《九章算(suan)術(shu)》是(shi)中國(guo)古代張(zhang)蒼(cang)、耿壽昌所撰寫的一部數學專著。是(shi)《算(suan)經十(shi)書(shu)》中最(zui)重(zhong)要的一部，成于公元(yuan)一世紀左右。其(qi)作者(zhe)已(yi)不可考。一般(ban)認(ren)為(wei)(wei)它是(shi)經歷代各家(jia)的增(zeng)補修訂，而逐(zhu)漸成為(wei)(wei)現今定本的，西漢(han)的張(zhang)蒼(cang)、耿壽昌曾經做過(guo)增(zeng)補和(he)整(zheng)理，其(qi)時大體已(yi)成定本。最(zui)后成書(shu)最(zui)遲在東(dong)漢(han)前(qian)期，現今流傳的大多是(shi)在三國(guo)時期魏元(yuan)帝景元(yuan)四年（263年），劉徽為(wei)(wei)《九章》所作的注本。
《九章算(suan)術(shu)》內容十(shi)分(fen)豐富，全書總結了(le)戰(zhan)國、秦、漢(han)時(shi)期(qi)的(de)數學成(cheng)就。同(tong)時(shi)，《九章算(suan)術(shu)》在數學上(shang)還(huan)有其獨到的(de)成(cheng)就，不(bu)僅最早提到分(fen)數問題，也首(shou)先(xian)記錄了(le)盈不(bu)足等問題，《方程》章還(huan)在世(shi)界數學史上(shang)首(shou)次闡(chan)述了(le)負(fu)數及其加減(jian)運算(suan)法則(ze)。它是一(yi)本綜合性的(de)歷(li)史著(zhu)作，是當時(shi)世(shi)界上(shang)最簡練有效的(de)應用數學，它的(de)出現(xian)標志中國古代數學形成(cheng)了(le)完整的(de)體系(xi)。
2020年(nian)4月，列入《教育(yu)部(bu)基礎教育(yu)課程教材發展中心中小(xiao)學生閱讀指(zhi)導目錄（2020年(nian)版）》初中段。
《九章算(suan)術(shu)(shu)》的(de)內容十分(fen)豐富，全書采用問(wen)題(ti)(ti)(ti)集的(de)形式，收有(you)246個與生產、生活(huo)實踐有(you)聯系的(de)應用問(wen)題(ti)(ti)(ti)，其中每道題(ti)(ti)(ti)有(you)問(wen)（題(ti)(ti)(ti)目）、答(da)（答(da)案(an)）、術(shu)(shu)（解題(ti)(ti)(ti)的(de)步驟，但沒有(you)證明），有(you)的(de)是一(yi)題(ti)(ti)(ti)一(yi)術(shu)(shu)，有(you)的(de)是多題(ti)(ti)(ti)一(yi)術(shu)(shu)或(huo)一(yi)題(ti)(ti)(ti)多術(shu)(shu)。這些問(wen)題(ti)(ti)(ti)依照性(xing)質(zhi)和解法(fa)分(fen)別隸屬于方(fang)田、粟米、衰（音(yin)cui）分(fen)、少廣、商功、均輸、盈不足、方(fang)程及(ji)勾股。共九章如下所示。原作有(you)插圖，今傳本(ben)已只剩下正文(wen)了。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)算術》共收有246個數(shu)學問題，分為(wei)九(jiu)(jiu)章(zhang)。它們的(de)主(zhu)要(yao)內容分別是：
第(di)一章“方(fang)(fang)(fang)田”：主要講述(shu)了平(ping)面(mian)(mian)幾何圖形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積的計(ji)算方(fang)(fang)(fang)法(fa)。包括長方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)(xing)、等(deng)腰(yao)三角(jiao)形(xing)(xing)(xing)、直角(jiao)梯(ti)形(xing)(xing)(xing)、等(deng)腰(yao)梯(ti)形(xing)(xing)(xing)、圓形(xing)(xing)(xing)、扇形(xing)(xing)(xing)、弓(gong)形(xing)(xing)(xing)、圓環(huan)這八種(zhong)圖形(xing)(xing)(xing)面(mian)(mian)積的計(ji)算方(fang)(fang)(fang)法(fa)。另(ling)外還系(xi)統地講述(shu)了分數的四則運(yun)算法(fa)則，以及求分子分母最大公約數等(deng)方(fang)(fang)(fang)法(fa)。
第二(er)章(zhang)“粟米”：谷(gu)物糧食的按(an)比(bi)例(li)折換；提出比(bi)例(li)算法，稱為今有(you)術；衰分章(zhang)提出比(bi)例(li)分配法則，稱為衰分術；
第三章(zhang)“衰分”：比例(li)分配問題。
第四章“少廣”：已知(zhi)面(mian)積、體積，反求其一邊(bian)長(chang)和徑長(chang)等；介紹了開平(ping)方(fang)、開立方(fang)的方(fang)法(fa)。
第(di)五章“商功”：土石工程、體積(ji)(ji)計算；除給出(chu)了各(ge)種(zhong)立體體積(ji)(ji)公式外，還有工程分(fen)配方法；
第六章(zhang)“均輸”：合(he)(he)理(li)攤派賦稅；用(yong)衰分(fen)(fen)術解決賦役的(de)合(he)(he)理(li)負擔問題(ti)。今(jin)有術、衰分(fen)(fen)術及其(qi)應用(yong)方法(fa)，構成了包括今(jin)天正、反比例、比例分(fen)(fen)配、復比例、連鎖比例在(zai)內的(de)整(zheng)套(tao)比例理(li)論。西方直到15世紀末以后才形成類似的(de)全套(tao)方法(fa)。
第七章“盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)”：即雙設(she)法問(wen)(wen)題(ti)；提出了盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)、盈(ying)適足(zu)(zu)和不(bu)(bu)足(zu)(zu)適足(zu)(zu)、兩(liang)盈(ying)和兩(liang)不(bu)(bu)足(zu)(zu)三種類(lei)型的(de)盈(ying)虧(kui)問(wen)(wen)題(ti)，以及若干可以通過兩(liang)次(ci)假設(she)化為盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)問(wen)(wen)題(ti)的(de)一般(ban)問(wen)(wen)題(ti)的(de)解法。這也(ye)是(shi)處于世界領先地(di)位(wei)的(de)成果(guo)，傳到(dao)西方后，影響極大。
第八(ba)章(zhang)“方程(cheng)”：一(yi)次方程(cheng)組(zu)問題；采用分離系數(shu)的(de)(de)(de)方法(fa)表示線性方程(cheng)組(zu)，相(xiang)(xiang)當于現在(zai)的(de)(de)(de)矩陣；解線性方程(cheng)組(zu)時使用的(de)(de)(de)直(zhi)除法(fa)，與矩陣的(de)(de)(de)初等變換一(yi)致。這(zhe)(zhe)是世(shi)(shi)界上最早的(de)(de)(de)完(wan)整(zheng)的(de)(de)(de)線性方程(cheng)組(zu)的(de)(de)(de)解法(fa)。在(zai)西(xi)方，直(zhi)到17世(shi)(shi)紀才由萊布(bu)尼茲提(ti)出(chu)完(wan)整(zheng)的(de)(de)(de)線性方程(cheng)的(de)(de)(de)解法(fa)法(fa)則。這(zhe)(zhe)一(yi)章(zhang)還引進和使用了(le)負數(shu)，并提(ti)出(chu)了(le)正(zheng)負術——正(zheng)負數(shu)的(de)(de)(de)加減法(fa)則，與現今代(dai)數(shu)中法(fa)則完(wan)全相(xiang)(xiang)同；解線性方程(cheng)組(zu)時實際還施(shi)行了(le)正(zheng)負數(shu)的(de)(de)(de)乘除法(fa)。這(zhe)(zhe)是世(shi)(shi)界數(shu)學史上一(yi)項重大的(de)(de)(de)成就，第一(yi)次突破了(le)正(zheng)數(shu)的(de)(de)(de)范圍，擴展了(le)數(shu)系。外國則到7世(shi)(shi)紀印度的(de)(de)(de)婆羅(luo)摩及(ji)多才認識負數(shu)。
第九章(zhang)“勾股(gu)(gu)”：利用(yong)勾股(gu)(gu)定理求解的各種(zhong)問(wen)題(ti)。其中的絕大多數(shu)內(nei)容是(shi)與當時的社(she)會(hui)生活密切相關的。提出了勾股(gu)(gu)數(shu)問(wen)題(ti)的通解公式：若a、b、c分別是(shi)勾股(gu)(gu)形的勾、股(gu)(gu)、弦，則(ze)，m>n。在西方，畢達哥(ge)拉斯、歐幾(ji)里(li)得(de)等僅得(de)到了這個(ge)(ge)公式的幾(ji)種(zhong)特(te)殊情(qing)況，直到3世紀的丟番圖才取得(de)相近的結果，這已比《九章(zhang)算術》晚約3個(ge)(ge)世紀了。勾股(gu)(gu)章(zhang)還有些內(nei)容，在西方卻(que)還是(shi)近代的事。例如勾股(gu)(gu)章(zhang)最(zui)后一(yi)題(ti)給出的一(yi)組公式，在國外到19世紀末才由美(mei)國的數(shu)論學家迪克森(sen)得(de)出。
《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》確定了(le)中(zhong)國古代數(shu)學(xue)的(de)框架，以計算為中(zhong)心的(de)特點，密切聯系實(shi)際，以解決人(ren)們生產、生活中(zhong)的(de)數(shu)學(xue)問(wen)題為目的(de)的(de)風格(ge)。其影響之(zhi)深，以致以后中(zhong)國數(shu)學(xue)著作大(da)(da)(da)體采取兩種形式：或(huo)為之(zhi)作注，或(huo)仿其體例著書(shu)；甚(shen)至西算傳入(ru)中(zhong)國之(zhi)后，人(ren)們著書(shu)立說時(shi)還(huan)常常把包(bao)括西算在內的(de)數(shu)學(xue)知識納入(ru)九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)的(de)框架。然而，《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》亦有其不容忽視的(de)缺(que)點：沒(mei)有任(ren)何(he)(he)數(shu)學(xue)概(gai)念(nian)的(de)定義，也沒(mei)有給出任(ren)何(he)(he)推導和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九(jiu)(jiu)章(zhang)(zhang)算術(shu)》作注，才大(da)(da)(da)大(da)(da)(da)彌(mi)補了(le)這個缺(que)陷。
劉(liu)徽是(shi)中國數學家(jia)之一。他的(de)生(sheng)平知之甚少。據考證，他是(shi)山東鄒平人。劉(liu)徽定義(yi)了若(ruo)干數學概(gai)念，全(quan)面(mian)論證了《九(jiu)章算(suan)術》的(de)公式(shi)解法(fa)，提(ti)出(chu)了許多重要的(de)思(si)想、方法(fa)和命題(ti)，他在(zai)數學理論方面(mian)成績斐然(ran)。
劉(liu)徽對數(shu)(shu)學概念的(de)(de)定義(yi)抽(chou)象(xiang)而嚴謹。他揭(jie)示了(le)(le)概念的(de)(de)本(ben)質(zhi)，基本(ben)符合現代邏(luo)輯學和數(shu)(shu)學對概念定義(yi)的(de)(de)要(yao)(yao)求。而且他使用(yong)概念時(shi)亦保持了(le)(le)其同(tong)一性。如(ru)他提出(chu)凡(fan)數(shu)(shu)相(xiang)與(yu)者謂之(zhi)(zhi)率，把率定義(yi)為數(shu)(shu)量的(de)(de)相(xiang)互關(guan)系。又如(ru)他把正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)定義(yi)為今兩算得(de)失(shi)相(xiang)反，要(yao)(yao)令正(zheng)負(fu)以名之(zhi)(zhi)，擺脫了(le)(le)正(zheng)為余，負(fu)為欠的(de)(de)原始(shi)觀(guan)念，從本(ben)質(zhi)上揭(jie)示了(le)(le)正(zheng)負(fu)數(shu)(shu)得(de)失(shi)相(xiang)反的(de)(de)相(xiang)對關(guan)系。
《九章算術》的算法盡管抽象，但相互(hu)關(guan)系不(bu)明顯(xian)(xian)，顯(xian)(xian)得(de)零亂。劉徽大大發展深(shen)化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它(ta)們看(kan)作(zuo)運(yun)算的綱紀(ji)。許多(duo)問題，只要找出(chu)其中的各(ge)種(zhong)率關(guan)系，通過乘(cheng)以(yi)散之，約(yue)以(yi)聚(ju)之，齊同以(yi)通之，都可(ke)以(yi)歸結為今有術求(qiu)解。
一平(ping)面（或(huo)立(li)體(ti)(ti)(ti)）圖(tu)形(xing)經過平(ping)移或(huo)旋轉(zhuan)，其(qi)面積(ji)(ji)(ji)（或(huo)體(ti)(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)）不(bu)變(bian)。把一個平(ping)面（或(huo)立(li)體(ti)(ti)(ti)）圖(tu)形(xing)分(fen)解(jie)成若干部分(fen)，各部分(fen)面積(ji)(ji)(ji)（或(huo)體(ti)(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)）之和與(yu)原(yuan)圖(tu)形(xing)面積(ji)(ji)(ji)（或(huo)體(ti)(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)）相等。基于這(zhe)兩條不(bu)言自明(ming)(ming)的(de)(de)(de)前提的(de)(de)(de)出入(ru)相補原(yuan)理，是中國古代數學進行幾何(he)推演和證(zheng)明(ming)(ming)時最常用的(de)(de)(de)原(yuan)理。劉(liu)徽發展了出入(ru)相補原(yuan)理，成功地證(zheng)明(ming)(ming)了許多(duo)面積(ji)(ji)(ji)、體(ti)(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)以及可以化為面積(ji)(ji)(ji)、體(ti)(ti)(ti)積(ji)(ji)(ji)問題的(de)(de)(de)勾股、開方(fang)的(de)(de)(de)公(gong)式和算(suan)法的(de)(de)(de)正確性(xing)。
《九(jiu)章算(suan)(suan)術》是(shi)中(zhong)(zhong)國古代的數(shu)學專著，是(shi)“算(suan)(suan)經(jing)十書”（漢唐之(zhi)(zhi)間出(chu)現的十部(bu)古算(suan)(suan)書）中(zhong)(zhong)最重要的一種。魏(wei)晉(jin)時(shi)劉(liu)徽為(wei)《九(jiu)章算(suan)(suan)術》作注時(shi)說(shuo):“周公制禮(li)而(er)有九(jiu)數(shu)，九(jiu)數(shu)之(zhi)(zhi)流則(ze)《九(jiu)章》是(shi)矣”，又說(shuo)“漢北平侯(hou)張(zhang)蒼、大司農中(zhong)(zhong)丞耿壽昌皆以善算(suan)(suan)命世。蒼等因(yin)舊文之(zhi)(zhi)遺殘(can)，各稱(cheng)刪(shan)補，故校其目則(ze)與古或異，而(er)所論多近語(yu)也”。
根據研究(jiu)，西(xi)漢(han)的張蒼(cang)、耿壽昌曾經做過增(zeng)補。最后成書最遲在東漢(han)前期，但是其基(ji)本內容在西(xi)漢(han)后期已經基(ji)本定型。
《漢書(shu)(shu)(shu)藝文志》（班固根(gen)據劉歆《七略》寫成(cheng)(cheng)者(zhe)）中(zhong)著(zhu)錄(lu)的數學(xue)書(shu)(shu)(shu)僅有《許(xu)商算術(shu)》、《杜(du)忠算術(shu)》兩種，并(bing)無(wu)《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》，可見《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》的出現(xian)要晚于《七略》。《后漢書(shu)(shu)(shu)馬援傳》載(zai)其(qi)侄孫(sun)馬續“博(bo)覽(lan)群(qun)書(shu)(shu)(shu)，善(shan)《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》”，馬續是(shi)公元1世紀最(zui)后二、三十(shi)年(nian)時人。再根(gen)據《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》中(zhong)可供判定年(nian)代的官名、地(di)名等來推斷，現(xian)傳本《九(jiu)章(zhang)算術(shu)》的成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)年(nian)代大約是(shi)在公元1世紀的下半葉。九(jiu)章(zhang)算術(shu)將(jiang)書(shu)(shu)(shu)中(zhong)的所有數學(xue)問題分(fen)為九(jiu)大類，是(shi)陳凱(kai)靖(jing)編輯的
1984年，在(zai)湖北出土了《算(suan)數書》書簡。據考證，它比《九章算(suan)術》要早一(yi)個半世(shi)紀以上，書中有(you)(you)(you)些(xie)(xie)內容(rong)和(he)《九章算(suan)術》非常相似，一(yi)些(xie)(xie)內容(rong)的(de)文句(ju)也基(ji)本相同。有(you)(you)(you)人推(tui)測兩書具有(you)(you)(you)某些(xie)(xie)繼(ji)承關系，但也有(you)(you)(you)不同的(de)看法認(ren)為《九章算(suan)術》沒(mei)有(you)(you)(you)直(zhi)接受到《算(suan)數書》影響。
后(hou)世的(de)數(shu)學家(jia)，大(da)都是從《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》開始學習和(he)研(yan)究數(shu)學，許(xu)多人曾(ceng)為它作過注釋。其(qi)中最著名的(de)有劉徽（263）、李(li)淳(chun)風（656）等人。劉、李(li)等人的(de)注釋和(he)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》一起流傳至今。唐宋兩(liang)代，《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》都由(you)國家(jia)明(ming)令(ling)規定(ding)為教科書。到了北宋，《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》還曾(ceng)由(you)政府進行過刊刻(ke)(ke)（1084），這(zhe)是世界上(shang)最早的(de)印(yin)刷(shua)本(ben)(ben)數(shu)學書。在現傳本(ben)(ben)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》中，最早的(de)版本(ben)(ben)乃是上(shang)述(shu)北宋本(ben)(ben)的(de)南宋翻刻(ke)(ke)本(ben)(ben)（1213），現藏于上(shang)海圖書館（孤(gu)本(ben)(ben)，殘，只余前五卷）。清代戴震由(you)《永樂大(da)典》中抄(chao)出(chu)《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》全(quan)書，并作了校(xiao)勘。此后(hou)的(de)《四庫全(quan)書》本(ben)(ben)、武英殿聚珍本(ben)(ben)、孔繼涵(han)刻(ke)(ke)的(de)《算(suan)(suan)經(jing)十(shi)書》本(ben)(ben)（1773）等，大(da)多數(shu)都是以戴校(xiao)本(ben)(ben)為底本(ben)(ben)的(de)。
作為一(yi)部世界(jie)數學名著(zhu)，《九章算(suan)術》早在(zai)隋唐時期即(ji)已傳入朝鮮(xian)、日本。它已被譯成日、俄、德、法(fa)等多種文字(zi)版本。
《九章算術》中的數學(xue)成就是多方面的：
（1）、在算(suan)術(shu)方面的(de)主要成就有分(fen)數運(yun)算(suan)、比(bi)例(li)問題和(he)“盈不足(zu)”算(suan)法(fa)。《九章算(suan)術(shu)》是世(shi)(shi)界上最早系統敘述(shu)了分(fen)數運(yun)算(suan)的(de)著作，在第(di)二(er)、三、六章中有許多比(bi)例(li)問題，在世(shi)(shi)界上也是比(bi)較早的(de)。“盈不足(zu)”的(de)算(suan)法(fa)需要給(gei)出兩次(ci)假設，是一項創造，中世(shi)(shi)紀歐(ou)洲(zhou)稱它(ta)為“雙(shuang)設法(fa)”，有人認為它(ta)是由中國經(jing)中世(shi)(shi)紀阿拉伯國家傳去的(de)。
《九章算術》中有比較完整的分(fen)(fen)數(shu)計算方(fang)法(fa)，包括(kuo)四則運算，通(tong)分(fen)(fen)、約(yue)分(fen)(fen)、化帶分(fen)(fen)數(shu)為假(jia)分(fen)(fen)數(shu)（我國古代(dai)稱為通(tong)分(fen)(fen)內子，“內”讀為納）等等。其步(bu)驟(zou)與方(fang)法(fa)大(da)體與現代(dai)的雷同。
分(fen)(fen)(fen)數加(jia)(jia)減運(yun)算，《九章(zhang)算術》已明確提出(chu)先通分(fen)(fen)(fen)，使(shi)兩分(fen)(fen)(fen)數的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)母(mu)相同，然后進(jin)(jin)行加(jia)(jia)減。加(jia)(jia)法(fa)的(de)(de)(de)步(bu)驟是(shi)(shi)“母(mu)互乘(cheng)(cheng)子，并(bing)以(yi)為實，母(mu)相乘(cheng)(cheng)為法(fa)，實如法(fa)而一”這里(li)“實”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子。“法(fa)”是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)，“實如法(fa)而一”也就是(shi)(shi)用(yong)法(fa)去(qu)除實，進(jin)(jin)行除法(fa)運(yun)算，《九章(zhang)算術》還注意到兩點(dian)：其一是(shi)(shi)運(yun)算結果(guo)如出(chu)現“不(bu)滿法(fa)者(zhe)，以(yi)法(fa)命之”。就是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)子小于(yu)分(fen)(fen)(fen)母(mu)時便以(yi)分(fen)(fen)(fen)數形式保留。其二是(shi)(shi)“其母(mu)同者(zhe)，直相從之”，就是(shi)(shi)分(fen)(fen)(fen)母(mu)相同的(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)數進(jin)(jin)行加(jia)(jia)減，運(yun)算時不(bu)必通分(fen)(fen)(fen)，使(shi)分(fen)(fen)(fen)子直接加(jia)(jia)減即可。
《九章算(suan)(suan)術》中還有求最(zui)大(da)公約數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和(he)約分(fen)(fen)的(de)方法。求最(zui)大(da)公約數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)方法稱為(wei)“更相減(jian)(jian)損(sun)(sun)”法，其(qi)(qi)具體步(bu)驟(zou)是“可(ke)(ke)半(ban)者(zhe)(zhe)半(ban)之，不可(ke)(ke)半(ban)者(zhe)(zhe)，副(fu)置分(fen)(fen)母子之數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，以少減(jian)(jian)多，更相減(jian)(jian)損(sun)(sun)，求其(qi)(qi)等(deng)(deng)也(ye)。以等(deng)(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)約之。”這里所說的(de)“等(deng)(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)”就是我們(men)(men)現在的(de)最(zui)大(da)公約數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。可(ke)(ke)半(ban)者(zhe)(zhe)是指分(fen)(fen)子分(fen)(fen)母都(dou)是偶(ou)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，可(ke)(ke)以折半(ban)的(de)先把(ba)它們(men)(men)折半(ban)，即可(ke)(ke)先約去2。不都(dou)是偶(ou)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)了，則另外擺（即副(fu)置）分(fen)(fen)子分(fen)(fen)母算(suan)(suan)籌進(jin)行計算(suan)(suan)，從大(da)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)中減(jian)(jian)去小數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)，輾轉相減(jian)(jian)，減(jian)(jian)到(dao)余數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)和(he)減(jian)(jian)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)相等(deng)(deng)，即得等(deng)(deng)數(shu)(shu)(shu)(shu)(shu)。
在(zai)《九章算術》的(de)第(di)(di)二、三(san)、六(liu)等章內(nei)，廣泛地使用了各(ge)種比例(li)解(jie)應(ying)用問(wen)題。粟(su)米(mi)(mi)(mi)章的(de)開始就列舉(ju)了各(ge)種糧食間互換的(de)比率如下：“粟(su)米(mi)(mi)(mi)之法：粟(su)率五十，糲米(mi)(mi)(mi)三(san)十，粺(bai)米(mi)(mi)(mi)二十七，糳米(mi)(mi)(mi)二十四，……”這是(shi)說：谷子(zi)五斗(dou)去皮可得(de)(de)糙米(mi)(mi)(mi)三(san)斗(dou)，又可舂得(de)(de)九折(zhe)米(mi)(mi)(mi)二斗(dou)七升，或八拆(chai)米(mi)(mi)(mi)二斗(dou)四升，……。例(li)如，粟(su)米(mi)(mi)(mi)章第(di)(di)一(yi)題：“今有粟(su)米(mi)(mi)(mi)一(yi)斗(dou)，欲為糲米(mi)(mi)(mi)，問(wen)得(de)(de)幾何”。它的(de)解(jie)法是(shi)：“以所(suo)(suo)有數乘所(suo)(suo)求率為實，以所(suo)(suo)有率為法，實如法而一(yi)”。
《九章算(suan)術(shu)》第七(qi)章“盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)”專講盈(ying)虧問(wen)題及其(qi)解(jie)(jie)法(fa)(fa)(fa)其(qi)中(zhong)第一(yi)題：“今有（人(ren)）共買(mai)物，（每(mei)）人(ren)出(chu)八（錢(qian)(qian)），盈(ying)（余）三錢(qian)(qian)；人(ren)出(chu)七(qi)（錢(qian)(qian)），不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)四（錢(qian)(qian)），問(wen)人(ren)數、物價各幾何”，“答曰(yue)：七(qi)人(ren)，物價53（錢(qian)(qian)）。”“盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)術(shu)曰(yue)：置(zhi)所出(chu)率，盈(ying)、不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)各居(ju)其(qi)下。令(ling)維乘（即交錯相乘）所出(chu)率，并(bing)以(yi)為(wei)(wei)實(shi)(shi)，并(bing)盈(ying)，不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)為(wei)(wei)法(fa)(fa)(fa)，實(shi)(shi)如法(fa)(fa)(fa)而一(yi)……置(zhi)所出(chu)率，以(yi)少(shao)減多(duo)，余，以(yi)約(yue)法(fa)(fa)(fa)、實(shi)(shi)。實(shi)(shi)為(wei)(wei)物價，法(fa)(fa)(fa)為(wei)(wei)人(ren)數”。盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)術(shu)是中(zhong)國數學史上解(jie)(jie)應用問(wen)題的(de)一(yi)種別開生面的(de)創(chuang)造，它在我國古代(dai)算(suan)法(fa)(fa)(fa)中(zhong)占有相當重要的(de)地位。盈(ying)不(bu)(bu)足(zu)(zu)(zu)術(shu)還(huan)經過絲(si)綢之路西傳中(zhong)亞阿拉伯國家，受(shou)到特別重視，被(bei)稱(cheng)為(wei)(wei)“契丹算(suan)法(fa)(fa)(fa)”，后來又傳入歐洲，中(zhong)世(shi)紀時期“雙設(she)法(fa)(fa)(fa)”曾長期統治了(le)他們的(de)數學王國。
（2）、《九章(zhang)算(suan)術》總結(jie)了生(sheng)產、生(sheng)活實踐中(zhong)大量的幾(ji)何知識，在(zai)方田、商功(gong)和勾股章(zhang)中(zhong)提出了很多面積(ji)、體積(ji)的計算(suan)公式和勾股定理的應用。
《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》方(fang)田(tian)(tian)(tian)章(zhang)主要(yao)論述平面圖(tu)形(xing)直(zhi)線形(xing)和圓的(de)面積計(ji)算(suan)(suan)方(fang)法。《九(jiu)章(zhang)算(suan)(suan)術(shu)》方(fang)田(tian)(tian)(tian)章(zhang)第一(yi)(yi)題“今有(you)田(tian)(tian)(tian)廣十五步(bu)，從(cong)(cong)（音(yin)縱zong）十六步(bu)。問為(wei)田(tian)(tian)(tian)幾何。”“答(da)曰：一(yi)(yi)畝”。這(zhe)里“廣”就是寬，“從(cong)(cong)”即(ji)縱，指(zhi)其長度，“方(fang)田(tian)(tian)(tian)術(shu)曰：廣從(cong)(cong)步(bu)數相(xiang)乘得(de)(de)積步(bu)，（得(de)(de)積步(bu)就是得(de)(de)到乘積的(de)平方(fang)步(bu)數）以畝法二百四十步(bu)（實質應為(wei)積步(bu)）除之(zhi)，即(ji)畝數。百畝為(wei)一(yi)(yi)頃。”當時稱長方(fang)形(xing)為(wei)方(fang)田(tian)(tian)(tian)或(huo)直(zhi)田(tian)(tian)(tian)。稱三角形(xing)為(wei)圭田(tian)(tian)(tian)，面積公式為(wei)“術(shu)曰：半廣以乘正(zheng)從(cong)(cong)”。這(zhe)里廣是指(zhi)三角形(xing)的(de)底邊，正(zheng)從(cong)(cong)是指(zhi)底邊上的(de)
高(gao)，劉(liu)徽在注文中(zhong)對這一計算公(gong)式(shi)(shi)實(shi)質(zhi)上作了(le)證明(ming)：“半廣(guang)者，以盈補(bu)(bu)(bu)虛(xu)，為直(zhi)田(tian)也。”“亦可以半正從以乘(cheng)廣(guang)”（圖1－30）。盈是(shi)多(duo)余，虛(xu)乃不足。“以盈補(bu)(bu)(bu)虛(xu)”就(jiu)是(shi)以多(duo)余部分(fen)填補(bu)(bu)(bu)不足的(de)部分(fen)，這就(jiu)是(shi)我國古代數(shu)學推導平面(mian)圖形面(mian)積(ji)公(gong)式(shi)(shi)所用的(de)傳統的(de)“出入(ru)相補(bu)(bu)(bu)”的(de)方法(fa)，由上圖“以盈補(bu)(bu)(bu)虛(xu)”變圭(gui)田(tian)為與之等積(ji)的(de)直(zhi)田(tian)，于是(shi)得到(dao)了(le)圭(gui)田(tian)的(de)面(mian)積(ji)計算公(gong)式(shi)(shi)。
方(fang)田(tian)章第二十(shi)(shi)七、二十(shi)(shi)八題把直(zhi)角梯形(xing)稱為“邪田(tian)”（即斜(xie)(xie)田(tian)）它的面(mian)積(ji)公式(shi)是：“術曰：并兩邪（即兩斜(xie)(xie)，應理解為梯形(xing)兩底）而(er)半(ban)之，以乘(cheng)正從(cong)……，又可半(ban)正從(cong)……以乘(cheng)并。”劉(liu)徽在注中說明他(ta)的證法仍是“出入相補”法。在方(fang)田(tian)章第二十(shi)(shi)九、三十(shi)(shi)題把一般梯形(xing)稱為“箕(ji)田(tian)”，上、下(xia)底分(fen)別稱為“舌(she)(she)”、“踵”，面(mian)積(ji)公式(shi)是：“術曰：并踵舌(she)(she)而(er)半(ban)之，以乘(cheng)正從(cong)”。
至于圓(yuan)面積(ji)(ji)，在《九章(zhang)算(suan)術》方田章(zhang)第三十(shi)一、三十(shi)二題中，它的面積(ji)(ji)計(ji)算(suan)公式(shi)(shi)為：“半周半徑相乘得積(ji)(ji)步”。這(zhe)里“周”是(shi)(shi)(shi)圓(yuan)周長，“徑”是(shi)(shi)(shi)指直(zhi)徑。這(zhe)個(ge)圓(yuan)面積(ji)(ji)計(ji)算(suan)公式(shi)(shi)是(shi)(shi)(shi)正確的。只是(shi)(shi)(shi)當時取徑一周三（即π≈3）。于是(shi)(shi)(shi)由此計(ji)算(suan)所得的圓(yuan)面積(ji)(ji)就不(bu)夠精密。
《九(jiu)章算(suan)(suan)術》商功(gong)章收集的(de)都(dou)是一(yi)些有(you)關(guan)體(ti)積(ji)計算(suan)(suan)的(de)問題。但是商功(gong)章并沒有(you)論述長方(fang)體(ti)或正方(fang)體(ti)的(de)體(ti)積(ji)算(suan)(suan)法。看(kan)來《九(jiu)章算(suan)(suan)術》是在(zai)長方(fang)體(ti)或正方(fang)體(ti)體(ti)積(ji)計算(suan)(suan)公(gong)式：V=abc的(de)基礎上來計算(suan)(suan)其他立體(ti)圖形(xing)體(ti)積(ji)的(de)。
《九章算(suan)(suan)術》商功章提(ti)到城(cheng)、垣、堤、溝、塹、渠，因(yin)其功用不同因(yin)而(er)(er)名稱各異，其實質都是正(zheng)截(jie)面為等腰梯(ti)形的(de)直棱柱(zhu)，他們的(de)體積計算(suan)(suan)方法：“術曰：并上、下(xia)廣而(er)(er)半(ban)之，以高若深(shen)乘(cheng)之，又以袤乘(cheng)之，即積尺(chi)”。這里上、下(xia)廣指橫截(jie)面的(de)上、下(xia)底（a，b）高或深(shen)（h），袤是指城(cheng)垣……的(de)長（l）。因(yin)此城(cheng)、垣…的(de)體積計算(suan)(suan)術公式V=1/2（a+b）h.
劉徽在注釋中把對于平面圖(tu)形的(de)出入相補(bu)原理(li)推廣應(ying)用到(dao)空間圖(tu)形，成為“損廣補(bu)狹”以證(zheng)明幾(ji)何(he)體(ti)體(ti)積公式。
劉徽還(huan)用棋(qi)(qi)(qi)驗法(fa)來推(tui)導(dao)比較復雜的幾何體(ti)體(ti)積計算(suan)公式。所謂棋(qi)(qi)(qi)驗法(fa)，“棋(qi)(qi)(qi)”是指某些幾何體(ti)模型(xing)即用幾何體(ti)模型(xing)驗證的方法(fa)，例如(ru)(ru)長(chang)(chang)(chang)方體(ti)本身就是“棋(qi)(qi)(qi)”[圖(tu)1－32（1）]斜解一個長(chang)(chang)(chang)方體(ti)，得(de)兩個兩底面(mian)為(wei)直角三角形的直三棱柱，我國古代稱為(wei)“塹堵”（如(ru)(ru)圖(tu)），所以塹堵的體(ti)積是長(chang)(chang)(chang)方體(ti)體(ti)積的二分之一。
《九(jiu)章算術》商(shang)功章還有圓錐、圓臺（古(gu)代稱“圓亭”）的(de)(de)體積計算公式。甚至對三個(ge)側面是等(deng)腰梯形(xing)，其他兩面為勾股形(xing)的(de)(de)五(wu)面體[圖1－33（1）]，上(shang)、下底為矩形(xing)的(de)(de)擬
柱(zhu)體(ti)（古(gu)(gu)代(dai)稱(cheng)(cheng)“芻童”）以及上(shang)底(di)(di)為一線段，下底(di)(di)為一矩形的擬柱(zhu)體(ti)（古(gu)(gu)代(dai)稱(cheng)(cheng)“芻甍”）（“甍”音“夢”）等都可以計算其體(ti)積(ji)。
（3）、《九章算術》中的(de)代數內容同樣很豐富，具有(you)當時世界(jie)的(de)先進(jin)水平。
1．開平(ping)方(fang)和開立(li)方(fang)
《九章(zhang)算(suan)術》中講了開平方(fang)(fang)、開立(li)方(fang)(fang)的(de)方(fang)(fang)法，而(er)且(qie)計算(suan)步(bu)驟基本一(yi)樣(yang)。所不同的(de)是古代(dai)用籌算(suan)進行演算(suan)，現以少廣章(zhang)第(di)12題為例，說(shuo)明(ming)古代(dai)開平方(fang)(fang)演算(suan)的(de)步(bu)驟，“今有積五(wu)萬(wan)五(wu)千二百二十五(wu)步(bu)。問為方(fang)(fang)幾(ji)何”。“答(da)曰：二百三十五(wu)步(bu)”。這里所說(shuo)的(de)步(bu)是我國古代(dai)的(de)長度單(dan)位。
“開方（是指開平方，由正方形面積求其一邊之長。）術曰：置積為實（即指籌算中把被開方數放置于第二行，稱為實）借一算（指借用一算籌放置于最后一行，如圖1－25（1）所示用以定位）。步之（指所借的算籌一步一步移動）超一等（指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等，這與現代筆算開平方中分節相當如圖1－25（2）所示）。議所得（指議得初商，由于實的萬位數字是5，而且22<5<32，議得初商為2，而借算在萬位，因此應在第一行置初商2于百位，如圖1－25（3）所示）。以一乘所借一算為法（指以初商2乘所借算一次為20000，置于“實”下為“法”，如圖1－25（4）所示）而以除（指以初商2乘“法”20000得40000，由“實”減去得：55225-40000=15225，如圖1－25（5）所示）除已，倍法為定法，其復除，折法而下（指將“法”加倍，向右移一位，得4000為“定法”因為要求平方根的十位數字，需要把“借算”移至百位，如圖1－25（6）所示）。復置借算步之如初，以復議一乘之，所得副，以加定法，以除（這一段是指：要求平方根的十位數字，需置借算于百位。因“實”的千位數字為15，且4×3<15<4×4，于是再議得次商為3。置3于商的十位。以次商3乘借算得3×100=300，與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商，則得：3×4300=12900，由“實”減去得：15225－12900=2325。如圖1－25（7）所示，以所得副從定法，復除折下如前（這一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到個位，如圖1－25（8）所示；又議得三商應為5，再置5于商的個位如圖1－25（9）所示，以5+460=465，再乘以三商5，得465×5=2325經計算恰盡如圖1－25（10）所示，因此得平方根為235。）
上述由圖1－25（1）—（10）是按算(suan)(suan)籌進行演算(suan)(suan)的(de)(de)，看起來(lai)似乎很繁瑣，實際上步(bu)驟十(shi)分清楚，易于(yu)操作。它的(de)(de)開平方(fang)原(yuan)理(li)(li)與(yu)現(xian)代(dai)(dai)開平方(fang)原(yuan)理(li)(li)相同(tong)。其中“借算(suan)(suan)”的(de)(de)右移、左(zuo)移在(zai)現(xian)代(dai)(dai)的(de)(de)觀(guan)點(dian)下可以(yi)理(li)(li)解(jie)(jie)為一次(ci)變(bian)換和代(dai)(dai)換。《九章(zhang)算(suan)(suan)術》時代(dai)(dai)并沒有理(li)(li)解(jie)(jie)到變(bian)換和代(dai)(dai)換，但是這(zhe)對以(yi)后宋、元時期高次(ci)方(fang)程的(de)(de)解(jie)(jie)法(fa)是有深(shen)遠影(ying)響的(de)(de)。
《九章算(suan)術》方(fang)(fang)程(cheng)章中(zhong)的(de)“方(fang)(fang)程(cheng)”是專指多(duo)元一(yi)次方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)而言，與(yu)“方(fang)(fang)程(cheng)”的(de)含義并不相同。《九章算(suan)術》中(zhong)多(duo)元一(yi)次方(fang)(fang)程(cheng)組(zu)的(de)解法，是將(jiang)它們的(de)系數(shu)(shu)(shu)和常數(shu)(shu)(shu)項用算(suan)籌擺成“方(fang)(fang)陣”（所以稱之謂“方(fang)(fang)程(cheng)”）。消元的(de)過程(cheng)相當于現代大學課程(cheng)高(gao)等代數(shu)(shu)(shu)中(zhong)的(de)線(xian)性(xing)變換(huan)。
由于《九(jiu)章(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》在用直除法解一次方程(cheng)組過程(cheng)中(zhong)，不可避(bi)免地要出現正(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)問題，于是在方程(cheng)章(zhang)第三題中(zhong)明確提(ti)出了(le)正(zheng)(zheng)負(fu)術(shu)(shu)。劉徽在該術(shu)(shu)的(de)注(zhu)文里實(shi)質上給出了(le)正(zheng)(zheng)、負(fu)數(shu)(shu)(shu)的(de)定(ding)義：“兩算(suan)得失相反，要令‘正(zheng)(zheng)’、‘負(fu)’以名之”。并(bing)在計(ji)算(suan)工具(ju)即(ji)算(suan)籌(chou)上加以區別“正(zheng)(zheng)算(suan)赤，負(fu)算(suan)黑(hei)(hei)，否則(ze)以邪(xie)正(zheng)(zheng)為異”。這(zhe)就是規定(ding)正(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)用紅(hong)色算(suan)籌(chou)，負(fu)數(shu)(shu)(shu)用黑(hei)(hei)色算(suan)籌(chou)。如果(guo)只有同色算(suan)籌(chou)的(de)話，則(ze)遇到(dao)(dao)正(zheng)(zheng)數(shu)(shu)(shu)將籌(chou)正(zheng)(zheng)放(fang)，負(fu)數(shu)(shu)(shu)時邪(xie)（同斜）放(fang)。宋代以后出現筆算(suan)也相應地用紅(hong)、黑(hei)(hei)色數(shu)(shu)(shu)碼字以區別正(zheng)(zheng)、負(fu)數(shu)(shu)(shu)，或(huo)在個位數(shu)(shu)(shu)上記斜劃以表(biao)示負(fu)數(shu)(shu)(shu)，如（即(ji)—1824），后來(lai)這(zhe)種包(bao)括負(fu)數(shu)(shu)(shu)寫法在內的(de)中(zhong)國(guo)數(shu)(shu)(shu)碼字還傳到(dao)(dao)日本。
關(guan)于(yu)正(zheng)、負(fu)(fu)數的(de)加減(jian)運算法(fa)則，“正(zheng)負(fu)(fu)術曰：同(tong)名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)益(yi)，異名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)除，正(zheng)無入負(fu)(fu)之(zhi)，負(fu)(fu)無入正(zheng)之(zhi)。其異名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)除，同(tong)名(ming)(ming)相(xiang)(xiang)益(yi)，正(zheng)無入正(zheng)之(zhi)，負(fu)(fu)無入負(fu)(fu)之(zhi)”。這(zhe)里所(suo)說(shuo)的(de)“同(tong)名(ming)(ming)”、“異名(ming)(ming)”分別相(xiang)(xiang)當于(yu)所(suo)說(shuo)的(de)同(tong)號、異號。“相(xiang)(xiang)益(yi)”、“相(xiang)(xiang)除”是指(zhi)二(er)數相(xiang)(xiang)加、相(xiang)(xiang)減(jian)。術文前四句是減(jian)法(fa)運算法(fa)則：
（1）如果被(bei)減(jian)數絕對值大于減(jian)數絕對值，即a>b≥0，
則同名相益：（±a）-（±b）=±（a-b），
異名相除：（±a）-（b）=±（a+b）。
（2）如果(guo)被減數(shu)絕(jue)對(dui)值小于減數(shu)絕(jue)對(dui)值，即b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+（b-a）]=-（b-a）。
中間一(yi)式的a和a對(dui)(dui)(dui)消，而（b-a）無(wu)(wu)可(ke)對(dui)(dui)(dui)消，則改“正”為“負”，即“正無(wu)(wu)入負之”。“無(wu)(wu)入”就是(shi)無(wu)(wu)對(dui)(dui)(dui)，也就是(shi)無(wu)(wu)可(ke)對(dui)(dui)(dui)消（或(huo)不夠減或(huo)對(dui)(dui)(dui)方為零）。
②如果兩數皆負
則(ze)（-a）-（-b）=－a-[（-a）-（b-a）]=+（b-a）。在(zai)中間的式子里(li)（-a）和（-a）對消，而-（b-a）無可(ke)對消，則(ze)改(gai)“負”為(wei)“正(zheng)”所以(yi)說“負無入正(zheng)之”。
③如(ru)果兩數一正(zheng)一負。則仍(reng)同(tong)（1）的異名相益。
術文的后(hou)四句是指正負(fu)數加法(fa)(fa)運(yun)算法(fa)(fa)則(ze)。
（1）同號兩數相加，即(ji)同名(ming)相益(yi)，其和的絕對(dui)值(zhi)等于兩數絕對(dui)值(zhi)和。
如果a>0，b>0，
則a+b=a+b，（-a）+（-b）=-（a+b）
（2）異(yi)號兩數(shu)(shu)相(xiang)加，實為(wei)(wei)相(xiang)減，即(ji)異(yi)名(ming)相(xiang)除。如(ru)果正數(shu)(shu)的絕對(dui)值較大，其和(he)為(wei)(wei)正，即(ji)“正無入(ru)正之”。如(ru)果負數(shu)(shu)的絕對(dui)值較大，其和(he)為(wei)(wei)負，即(ji)“負無入(ru)負之”。用符號表示(shi)為(wei)(wei)
①如果a>b≥0，
則a+（-b）=[b+（a-b）]+（-b）=a-b，
或（-a）+b=[（-b）－（a-b）]+b=-（a-b）。
②如果b>a≥0，
則a+（-b）=a+[（-a）-（b-a）]=-（b-a），
或（-a）+b=（-a）+[a+（b-a）]=b-a。
關于正(zheng)(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)乘除法則，在《九章算術》時代(dai)(dai)或許會遇到(dao)(dao)有關正(zheng)(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)乘除運(yun)算。可惜書中并(bing)未(wei)論及，直到(dao)(dao)元代(dai)(dai)朱世杰于《算學啟(qi)蒙》（1299年）中才(cai)有明確的(de)(de)記(ji)載：“同名相(xiang)(xiang)乘為正(zheng)(zheng)(zheng)，異(yi)名相(xiang)(xiang)乘為負(fu)”，“同名相(xiang)(xiang)除所得為正(zheng)(zheng)(zheng)，異(yi)名相(xiang)(xiang)除所得為負(fu)”，因(yin)此至遲(chi)于13世紀末我國對有理數(shu)(shu)四則運(yun)算法則已(yi)經全(quan)面作了總結。至于正(zheng)(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)概念的(de)(de)引入，正(zheng)(zheng)(zheng)負(fu)數(shu)(shu)加減(jian)運(yun)算法則的(de)(de)形成(cheng)的(de)(de)歷史(shi)記(ji)錄，我國更是遙遙領先(xian)。國外首先(xian)承認(ren)負(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)是七(qi)世紀印度數(shu)(shu)學家婆羅門岌多（約598-？）歐洲到(dao)(dao)16世紀才(cai)承認(ren)負(fu)數(shu)(shu)。
現傳本(ben)《九章算術》成(cheng)書(shu)于何時，眾說紛紜(yun)，多數認為(wei)在(zai)西(xi)漢末到東漢初之間(jian)，約公(gong)元一世(shi)紀前后，《九章算術》的作者不詳。很可能是在(zai)成(cheng)書(shu)前一段歷(li)史(shi)時期(qi)內通過多人之手(shou)逐(zhu)次整理、修改、補充而成(cheng)的集(ji)體創(chuang)作結晶。由(you)于二(er)千年來經過輾轉手(shou)抄、刻印，難(nan)免會(hui)出現差錯和(he)(he)遺漏，加上《九章算術》文(wen)字(zi)簡略有些內容不易(yi)理解(jie)，因(yin)此歷(li)史(shi)上有過多次校正(zheng)和(he)(he)注釋。
關于對(dui)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》所做的校注(zhu)主要(yao)有：西漢張蒼增訂、刪補，三國時曹魏劉(liu)徽注(zhu)，唐李淳風(feng)注(zhu)，南宋(song)楊輝著《詳解九章(zhang)算(suan)法》選用《九章(zhang)算(suan)術(shu)》中(zhong)80道(dao)典型的題作過詳解并分類，清李潢(huang)（？—1811年）所著《九章(zhang)算(suan)術(shu)細草(cao)圖說》對(dui)《九章(zhang)算(suan)術(shu)》進行了校訂、列算(suan)草(cao)、補插圖、加說明，尤其是圖文(wen)并茂之(zhi)作。
現代錢寶琮（1892—1974年）曾對(dui)包括《九章算(suan)(suan)術》在內的(de)《算(suan)(suan)經十書》進行了校點，用通俗(su)語言、近代數學術語對(dui)《九章算(suan)(suan)術》及劉、李(li)注(zhu)文詳(xiang)加(jia)注(zhu)釋(shi)。80年代以來，今(jin)人白尚恕、郭書春(chun)、李(li)繼閔等都有校注(zhu)本(ben)出版。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》是世界上最(zui)早(zao)系統敘述了(le)(le)分數(shu)運算(suan)的著作；其中盈不足的算(suan)法(fa)(fa)更是一(yi)項令人驚奇的創(chuang)造；“方(fang)程”章(zhang)(zhang)還(huan)在(zai)世界數(shu)學(xue)史(shi)上首(shou)次闡述了(le)(le)負(fu)(fu)(fu)數(shu)及其加減運算(suan)法(fa)(fa)則(ze)。在(zai)代數(shu)方(fang)面(mian)，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》在(zai)世界數(shu)學(xue)史(shi)上最(zui)早(zao)提出負(fu)(fu)(fu)數(shu)概念及正負(fu)(fu)(fu)數(shu)加減法(fa)(fa)法(fa)(fa)則(ze)；中學(xue)講(jiang)授的線性方(fang)程組的解法(fa)(fa)和《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》介紹的方(fang)法(fa)(fa)大體(ti)相(xiang)同。注重實(shi)際應用是《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)(shu)》的一(yi)個顯著特點。該書的一(yi)些知識還(huan)傳播至印度和阿(a)拉伯，甚(shen)至經過這些地區遠(yuan)至歐洲(zhou)。
《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》是幾(ji)代人共(gong)同(tong)勞(lao)動(dong)的結晶，它的出(chu)現標志著中(zhong)國(guo)古代數(shu)(shu)學(xue)(xue)體系的形成．后世(shi)的數(shu)(shu)學(xue)(xue)家，大都是從《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》開始(shi)學(xue)(xue)習和研究數(shu)(shu)學(xue)(xue)知(zhi)識的。唐宋(song)兩(liang)代都由國(guo)家明令規定為教科書(shu)。1084年由當時的北(bei)宋(song)朝廷進(jin)行刊刻，這是世(shi)界上(shang)最早(zao)的印刷本數(shu)(shu)學(xue)(xue)書(shu)。可以說，《九(jiu)章(zhang)(zhang)算(suan)術(shu)(shu)》是中(zhong)國(guo)為數(shu)(shu)學(xue)(xue)發展做出(chu)的又一杰出(chu)貢獻。
在九章算(suan)術中(zhong)有許多數(shu)學(xue)問(wen)題都(dou)是世界上記載最早的(de)。例(li)如，關(guan)于比例(li)算(suan)法(fa)的(de)問(wen)題，它和后(hou)來在16世紀西(xi)歐出(chu)現的(de)三分(fen)律的(de)算(suan)法(fa)一樣。關(guan)于雙設法(fa)的(de)問(wen)題，在阿拉伯曾(ceng)稱為契(qi)丹算(suan)法(fa)，13世紀以后(hou)的(de)歐洲數(shu)學(xue)著作中(zhong)也有如此稱呼的(de)，這也是中(zhong)國古(gu)代數(shu)學(xue)知識向(xiang)西(xi)方傳播的(de)一個證據。
《九(jiu)章算術》對中國(guo)古代(dai)的數學(xue)發展有很大影響，這種影響一直持續到了清朝中葉。《九(jiu)章算術》的敘述方式(shi)以歸納為(wei)主，先給出(chu)若(ruo)干(gan)例題(ti)，再給出(chu)解(jie)法(fa)，不同(tong)于西方以演(yan)繹(yi)為(wei)主的敘述方式(shi)，中國(guo)后(hou)來(lai)的數學(xue)著作也都是采用敘述方式(shi)為(wei)主。歷代(dai)數學(xue)家(jia)有不少人曾經注釋(shi)過這本書，其中以劉徽和李(li)淳風的注釋(shi)最有名(ming)。
《九章算(suan)術》還流(liu)傳到了(le)日本(ben)和(he)朝(chao)鮮，對其古代的數學發展也(ye)產(chan)生了(le)很大的影響。
2020年4月，列入(ru)《教(jiao)育部(bu)基礎教(jiao)育課(ke)程教(jiao)材(cai)發展(zhan)中心中小學生閱(yue)讀指(zhi)導目錄（2020年版）》初(chu)中段(duan)。
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