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猜想陳述

給定一個整體(ti)域(yu)上的(de)(de)阿(a)貝爾(er)簇，猜想它(ta)的(de)(de)莫代爾(er)群(qun)(qun)的(de)(de)秩等于它(ta)的(de)(de)L函數(shu)(shu)在1處的(de)(de)零點階數(shu)(shu)，且它(ta)的(de)(de)L函數(shu)(shu)在1處的(de)(de)泰勒展開的(de)(de)首項系數(shu)(shu)與莫代爾(er)群(qun)(qun)的(de)(de)有限部(bu)分(fen)大小、自由部(bu)分(fen)體(ti)積、所(suo)有素位(wei)的(de)(de)周期以及沙群(qun)(qun)有精(jing)確(que)的(de)(de)等式關系。

前(qian)半部(bu)分通(tong)常稱(cheng)為弱(ruo)BSD猜想(xiang)。BSD猜想(xiang)是分圓域(yu)的(de)類數公(gong)式(shi)的(de)推(tui)廣(guang)。格羅(luo)斯提出(chu)了(le)一(yi)個細化(hua)的(de)BSD猜想(xiang)。布洛克和(he)加藤提出(chu)了(le)更一(yi)般的(de)對于motif的(de)Bloch-Kato猜想(xiang)。

已知結果

BSD猜想(xiang)的(de)(de)陳述依賴(lai)于莫代爾(er)定理(li)：整體域上的(de)(de)阿(a)貝爾(er)簇的(de)(de)有(you)理(li)點(dian)形成一個有(you)限(xian)生成交換群(qun)。精確的(de)(de)部(bu)分依賴(lai)于沙群(qun)的(de)(de)有(you)限(xian)性猜想(xiang)。

對于解析秩為0的(de)情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明(ming)了(le)弱BSD猜(cai)(cai)想，并且精確的(de)BSD猜(cai)(cai)想在(zai)2以外均成立。

對于解析秩(zhi)為1的情(qing)形，Gross，Zagier等人證明了(le)弱(ruo)BSD猜(cai)想，并且精確的BSD猜(cai)想在2和導子以外均(jun)成立。

猜想的推論

由BSD猜想可(ke)以推(tui)(tui)出(chu)奇偶性(xing)猜想、西爾(er)維(wei)斯特等(deng)很(hen)多猜想。其中著名的(de)是(shi)與同(tong)余數問題的(de)關系，從BSD猜想可(ke)以推(tui)(tui)出(chu)模8余5，6，7的(de)無平方因子的(de)正整數一定(ding)可(ke)以成為某個(ge)有理邊長直(zhi)角三角形的(de)面(mian)積。