基本介紹

《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經》原名《周(zhou)髀(bi)(bi)》，算(suan)經的(de)十(shi)書(shu)之一(yi)，是中國(guo)最(zui)古老的(de)天(tian)文學(xue)(xue)和數(shu)學(xue)(xue)著作，約成書(shu)于公元(yuan)前1世紀，主要闡明當時的(de)蓋天(tian)說和四(si)分歷法(fa)。唐初規(gui)定它為國(guo)子監明算(suan)科的(de)教(jiao)材之一(yi)，故改名《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經》。

《周髀(bi)算經》在(zai)數學(xue)上(shang)的(de)主要成就是介(jie)紹了勾股定理(li)（據說原書沒有對勾股定理(li)進行證(zheng)明(ming)，其證(zheng)明(ming)是三(san)國時東吳人趙爽在(zai)《周髀(bi)注(zhu)(zhu)》一書的(de)《勾股圓方圖(tu)注(zhu)(zhu)》中(zhong)給出的(de)）及(ji)其在(zai)測量上(shang)的(de)應用以(yi)及(ji)怎(zen)樣引用到(dao)天(tian)文計算。）

《周髀算經》的采用最簡便可(ke)行(xing)(xing)的方法確定天文歷(li)法，揭(jie)示日月星辰(chen)的運行(xing)(xing)規(gui)律，囊括四季更(geng)替(ti)，氣(qi)候(hou)變化，包(bao)涵(han)南(nan)北(bei)有極，晝夜(ye)相推的道(dao)理。給后來者生活作息提供有力的保障，自(zi)此(ci)以后歷(li)代數(shu)學家無不以《周髀算經》為參考，在此(ci)基礎上不斷創新(xin)和發展。

其他信息

年代

假設我們(men)把《周髀算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)本(ben)文(wen)(wen)(wen)限定為(wei)商高與周公的(de)(de)(de)問答，似乎其成書年(nian)代也就(jiu)不難斷(duan)定了。可是(shi)，乾(qian)嘉以(yi)后(hou)，考(kao)據之學(xue)(xue)興(xing)起，疑古之風日盛(sheng)，到了現代，幾乎所有的(de)(de)(de)中外學(xue)(xue)者都不得不接(jie)受這(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)推斷(duan)：不僅(jin)商高是(shi)后(hou)人假托(tuo)的(de)(de)(de)，甚至陳(chen)子(zi)也是(shi)后(hou)人虛構出來的(de)(de)(de)。于是(shi)，僅(jin)僅(jin)把商高問答看(kan)作《周髀算(suan)經(jing)(jing)》本(ben)文(wen)(wen)(wen)就(jiu)不再有任(ren)何意義了。因此，許多學(xue)(xue)者都將陳(chen)子(zi)問答以(yi)后(hou)的(de)(de)(de)文(wen)(wen)(wen)字作為(wei)《周髀算(suan)經(jing)(jing)》全(quan)文(wen)(wen)(wen)的(de)(de)(de)一個部分，不再加以(yi)區分。此一來，人們(men)開(kai)始根據《周髀算(suan)經(jing)(jing)》中的(de)(de)(de)內容推斷(duan)它的(de)(de)(de)成書年(nian)代。

通常的(de)方法可以分(fen)成兩類：天文學史專家，喜歡利用現代天文學手段，根據(ju)《周髀算(suan)經》中記錄的(de)一些特殊的(de)天文現象(xiang)或數據(ju)，推(tui)算(suan)其(qi)應該(gai)出現的(de)年代，并以此來確定其(qi)成書時代。例如(ru)，日(ri)本(ben)學者能田(tian)忠亮便以《周髀算(suan)經》中的(de)北(bei)極星（北(bei)極璇(xuan)璣）到(dao)北(bei)天極的(de)距離．歸算(suan)出其(qi)成書年代大約(yue)在公元前5到(dao)7世(shi)紀(ji)之間。

另(ling)一(yi)種(zhong)方法則是根據《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)》涉及的(de)一(yi)些內容，與(yu)相對而言(yan)年(nian)代比較(jiao)(jiao)明確的(de)其他歷史典籍的(de)比較(jiao)(jiao)，推斷其成書年(nian)代。錢寶(bao)琮（1892年(nian)－1974年(nian)）在《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)考》中對《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)》的(de)年(nian)代做出如下(xia)的(de)考證：第一(yi)，《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)》主要分為(wei)兩個部分，前為(wei)商(shang)高問答，后為(wei)陳子(zi)(zi)模型(xing)；第二，由于(yu)懷(huai)疑商(shang)高是后人的(de)偽托，因此，認為(wei)陳子(zi)(zi)以下(xia)的(de)文(wen)字才是《周(zhou)(zhou)髀(bi)(bi)算經(jing)》的(de)主體，通過(guo)與(yu)《淮南子(zi)(zi)·天(tian)文(wen)訓》的(de)比較(jiao)(jiao)，從(cong)六個方面論(lun)述了(le)陳子(zi)(zi)以下(xia)的(de)文(wen)字成書在

公(gong)元(yuan)前100年左右；第(di)三(san)，“周(zhou)髀(bi)”的(de)(de)意思以陳子之(zhi)說為(wei)準(zhun)，同時也提(ti)(ti)到其他一(yi)些解釋；第(di)四，比較24氣(qi)名(ming)目及次(ci)序與《三(san)統歷(li)》之(zhi)異同，提(ti)(ti)到趙爽(shuang)注稱原(yuan)節氣(qi)長度(du)15日與《淮南子》的(de)(de)粗略記法類似；第(di)五，分(fen)數算(suan)法的(de)(de)繁復與《九章算(suan)術》類似。他的(de)(de)結(jie)論是(shi)，《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》成書(shu)(shu)在公(gong)元(yuan)前100年左右。在疑古(gu)思潮的(de)(de)影響下，還有一(yi)種傾(qing)向也值(zhi)得人們(men)的(de)(de)注意，那就是(shi)以《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》全書(shu)(shu)中所有內(nei)容的(de)(de)下限來判定它的(de)(de)成書(shu)(shu)年代，古(gu)克禮（C．Cullen）大約可以算(suan)是(shi)這個方面的(de)(de)一(yi)個代表(biao)。

古克禮(li)認為(wei)以(yi)前的(de)(de)(de)(de)(de)學者大(da)多錯(cuo)誤地企(qi)圖去(qu)發現《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》作為(wei)一個(ge)整(zheng)體(ti)完(wan)成的(de)(de)(de)(de)(de)年代，因(yin)此(ci)，它(ta)(ta)們的(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)論是(shi)在一種假象(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)幻覺中(zhong)獲得的(de)(de)(de)(de)(de)。他(ta)認為(wei)，這部(bu)書(shu)是(shi)一些志同道合的(de)(de)(de)(de)(de)研究者分(fen)(fen)(fen)別撰述的(de)(de)(de)(de)(de)論文集。他(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)做法(fa)是(shi)，首先，調(diao)查《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)內(nei)(nei)在結(jie)構，并將其(qi)劃分(fen)(fen)(fen)為(wei)不同的(de)(de)(de)(de)(de)章(zhang)節，討論節與(yu)節之間的(de)(de)(de)(de)(de)關系；其(qi)次，討論與(yu)各(ge)節內(nei)(nei)容有關的(de)(de)(de)(de)(de)外部(bu)世界的(de)(de)(de)(de)(de)資料(liao)與(yu)活動(dong)；第(di)三(san)，探討可(ke)能產生與(yu)各(ge)節內(nei)(nei)容相關的(de)(de)(de)(de)(de)歷(li)史環境(jing)。他(ta)將《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經(jing)(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)整(zheng)體(ti)編排打(da)亂，把它(ta)(ta)們劃分(fen)(fen)(fen)為(wei)外篇與(yu)內(nei)(nei)篇兩個(ge)部(bu)分(fen)(fen)(fen)。其(qi)中(zhong)內(nei)(nei)篇以(yi)陳子模型(xing)為(wei)主展(zhan)開，取其(qi)下限在公元(yuan)1世紀。

在(zai)有(you)(you)關外部環境(jing)的(de)(de)(de)(de)討論中(zhong)，指出作(zuo)為皇(huang)家(jia)(jia)的(de)(de)(de)(de)藏書(shu)目錄，班固（32－92年）編(bian)寫的(de)(de)(de)(de)《漢書(shu)·藝文志》中(zhong)有(you)(you)《許(xu)商(shang)算(suan)(suan)(suan)術》與《杜忠算(suan)(suan)(suan)術》而(er)無《周(zhou)髀算(suan)(suan)(suan)經》；蓋天說(shuo)在(zai)公(gong)元l世紀已(yi)經為人所(suo)熟知(zhi)，蔡邕在(zai)公(gong)元180年已(yi)經明(ming)確(que)將其列為中(zhong)圈古(gu)代(dai)的(de)(de)(de)(de)三家(jia)(jia)宇(yu)宙論之一(yi)。結論是，由于(yu)受到(dao)了渾天說(shuo)的(de)(de)(de)(de)影響，《周(zhou)髀算(suan)(suan)(suan)經》的(de)(de)(de)(de)成(cheng)書(shu)時間不(bu)可能(neng)早(zao)于(yu)公(gong)元前l世紀，但也不(bu)會晚(wan)于(yu)公(gong)元200年。筆者以(yi)為，判(pan)(pan)別中(zhong)國古(gu)代(dai)科學典(dian)籍的(de)(de)(de)(de)完成(cheng)年代(dai)，應該以(yi)書(shu)中(zhong)主要的(de)(de)(de)(de)科學思(si)想或(huo)知(zhi)識(shi)水(shui)平所(suo)反(fan)映(ying)的(de)(de)(de)(de)年代(dai)為判(pan)(pan)別標(biao)準，而(er)不(bu)應以(yi)書(shu)中(zhong)夾雜(za)的(de)(de)(de)(de)若(ruo)干后代(dai)摻入的(de)(de)(de)(de)只(zhi)言片語作(zuo)為推斷的(de)(de)(de)(de)條件。由于(yu)早(zao)期的(de)(de)(de)(de)科學典(dian)籍通(tong)常都是人類(lei)知(zhi)識(shi)逐(zhu)漸積(ji)累的(de)(de)(de)(de)結晶(jing)，因(yin)此(ci)，搞清楚其中(zhong)科學思(si)想的(de)(de)(de)(de)萌生時期與流(liu)傳脈絡，也許(xu)比單純判(pan)(pan)定它的(de)(de)(de)(de)成(cheng)書(shu)年代(dai)更有(you)(you)意義。

科學史已經(jing)(jing)(jing)(jing)反(fan)復地(di)證明，今天(tian)看來是(shi)非常顯然(ran)的(de)(de)(de)(de)科學真理，在(zai)人類認識它的(de)(de)(de)(de)初期往(wang)往(wang)經(jing)(jing)(jing)(jing)歷了(le)長期的(de)(de)(de)(de)懷疑，甚至抵制。例如，歲差(cha)現象(xiang)在(zai)南北朝(chao)時(shi)期的(de)(de)(de)(de)存廢之爭，就是(shi)一(yi)(yi)個(ge)典型的(de)(de)(de)(de)事例。因(yin)此，試圖通過以《周(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)(jing)》中的(de)(de)(de)(de)內容的(de)(de)(de)(de)完整或正確性介于(yu)(yu)某兩個(ge)古代文獻之間(jian)，就認定其(qi)成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)年(nian)(nian)代也必定介于(yu)(yu)兩者(zhe)之間(jian)的(de)(de)(de)(de)方法，是(shi)靠不(bu)住的(de)(de)(de)(de)。而利(li)用一(yi)(yi)些重要(yao)數據的(de)(de)(de)(de)理論推(tui)算來判(pan)定其(qi)成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)年(nian)(nian)代的(de)(de)(de)(de)方法，許多(duo)時(shi)候也是(shi)不(bu)太可行的(de)(de)(de)(de)。有(you)關《周(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)(jing)》成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)年(nian)(nian)代的(de)(de)(de)(de)討(tao)論，馮禮貴曾經(jing)(jing)(jing)(jing)收集(ji)了(le)14種不(bu)同的(de)(de)(de)(de)觀(guan)點。盡(jin)管在(zai)《周(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)(jing)》成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)年(nian)(nian)代的(de)(de)(de)(de)判(pan)斷(duan)上有(you)很大的(de)(de)(de)(de)區別，但(dan)幾(ji)乎(hu)所有(you)的(de)(de)(de)(de)研究者(zhe)都(dou)有(you)一(yi)(yi)個(ge)共識，那就是(shi)《周(zhou)髀算經(jing)(jing)(jing)(jing)》并(bing)不(bu)是(shi)成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)(shu)于(yu)(yu)一(yi)(yi)人一(yi)(yi)時(shi)，它經(jing)(jing)(jing)(jing)過了(le)許多(duo)朝(chao)代的(de)(de)(de)(de)流(liu)傳(chuan)進化(hua)才(cai)得以完成(cheng)(cheng)我們(men)所看到的(de)(de)(de)(de)篇(pian)幅與結構。

章鴻釗曾經(jing)明(ming)確(que)地將(jiang)(jiang)《周髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)(cheng)劃分為(wei)三個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi)：第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)期(qi)(qi)，商(shang)高(gao)(gao)問答；第(di)二(er)期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)問答；第(di)三期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)以(yi)后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文字(zi)。這(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分，是(shi)許(xu)多(duo)人都默認的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)(ge)事(shi)實。正如陳方正在(zai)總(zong)結(jie)前人對《周髀(bi)算(suan)經(jing)》成(cheng)(cheng)(cheng)書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)時(shi)(shi)所說(shuo)：《周髀(bi)》不(bu)但不(bu)是(shi)個(ge)(ge)人的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著作(zuo)，甚至(zhi)也未(wei)必是(shi)單(dan)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)性質的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著作(zuo)，而(er)可能是(shi)由多(duo)個(ge)(ge)在(zai)不(bu)同(tong)歷史時(shi)(shi)期(qi)(qi)出(chu)(chu)現，相關、相類但并不(bu)相同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)(xue)說(shuo)、理(li)(li)論(lun)，逐(zhu)漸累積而(er)成(cheng)(cheng)(cheng)。因此，將(jiang)(jiang)《周髀(bi)算(suan)經(jing)》單(dan)純(chun)(chun)視為(wei)表述(shu)蓋天(tian)(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自洽體系，而(er)忽視它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性質，是(shi)不(bu)甚恰當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆者也贊(zan)同(tong)將(jiang)(jiang)《周髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)(cheng)劃分為(wei)三個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi)。具體而(er)言(yan)，上(shang)卷(juan)之一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)，商(shang)高(gao)(gao)與(yu)周公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問答，應該是(shi)《周髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原始文字(zi)，它反映了早期(qi)(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以(yi)商(shang)高(gao)(gao)為(wei)代表的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中(zhong)國古代數學(xue)(xue)家對數學(xue)(xue)以(yi)及(ji)數學(xue)(xue)之為(wei)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認識。商(shang)高(gao)(gao)答周公問企(qi)圖說(shuo)明(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題是(shi)解決幾何測(ce)量學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)方法，這(zhe)(zhe)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)點他做(zuo)到了。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)方法包含(han)勾股定(ding)理(li)(li)與(yu)用矩之道。按照商(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)法，這(zhe)(zhe)些數學(xue)(xue)內容(rong)在(zai)大(da)禹治(zhi)水的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)候已(yi)經(jing)具備，應該是(shi)可信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第(di)二(er)個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)模型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出(chu)(chu)，其內容(rong)為(wei)上(shang)卷(juan)之二(er)陳子(zi)(zi)與(yu)容(rong)方的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問答，這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)部(bu)分大(da)約在(zai)戰國時(shi)(shi)期(qi)(qi)已(yi)經(jing)形成(cheng)(cheng)(cheng)。這(zhe)(zhe)個(ge)(ge)時(shi)(shi)期(qi)(qi)，陳子(zi)(zi)將(jiang)(jiang)商(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩之道進一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)步(bu)(bu)發(fa)展成(cheng)(cheng)(cheng)為(wei)測(ce)望日高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重差(cha)術。也是(shi)可以(yi)相信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳子(zi)(zi)問答中(zhong)試圖解決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問題是(shi)，利用影差(cha)原理(li)(li)與(yu)日高(gao)(gao)術，在(zai)商(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩之道的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎上(shang)，進一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)步(bu)(bu)完善(shan)更加(jia)宏大(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測(ce)天(tian)(tian)量地的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)論(lun)與(yu)實踐。陳子(zi)(zi)模型的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出(chu)(chu)，事(shi)實上(shang)是(shi)在(zai)向著這(zhe)(zhe)樣(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出(chu)(chu)了關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)步(bu)(bu)：把商(shang)高(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周髀(bi)》轉化為(wei)蓋天(tian)(tian)說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周髀(bi)》，把一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)部(bu)比較單(dan)純(chun)(chun)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)(xue)著作(zuo)轉化為(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)(yi)部(bu)純(chun)(chun)粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數理(li)(li)天(tian)(tian)文學(xue)(xue)論(lun)著。

從上卷之三(san)(san)開始，是對蓋天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)理(li)論的(de)(de)(de)擴(kuo)張(zhang)與完(wan)善(shan)。首先是在(zai)陳子(zi)模型的(de)(de)(de)基(ji)本(ben)假設(she)下，建立(li)七(qi)衡(heng)六(liu)間的(de)(de)(de)宇宙模型，并(bing)以術文的(de)(de)(de)形(xing)式給(gei)出每日太陽運行軌道的(de)(de)(de)計算(suan)(suan)方法(fa)，使七(qi)衡(heng)圖成(cheng)為(wei)一(yi)(yi)個(ge)(ge)可(ke)以操(cao)作的(de)(de)(de)真正的(de)(de)(de)活動式星盤(pan)。在(zai)此基(ji)礎(chu)上，進一(yi)(yi)步引(yin)入新的(de)(de)(de)天(tian)(tian)地形(xing)狀(zhuang)的(de)(de)(de)模式，給(gei)出了地理(li)五帶的(de)(de)(de)劃分(fen)、寒暑成(cheng)因的(de)(de)(de)解釋、日出日落的(de)(de)(de)方位，并(bing)建立(li)了蓋天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)天(tian)(tian)體測量(liang)學，引(yin)入了去極度的(de)(de)(de)概念，制作了比(bi)較完(wan)整的(de)(de)(de)《四(si)分(fen)歷》等等。這些雖然大大地豐富(fu)了陳子(zi)模型的(de)(de)(de)理(li)論內(nei)涵，但同時也制造了蓋天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)系統內(nei)部(bu)(bu)的(de)(de)(de)一(yi)(yi)些無(wu)法(fa)完(wan)全自洽的(de)(de)(de)矛盾，成(cheng)為(wei)后世學者不(bu)斷批評的(de)(de)(de)目標。這個(ge)(ge)部(bu)(bu)分(fen)的(de)(de)(de)形(xing)成(cheng)，意味著《周(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)經》作為(wei)一(yi)(yi)部(bu)(bu)論述蓋天(tian)(tian)說(shuo)(shuo)理(li)論的(de)(de)(de)專著的(de)(de)(de)完(wan)成(cheng)。從《周(zhou)髀(bi)算(suan)(suan)經》上卷之三(san)(san)開始，出現了大量(liang)的(de)(de)(de)“術曰”，這一(yi)(yi)點與商高(gao)問(wen)答(da)及陳子(zi)問(wen)答(da)的(de)(de)(de)行文風(feng)格形(xing)成(cheng)明顯的(de)(de)(de)反差，從一(yi)(yi)個(ge)(ge)側面反映出其形(xing)成(cheng)時期應該(gai)是比(bi)前兩個(ge)(ge)部(bu)(bu)分(fen)更加晚近的(de)(de)(de)事(shi)實。

綜上(shang)所述，《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》的(de)(de)第(di)一(yi)(yi)部分(fen)商高問答，曾經(jing)作(zuo)為《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》獨立的(de)(de)本(ben)文，其完(wan)成時間應(ying)該是在(zai)西周(zhou)初期，約公元(yuan)前(qian)(qian)11世紀。陳(chen)子(zi)(zi)問答中的(de)(de)數學理論與(yu)宇宙(zhou)模型(xing)(xing)完(wan)成的(de)(de)時間，大約在(zai)公元(yuan)前(qian)(qian)4、5世紀。作(zuo)為一(yi)(yi)部闡釋蓋天說理論的(de)(de)數理天文學著作(zuo)，《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》從上(shang)卷(juan)之三開始(shi)，是對陳(chen)子(zi)(zi)模型(xing)(xing)的(de)(de)完(wan)善和擴充，其中的(de)(de)一(yi)(yi)些基本(ben)數據與(yu)結構，如七衡圖與(yu)去極度等，應(ying)該是在(zai)陳(chen)子(zi)(zi)模型(xing)(xing)提出后就已經(jing)確(que)定了(le)的(de)(de)，但是，陳(chen)子(zi)(zi)假設(she)的(de)(de)平(ping)行平(ping)面的(de)(de)天地模型(xing)(xing)，則得到了(le)一(yi)(yi)定的(de)(de)修正，并且(qie)加入(ru)了(le)一(yi)(yi)些新的(de)(de)東西，如寒暑(shu)成因(yin)與(yu)歷法(fa)等內容，總而言之，《周(zhou)髀(bi)算經(jing)》第(di)三部分(fen)的(de)(de)成型(xing)(xing)，按照錢寶琮與(yu)劉(liu)朝陽的(de)(de)考證，應(ying)該不(bu)會晚于(yu)公元(yuan)前(qian)(qian)100年。

質疑

根據《周髀算經》原文中的(de)明確交待，以及在文獻中對幾個(ge)關鍵問題的(de)詳細論(lun)證，我(wo)們已經知(zhi)道《周髀算經》中的(de)蓋天(tian)宇宙有如下特(te)征∶

一、大地與天為相距80,000里的平行圓(yuan)形平面。

二、大(da)地中(zhong)央有高(gao)大(da)柱形(xing)物（高(gao)60,000里(li)的(de)“璇(xuan)璣”，其底面直徑為23,000里(li)）。

三、該(gai)宇宙模型的構造者在圓形大地(di)上為自己的居息(xi)之處確定了位置，并且這(zhe)位置不在中(zhong)央而(er)是偏(pian)南。

四、大(da)地中央的柱形延伸(shen)至天處為北極。

五、日月星辰在天上環繞北(bei)極(ji)作平面圓周運(yun)動(dong)。

六、太陽在這(zhe)種圓周運動中有著多(duo)重同(tong)心軌(gui)道，并且以(yi)半年(nian)為周期作規律(lv)性的(de)軌(gui)道遷移(一(yi)年(nian)往返(fan)一(yi)遍)。

七(qi)、太(tai)陽(yang)的(de)上述運行(xing)模式可(ke)以在相(xiang)當程度上說明晝夜成(cheng)因和太(tai)陽(yang)周年視運動中的(de)一(yi)些天象。

令人極(ji)為驚訝(ya)的(de)(de)(de)是，筆者(zhe)發現(xian)(xian)上述七項特征(zheng)竟與古代印度(du)的(de)(de)(de)宇宙模型(xing)全都(dou)吻合！這樣的(de)(de)(de)現(xian)(xian)象恐(kong)非(fei)偶然，值(zhi)得(de)加以注意和研(yan)究(jiu)。下面(mian)先報道(dao)筆者(zhe)初步比較的(de)(de)(de)結果，更深入的(de)(de)(de)研(yan)究(jiu)或當(dang)俟諸異日(ri)。

關(guan)于古(gu)代(dai)印度(du)宇宙模(mo)(mo)型的(de)(de)記載，主要(yao)保(bao)存在一些《往世書(shu)》（Puranas）中(zhong)。《往世書(shu)》是印度(du)教的(de)(de)圣(sheng)典，同(tong)時又是古(gu)代(dai)史籍，帶(dai)有百科全書(shu)性質。它們的(de)(de)確(que)切成書(shu)年(nian)(nian)代(dai)難以判(pan)定，但其中(zhong)關(guan)于宇宙模(mo)(mo)式的(de)(de)一套概(gai)念，學者們相(xiang)信(xin)可以追(zhui)溯到吠陀時代(dai)----約公元前1000年(nian)(nian)之前，因而是非常古(gu)老(lao)的(de)(de)。《往世書(shu)》中(zhong)的(de)(de)宇宙模(mo)(mo)式可以概(gai)述如下:

大(da)(da)地象平底(di)的(de)圓盤，在(zai)大(da)(da)地中央聳立著(zhu)巍峨的(de)高山，名為(wei)(wei)迷(mi)(mi)盧(Meru，也(ye)即漢譯(yi)佛經(jing)中的(de)“須彌(mi)山”，或作Sumeru，譯(yi)成“蘇(su)迷(mi)(mi)盧”)。迷(mi)(mi)盧山外(wai)圍繞著(zhu)環形陸地，此(ci)陸地又為(wei)(wei)環形大(da)(da)海所(suo)圍繞，……如此(ci)遞相(xiang)環繞向外(wai)延展，共(gong)有七(qi)圈大(da)(da)陸和七(qi)圈海洋。

印度在迷盧山的(de)南方。

與(yu)大地平行(xing)的天(tian)上有著一(yi)系(xi)列天(tian)輪，這(zhe)(zhe)些天(tian)輪的共同軸心就是迷(mi)盧山；迷(mi)盧山的頂(ding)端就是北極星(xing)(Dhruva)所在之處，諸天(tian)輪攜帶著各種天(tian)體繞之旋轉(zhuan)；這(zhe)(zhe)些天(tian)體包括日、月、恒星(xing)、……以及(ji)五大行(xing)星(xing)----依次為水(shui)星(xing)、金星(xing)、火星(xing)、木星(xing)和土(tu)星(xing)。

利用迷盧山(shan)可以解釋(shi)黑夜與白晝的交替。攜(xie)帶太陽(yang)的天(tian)輪上有180條軌(gui)道(dao)，太陽(yang)每天(tian)遷移一軌(gui)，半年(nian)后反向(xiang)重復(fu)，以此來描(miao)述日(ri)出方位(wei)角的周年(nian)變(bian)化。……

又唐代釋道宣《釋迦方志》卷上(shang)(shang)也記述了(le)古代印(yin)度(du)的宇宙模型(xing)，細節上(shang)(shang)恰(qia)可與上(shang)(shang)述記載相(xiang)互補充∶

……蘇(su)迷盧山，即經(jing)所謂須彌(mi)山也，在大(da)海(hai)中，據金(jin)輪表，半(ban)出海(hai)上(shang)八萬由旬，日月回薄于其腰(yao)也。外有金(jin)山七(qi)重(zhong)圍之，中各海(hai)水，具八功(gong)德。

根據這些(xie)記載，古代印度(du)宇宙模型與(yu)《周(zhou)髀算經》蓋天宇宙模型卻(que)是有(you)驚人的相似之處(chu)，在細節上(shang)幾乎處(chu)處(chu)吻合∶

一(yi)、兩(liang)者的天、地都是圓形的平行平面；

二、“璇璣”和“迷盧山”同樣扮演了(le)大地中央的“天柱”角色；

三、周地和印度都被置于(yu)各自宇宙中大地的南半(ban)部分；

四、“璇(xuan)璣”和“迷盧(lu)上”的正上方(fang)都是各種(zhong)天(tian)體旋轉的樞軸----北(bei)極；

五、日月(yue)星辰(chen)在天上環(huan)繞北(bei)極作平面圓周(zhou)運動。

六、如果(guo)說印度迷盧山(shan)外的(de)“七山(shan)七海”在數字(zi)上使人聯(lian)想到《周髀算經》的(de)“七衡(heng)(heng)六間(jian)”的(de)話，那(nei)么印度宇宙中太陽天(tian)輪的(de)180條軌道(dao)無論從性質還(huan)是功能(neng)來說都(dou)與七衡(heng)(heng)六間(jian)完全(quan)一致(太陽在七衡(heng)(heng)之間(jian)的(de)往返也是每天(tian)連續移動的(de))。

七、特別值得指出，《周(zhou)髀算(suan)經》中天(tian)與(yu)地的距離是(shi)八(ba)萬里，而迷盧山也(ye)是(shi)高(gao)出海(hai)上“八(ba)萬由旬”，其(qi)上即諸天(tian)輪所在，是(shi)其(qi)天(tian)地距離恰(qia)好同為八(ba)萬單位(wei)，難(nan)道純屬偶然?

在人類(lei)文明發展(zhan)史上，文化的多元(yuan)自發生(sheng)成(cheng)是(shi)完全可能(neng)的，因(yin)此許(xu)多不同文明中相似之(zhi)處，也可能(neng)是(shi)偶(ou)(ou)然巧合(he)。但是(shi)《周(zhou)髀算經》的蓋(gai)天(tian)宇宙(zhou)模(mo)型與古(gu)代(dai)印度(du)宇宙(zhou)模(mo)型之(zhi)間的相似程度(du)實在太高----從整個格(ge)局到許(xu)多細節都一(yi)一(yi)吻(wen)合(he)，如果仍用“偶(ou)(ou)然巧合(he)”去解釋(shi)，無論如何總顯(xian)得過于勉強。

當(dang)然(ran)，如果(guo)我們(men)就此立刻進入關于“誰(shui)源于誰(shui)”的考(kao)據之中，那(nei)又(you)將遠遠超出本文的范(fan)圍。

2寒暑五(wu)帶(dai)的知識來自何處?

《周髀(bi)算(suan)經》中(zhong)有相當于現代人(ren)熟知(zhi)的(de)關于地(di)球上寒暑(shu)五帶的(de)知(zhi)識(shi)。這是(shi)(shi)一個非常令人(ren)驚異(yi)的(de)現象----因為這類知(zhi)識(shi)是(shi)(shi)以往(wang)兩千(qian)年間(jian)，中(zhong)國傳統天文學說(shuo)中(zhong)所(suo)沒(mei)有、而且不(bu)相信的(de)。

這些(xie)知識(shi)在《周髀算經(jing)》中(zhong)主要見于卷下第(di)9節∶

極下(xia)不生萬物(wu)，何以知之(zhi)?……北極左(zuo)右，夏(xia)有不釋之(zhi)冰。

中(zhong)(zhong)衡去周七萬(wan)(wan)五千五百里。中(zhong)(zhong)衡左右，冬有(you)不死之草，夏長(chang)之類。此(ci)陽(yang)彰陰微，故(gu)萬(wan)(wan)物不死，五谷一歲再熟。

凡(fan)北極之左右，物有朝生暮(mu)獲，冬生之類。

這里需要(yao)先作一些說明(ming)∶

上(shang)引第(di)二(er)則中(zhong)，所(suo)謂“中(zhong)衡左右”即趙爽注文中(zhong)所(suo)認為的“內(nei)衡之(zhi)(zhi)外(wai)，外(wai)衡之(zhi)(zhi)內(nei)”；這一區(qu)域(yu)正好(hao)對應于地(di)球(qiu)寒(han)暑五帶中(zhong)的熱帶(南(nan)緯23°30′至北緯23°30′之(zhi)(zhi)間(jian))----盡管《周(zhou)髀算經》中(zhong)并無地(di)球(qiu)的觀念。

上引第三則(ze)(ze)中，說(shuo)(shuo)北極(ji)(ji)(ji)左右“物有(you)朝(chao)生(sheng)暮(mu)獲”，這就必須聯系到(dao)《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》蓋天宇宙模型對于(yu)極(ji)(ji)(ji)晝(zhou)、極(ji)(ji)(ji)夜現(xian)象的演繹和(he)描述(shu)能力。據前所(suo)(suo)(suo)述(shu)，圓形大(da)地中央的“璇(xuan)璣(ji)”之底面直徑為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)23,000里，則(ze)(ze)半徑為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)11,500里，而《周(zhou)髀(bi)算(suan)經》所(suo)(suo)(suo)設定(ding)的太陽光芒(mang)向其四(si)周(zhou)照射(she)的極(ji)(ji)(ji)限距離是167,000里；于(yu)是，由本文圖1清楚可見(jian)，每(mei)年從春分(fen)(fen)至(zhi)秋(qiu)分(fen)(fen)期(qi)間(jian)(jian)，在(zai)“璇(xuan)璣(ji)”范圍內將出現(xian)極(ji)(ji)(ji)晝(zhou)----晝(zhou)夜始終在(zai)陽光之下(xia)(xia)；而從秋(qiu)分(fen)(fen)到(dao)春分(fen)(fen)期(qi)間(jian)(jian)則(ze)(ze)出現(xian)極(ji)(ji)(ji)夜----陽光在(zai)此(ci)期(qi)間(jian)(jian)的任何時刻都照射(she)不到(dao)“璇(xuan)璣(ji)”范圍之內。這也就是趙爽注文中所(suo)(suo)(suo)說(shuo)(shuo)的“北極(ji)(ji)(ji)之下(xia)(xia)，從春分(fen)(fen)至(zhi)秋(qiu)分(fen)(fen)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)晝(zhou)，從秋(qiu)分(fen)(fen)至(zhi)春分(fen)(fen)為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)夜”，因為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)是以半年為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)晝(zhou)、半年為(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)夜。

《周髀算(suan)經(jing)》中上述(shu)關于寒暑五帶的(de)知識，其準確性是沒有疑問的(de)。然而這些知識卻并不是以(yi)往(wang)兩千年間中國傳統天文學中的(de)組成(cheng)部分。對于這一現象，可以(yi)從幾方面(mian)來加以(yi)討論。

首先(xian)，為(wei)《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》作注的(de)(de)趙(zhao)爽(shuang)，竟然(ran)(ran)就表示不相信(xin)書中(zhong)的(de)(de)這(zhe)些(xie)知(zhi)識(shi)(shi)(shi)。例如對于(yu)北(bei)極(ji)附近(jin)“夏(xia)有(you)不釋(shi)之冰”，趙(zhao)爽(shuang)注稱∶“冰凍不解，是(shi)以推(tui)之，夏(xia)至之日(ri)外衡之下為(wei)冬矣，萬物當死----此(ci)日(ri)遠(yuan)近(jin)為(wei)冬夏(xia),非陰陽之氣，爽(shuang)或疑焉。”又如對于(yu)“冬有(you)不死之草”、“陽彰陰微”、“五(wu)谷一(yi)歲(sui)再熟”的(de)(de)熱帶，趙(zhao)爽(shuang)表示“此(ci)欲(yu)以內(nei)衡之外、外衡之內(nei)，常為(wei)夏(xia)也(ye)。然(ran)(ran)其修廣，爽(shuang)未之前(qian)聞”----他(ta)從(cong)(cong)未聽說(shuo)過。我們從(cong)(cong)趙(zhao)爽(shuang)為(wei)《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》全書所(suo)作的(de)(de)注釋(shi)來判斷，他(ta)毫無疑問是(shi)那個時(shi)代夠格的(de)(de)天文學家之一(yi)，為(wei)什么竟從(cong)(cong)未聽說(shuo)過這(zhe)些(xie)寒暑五(wu)帶知(zhi)識(shi)(shi)(shi)?比較合理(li)的(de)(de)解釋(shi)似乎(hu)只能是(shi)∶這(zhe)些(xie)知(zhi)識(shi)(shi)(shi)不是(shi)中(zhong)國傳(chuan)統天文學體系(xi)中(zhong)的(de)(de)組成部分，所(suo)以對于(yu)當時(shi)大部分中(zhong)國天文學家來說(shuo)，這(zhe)些(xie)知(zhi)識(shi)(shi)(shi)是(shi)新奇的(de)(de)、與舊有(you)知(zhi)識(shi)(shi)(shi)背景格格不入的(de)(de)，因而也(ye)是(shi)難以置信(xin)的(de)(de)。

其(qi)次，在(zai)(zai)古代中(zhong)國(guo)居傳統地(di)位的(de)(de)(de)天(tian)文(wen)(wen)學(xue)說----渾天(tian)說中(zhong)，由于沒有正確(que)的(de)(de)(de)地(di)球概念(nian)，是(shi)不可能提(ti)出寒暑五(wu)帶(dai)(dai)之(zhi)(zhi)(zhi)類的(de)(de)(de)問題(ti)來的(de)(de)(de)。因此直到明朝末年(nian)，來華的(de)(de)(de)耶穌會傳教士在(zai)(zai)他們的(de)(de)(de)中(zhong)文(wen)(wen)著(zhu)作中(zhong)向中(zhong)國(guo)讀(du)者(zhe)介紹寒暑五(wu)帶(dai)(dai)知(zhi)識(shi)時，仍(reng)被(bei)中(zhong)國(guo)人目為(wei)未之(zhi)(zhi)(zhi)前聞的(de)(de)(de)新奇學(xue)說。正式這些耶穌會傳教士的(de)(de)(de)中(zhong)文(wen)(wen)著(zhu)作才使中(zhong)國(guo)學(xue)者(zhe)接受了(le)地(di)球寒暑五(wu)帶(dai)(dai)之(zhi)(zhi)(zhi)說。而當清(qing)朝初(chu)年(nian)“西學(xue)中(zhong)源”說甚囂塵上時，梅(mei)文(wen)(wen)鼎等人為(wei)寒暑五(wu)帶(dai)(dai)之(zhi)(zhi)(zhi)說尋找(zhao)中(zhong)國(guo)源頭，找(zhao)到的(de)(de)(de)正是(shi)《周(zhou)髀算(suan)經》----他們認為(wei)是(shi)《周(zhou)髀算(suan)經》等中(zhong)國(guo)學(xue)說在(zai)(zai)上古時期傳入西方，才教會了(le)希臘人、羅馬人和阿拉伯人掌握天(tian)文(wen)(wen)學(xue)知(zhi)識(shi)的(de)(de)(de)。

我(wo)們面臨一系(xi)列尖銳的(de)問(wen)題(ti)∶既然在渾天學說(shuo)(shuo)中(zhong)因沒有(you)地球概念而不可能(neng)提出(chu)寒暑五(wu)帶(dai)的(de)問(wen)題(ti)，那么《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》中(zhong)同樣沒有(you)地球概念，何(he)以(yi)卻能(neng)記載這些(xie)知(zhi)識(shi)?如果說(shuo)(shuo)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》的(de)作者身處北(bei)溫帶(dai)之(zhi)中(zhong)，只(zhi)是(shi)(shi)根據越(yue)向(xiang)北(bei)越(yue)冷、越(yue)往南越(yue)熱，就能(neng)推衍出(chu)北(bei)極(ji)“夏(xia)有(you)不釋之(zhi)冰”、熱帶(dai)“五(wu)谷一歲再熟(shu)”之(zhi)類的(de)現象，那渾天家何(he)以(yi)偏就不能(neng)?再說(shuo)(shuo)趙爽為(wei)《周(zhou)(zhou)髀(bi)算(suan)經》作注，他(ta)總該是(shi)(shi)接受(shou)蓋(gai)天學說(shuo)(shuo)之(zhi)人，何(he)以(yi)連他(ta)都對(dui)這些(xie)知(zhi)識(shi)不能(neng)相信?這樣看(kan)來(lai)，有(you)必要(yao)考慮這些(xie)知(zhi)識(shi)來(lai)自異域的(de)可能(neng)性。

勾股定理

首先，《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》中(zhong)明確(que)記載了勾股定理(li)的公(gong)式：“若(ruo)求邪(xie)至日者，以日下為(wei)勾，日高(gao)為(wei)股，勾股各(ge)自乘，并(bing)而開方除(chu)之，得邪(xie)至日。”（《周(zhou)髀(bi)(bi)算(suan)經(jing)》上卷二）

而(er)勾股定理的證明呢(ni)，就(jiu)在(zai)《周髀算(suan)經(jing)》上卷一——

昔(xi)者(zhe)周公問(wen)于商高曰：“竊聞乎大(da)夫善數(shu)(shu)也，請問(wen)昔(xi)者(zhe)包犧立周天歷度——夫天可不(bu)階而(er)升，地(di)不(bu)可得尺寸(cun)而(er)度，請問(wen)數(shu)(shu)安(an)從出？”

商高曰：“數之(zhi)(zhi)法出(chu)于圓方(fang)(fang)(fang)，圓出(chu)于方(fang)(fang)(fang)，方(fang)(fang)(fang)出(chu)于矩，矩出(chu)于九(jiu)九(jiu)八十一。故(gu)折矩，以為勾廣三，股修(xiu)四(si)，徑隅五。既(ji)方(fang)(fang)(fang)之(zhi)(zhi)，外半其一矩，環而(er)共(gong)盤，得成(cheng)三四(si)五。兩矩共(gong)長二十有五，是謂(wei)積矩。故(gu)禹之(zhi)(zhi)所以治(zhi)天下者(zhe)，此數之(zhi)(zhi)所生也(ye)。”

周(zhou)(zhou)公(gong)對(dui)古代伏(fu)羲(xi)（庖犧）構(gou)造周(zhou)(zhou)天歷度的事跡感到(dao)不可思議（天不可階而(er)升(sheng)，地不可得尺寸而(er)度），就請教商高(gao)數(shu)學(xue)(xue)知識(shi)從何(he)而(er)來(lai)。于(yu)是商高(gao)以勾股定理的證明為例，解釋(shi)數(shu)學(xue)(xue)知識(shi)的由來(lai)。“數(shu)之法出(chu)于(yu)圓(yuan)方(fang)(fang)，圓(yuan)出(chu)于(yu)方(fang)(fang)，方(fang)(fang)出(chu)于(yu)矩(ju)(ju)，矩(ju)(ju)出(chu)于(yu)九(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)八十一。”解釋(shi)發(fa)展(zhan)脈絡——數(shu)之法出(chu)于(yu)圓(yuan)（圓(yuan)周(zhou)(zhou)率(lv)三）方(fang)(fang)（四方(fang)(fang)），圓(yuan)出(chu)于(yu)方(fang)(fang)（圓(yuan)形面積(ji)=外接正(zheng)方(fang)(fang)形面積(ji)*圓(yuan)周(zhou)(zhou)率(lv)/4），方(fang)(fang)出(chu)于(yu)矩(ju)(ju)（正(zheng)方(fang)(fang)形源自兩邊相等(deng)的矩(ju)(ju)），矩(ju)(ju)出(chu)于(yu)九(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)八十一（長乘(cheng)寬(kuan)面積(ji)計(ji)算依自九(jiu)(jiu)九(jiu)(jiu)乘(cheng)法表）。

“故折矩(ju)①，以為勾廣三，股修四(si)(si)，徑隅五。”開始做圖——選擇一個(ge)勾三（圓周率三）、股四(si)(si)（四(si)(si)方）的(de)(de)矩(ju)，矩(ju)的(de)(de)兩條邊終點的(de)(de)連線應為5（徑隅五）。

“②既方(fang)之，外(wai)(wai)半其一矩(ju)(ju)(ju)，環而共盤，得成(cheng)三(san)(san)四五(wu)。”這就是關鍵的證(zheng)明過程(cheng)——以矩(ju)(ju)(ju)的兩條邊(bian)畫正(zheng)方(fang)形(xing)（勾方(fang)、股(gu)方(fang)），根據矩(ju)(ju)(ju)的弦(xian)外(wai)(wai)面(mian)再畫一個矩(ju)(ju)(ju)（曲尺，實際(ji)上用作直角三(san)(san)角形(xing)），將“外(wai)(wai)半其一矩(ju)(ju)(ju)”得到的三(san)(san)角形(xing)剪下環繞復制形(xing)成(cheng)一個大(da)正(zheng)方(fang)形(xing)，可看到其中有邊(bian)長(chang)(chang)三(san)(san)勾方(fang)、邊(bian)長(chang)(chang)四股(gu)方(fang)、邊(bian)長(chang)(chang)五(wu)弦(xian)方(fang)三(san)(san)個正(zheng)方(fang)形(xing)。

“兩(liang)矩(ju)共長(chang)③二十有(you)五，是謂積(ji)(ji)矩(ju)。”此(ci)為(wei)驗算——勾方(fang)(fang)(fang)、股(gu)方(fang)(fang)(fang)的(de)面積(ji)(ji)之(zhi)和，與弦(xian)方(fang)(fang)(fang)的(de)面積(ji)(ji)二十五相等——從圖形(xing)(xing)上來看，大(da)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)減(jian)(jian)去(qu)四個三角形(xing)(xing)面積(ji)(ji)后為(wei)弦(xian)方(fang)(fang)(fang)，再是大(da)正(zheng)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)減(jian)(jian)去(qu)右上、左(zuo)下(xia)兩(liang)個長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面積(ji)(ji)后為(wei)勾方(fang)(fang)(fang)股(gu)方(fang)(fang)(fang)之(zhi)和。因三角形(xing)(xing)為(wei)長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面積(ji)(ji)的(de)一半，可推出四個三角形(xing)(xing)面積(ji)(ji)等于右上、左(zuo)下(xia)兩(liang)個長(chang)方(fang)(fang)(fang)形(xing)(xing)面積(ji)(ji)，所(suo)以勾方(fang)(fang)(fang)+股(gu)方(fang)(fang)(fang)=弦(xian)方(fang)(fang)(fang)。

注(zhu)意(yi)：①矩(ju)，又(you)稱(cheng)曲(qu)尺(chi)，L型(xing)的木(mu)匠(jiang)工(gong)具，由(you)長(chang)短兩根(gen)木(mu)條組成的直(zhi)角。古代“矩(ju)”指L型(xing)曲(qu)尺(chi)，“矩(ju)形”才是“矩(ju)”衍生的長(chang)方形。

②“既方(fang)(fang)之(zhi)，外(wai)半(ban)(ban)其一(yi)矩(ju)(ju)”此(ci)句有爭議。清(qing)代四庫全(quan)書(shu)版(ban)定(ding)為“既方(fang)(fang)其外(wai)半(ban)(ban)之(zhi)一(yi)矩(ju)(ju)”，而之(zhi)前版(ban)本(ben)多(duo)為“既方(fang)(fang)之(zhi)外(wai)半(ban)(ban)其一(yi)矩(ju)(ju)”。經陳良佐、李國偉、李繼閔(min)、曲安京等學者(zhe)研究，“既方(fang)(fang)之(zhi)，外(wai)半(ban)(ban)其一(yi)矩(ju)(ju)”更符合邏輯(ji)。

③長指的(de)是(shi)面(mian)積。古代對不同維度(du)的(de)量綱比較，并(bing)沒有發明(ming)新的(de)術語，而(er)統稱(cheng)“長”。趙爽注稱(cheng)：“兩矩者，句(ju)股各(ge)自乘之(zhi)實。共(gong)長者，并(bing)實之(zhi)數。

由(you)于年代久(jiu)遠，周公弦(xian)(xian)圖失傳，傳世版本(ben)只印了趙爽(shuang)弦(xian)(xian)圖（造紙術在漢代才(cai)發(fa)明）。所以(yi)某(mou)些學者誤以(yi)為(wei)商(shang)高沒有(you)證明（只是說了一段莫名其(qi)(qi)妙的話），后來趙爽(shuang)才(cai)給出證明。其(qi)(qi)實不然，摘(zhai)錄趙爽(shuang)注釋《周髀(bi)算經》時(shi)所做的《勾股(gu)(gu)圓方(fang)圖》——“句(ju)(ju)股(gu)(gu)各自乘(cheng)，并之(zhi)為(wei)弦(xian)(xian)實，開方(fang)除之(zhi)即弦(xian)(xian)。案：弦(xian)(xian)圖又可以(yi)句(ju)(ju)股(gu)(gu)相(xiang)(xiang)乘(cheng)為(wei)朱實二，倍(bei)之(zhi)為(wei)朱實四(si)，以(yi)句(ju)(ju)股(gu)(gu)之(zhi)差自相(xiang)(xiang)乘(cheng)為(wei)中黃實，加差實亦成弦(xian)(xian)實。