學(xue)家們(men)(men)長(chang)期以(yi)來就很感(gan)興趣(qu)的(de)(de)(de)問題(ti)，即素(su)數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)。素(su)數(shu)(shu)(shu)又稱質數(shu)(shu)(shu)。質數(shu)(shu)(shu)是像2、3、5、7、11、13、17、19那(nei)樣大(da)于1且除(chu)了1和(he)自身以(yi)外不(bu)能(neng)被其他正(zheng)整(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)整(zheng)(zheng)除(chu)的(de)(de)(de)自然數(shu)(shu)(shu)。這些數(shu)(shu)(shu)在數(shu)(shu)(shu)論研(yan)(yan)究中(zhong)有著極(ji)大(da)的(de)(de)(de)重(zhong)要性，因為所(suo)有大(da)于1的(de)(de)(de)正(zheng)整(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)都可以(yi)表示成它(ta)們(men)(men)的(de)(de)(de)合。從某種意(yi)義上講(jiang)，它(ta)們(men)(men)在數(shu)(shu)(shu)論中(zhong)的(de)(de)(de)地(di)位類似于物理世界中(zhong)用以(yi)構筑萬物的(de)(de)(de)原(yuan)子。質數(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)定義簡單得可以(yi)在中(zhong)學(xue)甚至小學(xue)課上進行講(jiang)授，但它(ta)們(men)(men)的(de)(de)(de)分(fen)布(bu)卻奧妙得異(yi)乎尋常(chang)，數(shu)(shu)(shu)學(xue)家們(men)(men)付出了極(ji)大(da)的(de)(de)(de)心(xin)力，卻迄今(jin)仍未能(neng)徹(che)底了解(jie)。

黎曼論文的(de)(de)(de)一個重大(da)的(de)(de)(de)成果，就是(shi)發現了質數(shu)(shu)分(fen)布(bu)(bu)的(de)(de)(de)奧秘完(wan)全蘊藏在一個特(te)(te)殊的(de)(de)(de)函數(shu)(shu)之中，尤其是(shi)使那(nei)個函數(shu)(shu)取值為零的(de)(de)(de)一系列特(te)(te)殊的(de)(de)(de)點對(dui)質數(shu)(shu)分(fen)布(bu)(bu)的(de)(de)(de)細致規律有著決定(ding)性的(de)(de)(de)影響。那(nei)個函數(shu)(shu)如(ru)今(jin)被(bei)(bei)稱為黎曼ζ函數(shu)(shu)，那(nei)一系列特(te)(te)殊的(de)(de)(de)點則(ze)被(bei)(bei)稱為黎曼ζ函數(shu)(shu)的(de)(de)(de)非平(ping)凡零點。

有意思(si)的(de)(de)(de)是(shi)，黎曼(man)(man)那篇文(wen)章的(de)(de)(de)成果雖(sui)然重大，文(wen)字卻(que)極為簡練(lian)，甚至簡練(lian)得有些過分，因(yin)為它包括了(le)(le)很(hen)多“證明(ming)從略(lve)”的(de)(de)(de)地(di)方。而要命的(de)(de)(de)是(shi)，“證明(ming)從略(lve)”原(yuan)本是(shi)應該用(yong)來(lai)省略(lve)那些顯而易見的(de)(de)(de)證明(ming)的(de)(de)(de)，黎曼(man)(man)的(de)(de)(de)論文(wen)卻(que)并非如此，他那些“證明(ming)從略(lve)”的(de)(de)(de)地(di)方有些花費了(le)(le)后世數(shu)(shu)學(xue)家們(men)幾十年(nian)的(de)(de)(de)努(nu)力才得以補(bu)全，有些甚至直到(dao)今天(tian)仍是(shi)空白(bai)。但(dan)黎曼(man)(man)的(de)(de)(de)論文(wen)在(zai)為數(shu)(shu)不少(shao)的(de)(de)(de)“證明(ming)從略(lve)”之外，卻(que)引人注目地(di)包含了(le)(le)一(yi)個(ge)他明(ming)確承認了(le)(le)自(zi)己無法證明(ming)的(de)(de)(de)命題(ti)，那個(ge)命題(ti)就是(shi)黎曼(man)(man)猜(cai)想。黎曼(man)(man)猜(cai)想自(zi)1859年(nian)“誕生”以來(lai)，已過了(le)(le)161個(ge)春(chun)秋，在(zai)這期間，它就像一(yi)座巍峨的(de)(de)(de)山峰，吸引了(le)(le)無數(shu)(shu)數(shu)(shu)學(xue)家前去(qu)攀登，卻(que)誰也沒能登頂(ding)。

有人統(tong)計過，在當今數(shu)學文(wen)獻(xian)中已(yi)有超過一千條數(shu)學命題以(yi)黎曼(man)(man)猜(cai)想(xiang)(或(huo)其推廣形式)的成立為前提。如(ru)果黎曼(man)(man)猜(cai)想(xiang)被證明(ming)，所有那(nei)些數(shu)學命題就(jiu)全都可以(yi)榮升(sheng)為定理；反(fan)之，如(ru)果黎曼(man)(man)猜(cai)想(xiang)被否證，則那(nei)些數(shu)學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

具體內容

黎曼觀察到，素(su)數的(de)頻率緊密相(xiang)關于一(yi)個精(jing)心(xin)構造的(de)所(suo)謂黎曼zeta函數ζ(s)的(de)性態。黎曼假設斷言(yan)，方程ζ(s)=0的(de)所(suo)有(you)有(you)意(yi)義的(de)解都在一(yi)條直線上。這點已經對于開始的(de)1,500,000,000個解驗(yan)證(zheng)過。

之所以要對這一(yi)表(biao)(biao)達式進行解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)(tuo)(tuo)， 是因為這一(yi)表(biao)(biao)達式只(zhi)適用(yong)于復平面上 s 的(de)(de)實部 Re(s) > 1 的(de)(de)區域(yu) （否(fou)則(ze)級(ji)數(shu)不收(shou)斂）。黎曼找(zhao)到了(le)這一(yi)表(biao)(biao)達式的(de)(de)解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)(tuo)(tuo)（當然黎曼沒有使用(yong) “解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)(tuo)(tuo)” 這樣的(de)(de)現代復變函(han)數(shu)論術語）。運(yun)用(yong)路徑(jing)積分，解(jie)析(xi)延(yan)拓(tuo)(tuo)(tuo)后的(de)(de)黎曼ζ 函(han)數(shu)可以表(biao)(biao)示為：

這里我們采用的是歷史文獻中的記號， 式(shi)中的積分實(shi)際是一(yi)個環繞(rao)正實(shi)軸(zhou)(zhou)進(jin)行的圍道(dao)積分（即從 +∞ 出發， 沿實(shi)軸(zhou)(zhou)上方積分至(zhi)原點(dian)(dian)附近， 環繞(rao)原點(dian)(dian)積分至(zhi)實(shi)軸(zhou)(zhou)下(xia)方， 再沿實(shi)軸(zhou)(zhou)下(xia)方積分至(zhi) +∞ ，而且離(li)實(shi)軸(zhou)(zhou)的距離(li)及環繞(rao)原點(dian)(dian)的半徑均趨于 0)，按照現代數學記號應(ying)記成：

從這(zhe)(zhe)個關系(xi)式中不難發現，黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)在 s=-2n (n 為(wei)(wei)(wei)正(zheng)整數(shu)(shu)(shu)(shu)） 取值為(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling) - 因(yin)為(wei)(wei)(wei) sin(πs/2) 為(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)。復平(ping)(ping)(ping)面上的(de)這(zhe)(zhe)種(zhong)使黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)取值為(wei)(wei)(wei)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)的(de)點(dian)(dian)(dian)被(bei)稱(cheng)為(wei)(wei)(wei)黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)。因(yin)此 s=-2n （n 為(wei)(wei)(wei)正(zheng)整數(shu)(shu)(shu)(shu)）是(shi)黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)。這(zhe)(zhe)些零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)分布(bu)有序、 性質(zhi)簡單， 被(bei)稱(cheng)為(wei)(wei)(wei)黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)平(ping)(ping)(ping)凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian) (trivial zero)。除了這(zhe)(zhe)些平(ping)(ping)(ping)凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)外，黎(li)曼(man)ζ 函(han)數(shu)(shu)(shu)(shu)還(huan)有許(xu)多(duo)其(qi)它(ta)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)， 它(ta)們的(de)性質(zhi)遠比那些平(ping)(ping)(ping)凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian)來得復雜， 被(bei)稱(cheng)為(wei)(wei)(wei)非平(ping)(ping)(ping)凡(fan)(fan)零(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)(ling)點(dian)(dian)(dian) (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數(shu)的(de)(de)所有非平凡零點都位(wei)于復平面(mian)上 Re(s)=1/2 的(de)(de)直線(xian)上，也即(ji)方程(cheng)ζ(s)=0的(de)(de)解的(de)(de)實部都是1/2。

在黎(li)(li)曼(man)(man)猜想的(de)研究中， 數學家們(men)把復平(ping)面(mian)上(shang) Re(s)=1/2 的(de)直線稱為 critical line（臨(lin)界線）。運用(yong)這一術語，黎(li)(li)曼(man)(man)猜想也(ye)可以表(biao)述為：黎(li)(li)曼(man)(man)ζ 函數的(de)所有非平(ping)凡零(ling)點(dian)都位于 critical line 上(shang)。