公元前5世紀，芝(zhi)諾(nuo)(nuo)發表(biao)了著名的阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯悖論：他(ta)(ta)提出讓烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)在阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯前面1000米(mi)(mi)處開(kai)始，和阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯賽跑(pao)，并(bing)且假定(ding)阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯的速度是烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)的10倍。當(dang)比賽開(kai)始后，若阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯跑(pao)了1000米(mi)(mi)，設(she)所(suo)用(yong)的時(shi)間為(wei)t，此時(shi)烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)便(bian)領先他(ta)(ta)100米(mi)(mi)；當(dang)阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯跑(pao)完(wan)下一個100米(mi)(mi)時(shi)，他(ta)(ta)所(suo)用(yong)的時(shi)間為(wei)t/10，烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)仍然前于(yu)他(ta)(ta)10米(mi)(mi)；當(dang)阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯跑(pao)完(wan)下一個10米(mi)(mi)時(shi)，他(ta)(ta)所(suo)用(yong)的時(shi)間為(wei)t/100，烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)仍然前于(yu)他(ta)(ta)1米(mi)(mi)……芝(zhi)諾(nuo)(nuo)認為(wei)，阿基(ji)(ji)里(li)(li)斯能夠(gou)繼續逼近烏(wu)(wu)(wu)龜(gui)，但決不可(ke)能追上它。
關(guan)于阿基里(li)(li)斯(si)(si)悖(bei)論(lun)的(de)一(yi)(yi)個解釋是(shi)：阿基里(li)(li)斯(si)(si)的(de)確永遠也追不上烏龜(gui)。雖然現實中我們(men)知道阿基里(li)(li)斯(si)(si)超越(yue)烏龜(gui)非常簡單，但是(shi)它是(shi)如何(he)超過(guo)烏龜(gui)的(de)在(zai)過(guo)去卻一(yi)(yi)直存在(zai)爭論(lun)。
現代物理學已(yi)經證明了(le)時間和(he)空間不是可以無限分割的，所以總有最為微小的一(yi)個(ge)(ge)時間里，阿(a)(a)基(ji)(ji)里斯(si)和(he)烏龜(gui)共同(tong)前(qian)進了(le)一(yi)個(ge)(ge)空間單位，從(cong)此阿(a)(a)基(ji)(ji)里斯(si)順(shun)利超過烏龜(gui)。
芝(zhi)(zhi)諾悖(bei)論的(de)產生原因，是在于“芝(zhi)(zhi)諾時(shi)(shi)(shi)”不(bu)可能度(du)量(liang)阿基(ji)里斯追上烏龜后的(de)現象。在芝(zhi)(zhi)諾時(shi)(shi)(shi)達到無限后，正常(chang)計時(shi)(shi)(shi)仍可以進行，只不(bu)過芝(zhi)(zhi)諾的(de)“鐘(zhong)”已(yi)經(jing)無法(fa)度(du)量(liang)它們了(le)。這個悖(bei)論實際上是反映時(shi)(shi)(shi)空并不(bu)是無限可分的(de)，運(yun)動也不(bu)是連續的(de)。
通俗一(yi)(yi)點講，我們都(dou)知道一(yi)(yi)條(tiao)線(xian)是由無數個點組(zu)成(cheng)的，但這個“無數個點”并不(bu)能說我們無法(fa)畫出一(yi)(yi)條(tiao)線(xian)。也就是說就是芝諾(nuo)偷換了(le)概念，（1+0.1+0.01+……）t其(qi)實是一(yi)(yi)個有限的時(shi)間，但他認為這個時(shi)間是無限大的，只要時(shi)間超過（1+0.1+0.01+……）t阿(a)基里(li)斯就追上了(le)烏龜。
阿(a)基里斯悖論(lun)分離了(le)運動與靜止，夸(kua)大了(le)相對(dui)靜止，而否(fou)認(ren)了(le)絕對(dui)運動，是形(xing)而上學(xue)說。
黑(hei)格爾在《小邏輯》中說：“辯(bian)證(zheng)法切不可(ke)與單純的(de)(de)詭辯(bian)相混淆(xiao)。詭辯(bian)的(de)(de)本(ben)質在于孤立起來看事物，把本(ben)身片面的(de)(de)、抽象的(de)(de)規定，認為(wei)是(shi)(shi)可(ke)靠(kao)的(de)(de)。”辯(bian)證(zheng)唯物主義認為(wei)，運動與靜(jing)止是(shi)(shi)對立統(tong)一的(de)(de)辯(bian)證(zheng)關系。
一方面，運動(dong)與靜止(zhi)的(de)(de)(de)(de)對(dui)立表(biao)現在：運動(dong)是(shi)絕(jue)對(dui)的(de)(de)(de)(de)，靜止(zhi)是(shi)相對(dui)的(de)(de)(de)(de)，二者相互區別，不可混淆。所謂運動(dong)是(shi)絕(jue)對(dui)的(de)(de)(de)(de)是(shi)說，運動(dong)是(shi)物質的(de)(de)(de)(de)根(gen)本屬(shu)性，任何事物在任何條(tiao)件(jian)(jian)下都是(shi)永(yong)恒運動(dong)的(de)(de)(de)(de)，是(shi)無條(tiao)件(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)。所謂靜止(zhi)是(shi)相對(dui)的(de)(de)(de)(de)是(shi)說，靜止(zhi)是(shi)運動(dong)在特定條(tiao)件(jian)(jian)下的(de)(de)(de)(de)特殊(shu)狀態，是(shi)有條(tiao)件(jian)(jian)的(de)(de)(de)(de)。
另一(yi)(yi)方面，運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)統一(yi)(yi)表現在(zai)：運(yun)動(dong)(dong)(dong)和靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)是相互(hu)依存、相互(hu)貫通的(de)(de)，即所謂(wei)動(dong)(dong)(dong)中(zhong)有靜(jing)(jing)(jing)、靜(jing)(jing)(jing)中(zhong)有動(dong)(dong)(dong)。在(zai)運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)關系(xi)上有兩種形(xing)而(er)(er)(er)上學(xue)(xue)的(de)(de)錯誤(wu)：一(yi)(yi)種是割裂(lie)(lie)運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)關系(xi)，否認(ren)運(yun)動(dong)(dong)(dong)，只講靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)，將靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)絕(jue)對化(hua)的(de)(de)形(xing)而(er)(er)(er)上學(xue)(xue)不(bu)動(dong)(dong)(dong)論(lun)；一(yi)(yi)種是割裂(lie)(lie)運(yun)動(dong)(dong)(dong)與靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)關系(xi)，只講運(yun)動(dong)(dong)(dong)，否認(ren)靜(jing)(jing)(jing)止(zhi)的(de)(de)形(xing)而(er)(er)(er)上學(xue)(xue)相對主義(yi)和詭辯論(lun)。
關于(yu)阿基里斯追龜的問題，我們可(ke)以很(hen)簡(jian)單地證(zheng)明阿基里斯追上了烏龜。
我(wo)們設(she)烏龜(gui)先(xian)前所(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)屬于集(ji)(ji)(ji)合B，烏龜(gui)現在所(suo)(suo)在的(de)(de)點(dian)標志為(wei)b，烏龜(gui)所(suo)(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)是(shi)(shi)(shi)(shi)集(ji)(ji)(ji)合A，A由集(ji)(ji)(ji)合B中(zhong)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)加(jia)上b點(dian)構成(cheng)。只要是(shi)(shi)(shi)(shi)烏龜(gui)先(xian)前所(suo)(suo)在的(de)(de)點(dian)，都是(shi)(shi)(shi)(shi)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)斯可以走(zou)到(dao)的(de)(de)，因而(er)(er)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)斯可以走(zou)到(dao)集(ji)(ji)(ji)合B中(zhong)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)。那(nei)么，我(wo)們能(neng)不(bu)能(neng)在集(ji)(ji)(ji)合A中(zhong)找到(dao)一個點(dian)，它既(ji)不(bu)屬于B，也不(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)b，回答(da)是(shi)(shi)(shi)(shi)不(bu)能(neng)的(de)(de)。因而(er)(er)如果(guo)阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)斯走(zou)過了(le)集(ji)(ji)(ji)合B中(zhong)所(suo)(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)，阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)斯與b點(dian)的(de)(de)距離就(jiu)已經是(shi)(shi)(shi)(shi)0（如果(guo)不(bu)是(shi)(shi)(shi)(shi)0，則應該(gai)在阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)斯與b點(dian)之間(jian)還會(hui)存在著一個點(dian)，但這個點(dian)并(bing)不(bu)存在），也就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)說(shuo)，阿(a)(a)基(ji)(ji)(ji)里(li)斯已經追上了(le)烏龜(gui)。
而按照我們(men)悖(bei)論所(suo)設定的(de)(de)條件(jian)，阿基(ji)里(li)(li)斯(si)是(shi)可以(yi)走(zou)到烏(wu)(wu)龜先(xian)前所(suo)走(zou)過的(de)(de)所(suo)有(you)(you)的(de)(de)點(dian)的(de)(de)。因而阿基(ji)里(li)(li)斯(si)追到了烏(wu)(wu)龜。但在上(shang)面(mian)的(de)(de)分析中(zhong)，我們(men)發現了一個(ge)(ge)有(you)(you)趣的(de)(de)矛(mao)盾，這(zhe)就是(shi)b既屬于(yu)B又不屬于(yu)B，也就是(shi)說(shuo)，b既是(shi)現在又是(shi)先(xian)前。而且(qie)這(zhe)是(shi)阿基(ji)里(li)(li)斯(si)得以(yi)追上(shang)烏(wu)(wu)龜的(de)(de)前提和條件(jian)。這(zhe)樣(yang)的(de)(de)一個(ge)(ge)有(you)(you)趣的(de)(de)結論，是(shi)決不可能(neng)為具有(you)(you)形而上(shang)學頭腦的(de)(de)那些數學家們(men)所(suo)接(jie)受的(de)(de)。
此悖論假(jia)設阿基(ji)里(li)斯(si)永(yong)遠只能到(dao)達龜前一個時(shi)(shi)間(jian)段(duan)到(dao)達的(de)地方，即追(zhui)上的(de)前一個時(shi)(shi)間(jian)段(duan)，此時(shi)(shi)條(tiao)件未發生(sheng)變化，并先承(cheng)認此時(shi)(shi)間(jian)段(duan)兩者間(jian)仍有(you)差(cha)異，然后用不同(tong)(tong)的(de)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)進行(xing)重復換(huan)算(suan)，假(jia)設條(tiao)件仍未變化。而在(zai)此時(shi)(shi)間(jian)段(duan)的(de)下(xia)一個口徑(jing)相(xiang)同(tong)(tong)的(de)時(shi)(shi)間(jian)段(duan)里(li)，阿基(ji)米斯(si)就會追(zhui)上。
相反觀(guan)點：這證(zheng)明(ming)是(shi)錯誤的。因為證(zheng)明(ming)假設了(le)(le)阿(a)基(ji)里(li)斯可以走一個(ge)點，在事實上回避了(le)(le)悖論中無(wu)法找第1點問題(ti)實質。故(gu)此證(zheng)明(ming)和悖論無(wu)關，只是(shi)把小學(xue)應(ying)用(yong)題(ti)用(yong)集合論復(fu)述了(le)(le)一遍(bian)。
其(qi)實，我們根據中(zhong)學(xue)所學(xue)過的(de)無窮(qiong)等比遞縮(suo)數列求(qiu)和的(de)知識，只需(xu)列一個方(fang)程就可以輕而易舉地推翻芝諾的(de)悖論(lun)：阿基里(li)斯在跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000(1+1/9)=10000/9米時便可趕上烏龜。
人(ren)們認為數列1+0.1+0.01+…………是永(yong)遠也不能(neng)窮盡的。這只不過是一個錯覺。
我們不妨來計算一下阿基里斯能夠追上烏龜的時間為t（1+0.1+0.01+…………）=t (1+1/9)=10t/9
芝諾所說的阿基里(li)斯不可能追(zhui)上烏龜，就隱(yin)藏著時間必(bi)須小(xiao)于10t/9這樣一個條件。
由于阿基(ji)里斯(si)和烏龜(gui)是在不斷地運動的(de)，對時間是沒有限制的(de)，時間很(hen)容易突(tu)破10t/9這樣一個(ge)條件。一旦突(tu)破10t/9這樣一個(ge)條件，阿基(ji)里斯(si)就追上了或超過了烏龜(gui)。
人們被距離數列(lie)1+0.1+0.01+…………好像是永遠也不能窮盡的(de)假象迷惑了(le)，沒有考(kao)慮(lv)到(dao)時(shi)間數列(lie)1+0.1+0.01+…………是很容(rong)易達(da)到(dao)和超過的(de)了(le)。
但是(shi)不(bu)是(shi)所有的數列都能(neng)達到，所以，我們看問(wen)題不(bu)能(neng)太極端。例如無論多少個點(dian)也不(bu)能(neng)組成(cheng)直線(xian)，對于(yu)點(dian)的個數來說(shuo)，我們就永遠無法(fa)窮盡它。
其實，以上(shang)的(de)(de)(de)(de)證(zheng)明是(shi)無法推(tui)翻(fan)這(zhe)個悖論(lun)的(de)(de)(de)(de)。因為這(zhe)個證(zheng)明用到(dao)了極(ji)限這(zhe)個概(gai)念(nian)(nian)。然而(er)(er)，極(ji)限這(zhe)個概(gai)念(nian)(nian)，正是(shi)為了解(jie)決(jue)阿基(ji)里斯(si)悖論(lun)而(er)(er)定(ding)義出來的(de)(de)(de)(de)一(yi)個概(gai)念(nian)(nian)。用這(zhe)個概(gai)念(nian)(nian)再反證(zheng)這(zhe)個悖論(lun)很(hen)明顯是(shi)不合理的(de)(de)(de)(de)。
無限的細分(fen)并不(bu)代表(biao)不(bu)會從時(shi)(shi)間1流入時(shi)(shi)間2，否則你的時(shi)(shi)鐘將永遠停留(liu)在(zai)59分(fen)59.9999............秒(miao)。
阿基里斯(si)能夠繼續逼(bi)近烏龜，在某一(yi)時(shi)間點(dian)之前無(wu)法追上(shang)。但永遠追不(bu)上(shang)這一(yi)結果并(bing)不(bu)成立，因(yin)為這一(yi)悖論只引導去(qu)考慮追上(shang)之前的(de)距離(li)，而不(bu)是追上(shang)的(de)這一(yi)距離(li)。
悖論隱(yin)含的(de)假設就是(shi)阿(a)基里(li)斯沒(mei)有追上(shang)龜，為什么呢？阿(a)基里(li)斯的(de)每一段，都是(shi)烏龜跑(pao)完了，才讓阿(a)基里(li)斯才跑(pao)的(de)。只是(shi)想當然的(de)用了一開始(shi)的(de)距(ju)離差，而這個距(ju)離差為逐(zhu)段變小。
而這(zhe)個趨近過(guo)程(cheng)又想用時間衡(heng)量，恰好時間和距離(li)，都可以無(wu)限(xian)(xian)劃(hua)分。靜止(zhi)也存在(zai)這(zhe)樣(yang)的(de)接近過(guo)程(cheng)，舉個例子(zi)：假設烏(wu)龜(gui)是靜止(zhi)的(de)，讓阿(a)基(ji)里斯(si)以這(zhe)樣(yang)的(de)方(fang)式跑。900米，90米，9米，0.9米……，這(zhe)樣(yang)他也追不上烏(wu)龜(gui)啊(a)，也同樣(yang)變不成零，因為你的(de)假設就(jiu)(jiu)是距離(li)的(de)無(wu)限(xian)(xian)小(xiao)(xiao)，這(zhe)只(zhi)是在(zai)尋找最短的(de)距離(li)。這(zhe)個就(jiu)(jiu)關(guan)系到極限(xian)(xian)了(le)。就(jiu)(jiu)像在(zai)找最小(xiao)(xiao)的(de)物質粒(li)子(zi)一樣(yang)。
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