羅(luo)素(su)(su)悖論(lun)是(shi)(shi)由羅(luo)素(su)(su)發現(xian)的一個集合論(lun)悖論(lun)，其基本思(si)想是(shi)(shi)：對于任意一個集合A，A要(yao)么是(shi)(shi)自身(shen)的元素(su)(su)，即A∈A；A要(yao)么不是(shi)(shi)自身(shen)的元素(su)(su)，即A?A。根據(ju)康托(tuo)爾集合論(lun)的概括原(yuan)則(ze)，可將所有不是(shi)(shi)自身(shen)元素(su)(su)的集合構成一個集合S1，即S1={x:x?x}。
20世紀之(zhi)初，數(shu)學(xue)(xue)(xue)界(jie)甚至整個科學(xue)(xue)(xue)界(jie)籠罩在(zai)(zai)(zai)(zai)一片喜(xi)悅祥和的(de)(de)氣氛之(zhi)中(zhong)，科學(xue)(xue)(xue)家們普遍認為，數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)系(xi)統性和嚴(yan)(yan)密性已(yi)經(jing)達到，科學(xue)(xue)(xue)大(da)(da)廈已(yi)經(jing)基(ji)本建成(cheng)。例如，德國(guo)物理學(xue)(xue)(xue)家基(ji)爾霍(huo)夫（G．R．Kirchhoff）就(jiu)曾經(jing)說(shuo)過：“物理學(xue)(xue)(xue)將(jiang)無(wu)所(suo)作為了(le)，至多(duo)也只(zhi)能在(zai)(zai)(zai)(zai)已(yi)知規律的(de)(de)公式的(de)(de)小數(shu)點后(hou)面加上(shang)幾個數(shu)字(zi)罷了(le)。”英國(guo)物理學(xue)(xue)(xue)家開(kai)(kai)爾文（L．Kelvin）在(zai)(zai)(zai)(zai)1900年(nian)回(hui)顧物理學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)發展時(shi)也說(shuo)：“在(zai)(zai)(zai)(zai)已(yi)經(jing)基(ji)本建成(cheng)的(de)(de)科學(xue)(xue)(xue)大(da)(da)廈中(zhong)，后(hou)輩(bei)物理學(xue)(xue)(xue)家只(zhi)能做一些零碎的(de)(de)修補工作了(le)。”法國(guo)大(da)(da)數(shu)學(xue)(xue)(xue)家彭迦萊（Poincar6）在(zai)(zai)(zai)(zai)1900年(nian)的(de)(de)國(guo)際數(shu)學(xue)(xue)(xue)家大(da)(da)會上(shang)也公開(kai)(kai)宣稱，數(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)(de)嚴(yan)(yan)格性，現在(zai)(zai)(zai)(zai)看(kan)來可以(yi)說(shuo)是實現了(le)。然而好景不(bu)長，時(shi)隔不(bu)到兩(liang)年(nian)，科學(xue)(xue)(xue)界(jie)就(jiu)發生了(le)一件大(da)(da)事(shi)，這件大(da)(da)事(shi)就(jiu)是羅(luo)素（Russell）悖論的(de)(de)發現。
在某個(ge)城(cheng)(cheng)市中有(you)一位(wei)理(li)發師(shi)，他(ta)(ta)的(de)廣告詞是(shi)這樣寫(xie)的(de)：“本(ben)人的(de)理(li)發技藝十分高超，譽滿(man)全城(cheng)(cheng)。我將(jiang)為(wei)本(ben)城(cheng)(cheng)所有(you)不(bu)(bu)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人刮(gua)臉(lian)(lian)，我也只給(gei)這些(xie)人刮(gua)臉(lian)(lian)。我對(dui)各(ge)位(wei)表示(shi)熱誠歡迎(ying)！”來找(zhao)他(ta)(ta)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人絡繹不(bu)(bu)絕，自(zi)(zi)(zi)然都是(shi)那些(xie)不(bu)(bu)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人。可(ke)是(shi)，有(you)一天(tian)，這位(wei)理(li)發師(shi)從鏡子里看(kan)見自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)的(de)胡子長了，他(ta)(ta)本(ben)能地抓(zhua)起了剃(ti)刀，你們看(kan)他(ta)(ta)能不(bu)(bu)能給(gei)他(ta)(ta)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢？如果他(ta)(ta)不(bu)(bu)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，他(ta)(ta)就(jiu)屬(shu)于“不(bu)(bu)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人”，他(ta)(ta)就(jiu)要(yao)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)，而(er)如果他(ta)(ta)給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)呢？他(ta)(ta)又屬(shu)于“給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)的(de)人”，他(ta)(ta)就(jiu)不(bu)(bu)該給(gei)自(zi)(zi)(zi)己(ji)(ji)(ji)(ji)(ji)刮(gua)臉(lian)(lian)。
理發師(shi)(shi)悖(bei)(bei)論與羅(luo)素(su)悖(bei)(bei)論是等價的：如(ru)果把每個(ge)人看成(cheng)一個(ge)集(ji)(ji)合(he)，這個(ge)集(ji)(ji)合(he)的元(yuan)素(su)被定義成(cheng)這個(ge)人刮臉的對象。那(nei)么，理發師(shi)(shi)宣稱，他的元(yuan)素(su)，都是城里(li)不屬(shu)于(yu)自身(shen)(shen)的那(nei)些集(ji)(ji)合(he)，并且城里(li)所(suo)有不屬(shu)于(yu)自身(shen)(shen)的集(ji)(ji)合(he)都屬(shu)于(yu)他。那(nei)么他是否屬(shu)于(yu)他自己？這樣就由理發師(shi)(shi)悖(bei)(bei)論得到了羅(luo)素(su)悖(bei)(bei)論。反過來的變換也是成(cheng)立的。
“理發師悖(bei)論(lun)”是很容(rong)易(yi)解(jie)決(jue)的(de)，解(jie)決(jue)的(de)辦法(fa)之(zhi)一就是修正理發師的(de)規矩，將他自(zi)己(ji)排除在(zai)規矩之(zhi)外(wai)；可是嚴格的(de)羅素悖(bei)論(lun)就不是這么容(rong)易(yi)解(jie)決(jue)的(de)了。
一(yi)個圖書(shu)(shu)館編纂(zuan)了(le)一(yi)本書(shu)(shu)名(ming)(ming)詞典，它(ta)列(lie)(lie)(lie)出這個圖書(shu)(shu)館里所(suo)有不列(lie)(lie)(lie)出自己書(shu)(shu)名(ming)(ming)的書(shu)(shu)。那(nei)么它(ta)列(lie)(lie)(lie)不列(lie)(lie)(lie)出自己的書(shu)(shu)名(ming)(ming)？這個悖論(lun)與理發師悖論(lun)基(ji)本一(yi)致。
十九世紀下半葉，德國數(shu)(shu)學(xue)(xue)家康托爾(er)創立(li)了(le)著名的集(ji)合(he)論(lun)，在(zai)集(ji)合(he)論(lun)剛產生(sheng)時(shi)，曾遭(zao)到許多(duo)人的猛烈攻擊。但不久這(zhe)一(yi)開(kai)創性(xing)成果就為(wei)廣大數(shu)(shu)學(xue)(xue)家所(suo)接受了(le)，并且(qie)獲得廣泛而高度的贊譽。數(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)發現(xian)，從自然數(shu)(shu)與康托爾(er)集(ji)合(he)論(lun)出發可建(jian)立(li)起(qi)整個(ge)數(shu)(shu)學(xue)(xue)大廈(sha)。因而集(ji)合(he)論(lun)成為(wei)現(xian)代數(shu)(shu)學(xue)(xue)的基石。“一(yi)切(qie)數(shu)(shu)學(xue)(xue)成果可建(jian)立(li)在(zai)集(ji)合(he)論(lun)基礎上(shang)”這(zhe)一(yi)發現(xian)使(shi)數(shu)(shu)學(xue)(xue)家們(men)為(wei)之(zhi)陶醉。
1903年，一(yi)個(ge)震驚數學(xue)界(jie)(jie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)消息傳出(chu)：集合(he)(he)論是(shi)有漏洞的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。這(zhe)就是(shi)英國數學(xue)家羅(luo)素提出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)羅(luo)素悖(bei)論。羅(luo)素的(de)(de)(de)(de)(de)(de)這(zhe)條(tiao)(tiao)悖(bei)論使集合(he)(he)論產生了(le)危(wei)機。它(ta)非常淺顯易懂，而且所(suo)涉及的(de)(de)(de)(de)(de)(de)只是(shi)集合(he)(he)論中最基(ji)本的(de)(de)(de)(de)(de)(de)東西。所(suo)以，羅(luo)素悖(bei)論一(yi)提出(chu)就在(zai)當(dang)時(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)界(jie)(jie)與(yu)邏輯(ji)學(xue)界(jie)(jie)內(nei)引起(qi)了(le)極大震動。德(de)國的(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)名邏輯(ji)學(xue)家弗雷格在(zai)他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關于(yu)集合(he)(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎理論完(wan)稿(gao)付印時(shi)，收到了(le)羅(luo)素關于(yu)這(zhe)一(yi)悖(bei)論的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信。他立刻發(fa)現，自己(ji)忙了(le)很久得(de)(de)出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)系列結果卻被(bei)這(zhe)條(tiao)(tiao)悖(bei)論攪得(de)(de)一(yi)團(tuan)糟。他只能在(zai)自己(ji)著(zhu)作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)末尾寫道：“一(yi)個(ge)科學(xue)家所(suo)碰到的(de)(de)(de)(de)(de)(de)最倒霉的(de)(de)(de)(de)(de)(de)事，莫過于(yu)是(shi)在(zai)他的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作即將(jiang)完(wan)成時(shi)卻發(fa)現所(suo)干的(de)(de)(de)(de)(de)(de)工作的(de)(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)礎崩潰了(le)。”
公(gong)理化集(ji)合論(lun)(lun)的(de)建立，成功(gong)排(pai)除(chu)了集(ji)合論(lun)(lun)中(zhong)出現(xian)的(de)悖(bei)論(lun)(lun)，從而比較(jiao)圓(yuan)滿(man)地(di)解決了第三次數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)危機。但在(zai)另一(yi)方(fang)(fang)面，羅素悖(bei)論(lun)(lun)對數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)而言有(you)著(zhu)更為深刻的(de)影響。它使得數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)問題第一(yi)次以最迫切的(de)需要的(de)姿(zi)態擺到數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家面前，導(dao)致了數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)家對數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)的(de)研(yan)究(jiu)。而這(zhe)方(fang)(fang)面的(de)進一(yi)步發展(zhan)又極其(qi)深刻地(di)影響了整個數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)。如圍繞著(zhu)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)基礎(chu)之爭(zheng)，形成了現(xian)代數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)史上著(zhu)名的(de)三大(da)數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)流派(pai)，而各派(pai)的(de)工作又都促進了數(shu)(shu)學(xue)(xue)(xue)的(de)大(da)發展(zhan)。
于是，數(shu)學(xue)的基礎被動搖了，這就是所(suo)謂的第三次數(shu)學(xue)危機。
羅素的悖(bei)(bei)論發(fa)(fa)表(biao)之后，接著又(you)發(fa)(fa)現一系(xi)列悖(bei)(bei)論（后來歸入所(suo)謂語義悖(bei)(bei)論）：
1.理查(cha)德悖(bei)論
2.培里悖(bei)論
3.格瑞林和納(na)爾遜悖論
羅素構造了一個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)S：S由(you)一切不屬(shu)(shu)(shu)于自(zi)身的集(ji)(ji)合(he)所組(zu)成。然后羅素問(wen)：s是(shi)否屬(shu)(shu)(shu)于S呢？根(gen)據(ju)排中律，一個(ge)(ge)元素或者(zhe)屬(shu)(shu)(shu)于某個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)，或者(zhe)不屬(shu)(shu)(shu)于某個(ge)(ge)集(ji)(ji)合(he)。因此(ci)，對于一個(ge)(ge)給定集(ji)(ji)合(he)，問(wen)是(shi)否屬(shu)(shu)(shu)于它(ta)自(zi)己是(shi)有意義的。但對這個(ge)(ge)看(kan)似合(he)理的問(wen)題的回答卻會陷入兩(liang)難境地(di)。如果(guo)(guo)s屬(shu)(shu)(shu)于S，根(gen)據(ju)S的定義，s就不屬(shu)(shu)(shu)于S；反之，如果(guo)(guo)s不屬(shu)(shu)(shu)于S，同樣根(gen)據(ju)定義，s就屬(shu)(shu)(shu)于S。無論如何(he)都(dou)是(shi)矛(mao)盾的。
羅(luo)素悖(bei)論(lun)提出(chu)后(hou)，數學(xue)家們紛(fen)紛(fen)提出(chu)自己的解決(jue)方案(an)。人們希望能(neng)夠(gou)通(tong)(tong)過對康(kang)(kang)托(tuo)爾(er)的集合(he)論(lun)進行改造(zao)，通(tong)(tong)過對集合(he)定義加(jia)以(yi)限制來(lai)(lai)排除(chu)悖(bei)論(lun)，這就需要(yao)建立新(xin)的原(yuan)則。“這些原(yuan)則必(bi)須足夠(gou)狹窄(zhai)，以(yi)保(bao)證排除(chu)一(yi)(yi)(yi)切矛盾；另一(yi)(yi)(yi)方面(mian)又必(bi)須充分廣闊，使康(kang)(kang)托(tuo)爾(er)集合(he)論(lun)中(zhong)一(yi)(yi)(yi)切有(you)價值(zhi)的內容得以(yi)保(bao)存下來(lai)(lai)。”解決(jue)這一(yi)(yi)(yi)悖(bei)論(lun)主要(yao)有(you)兩種選擇，ZF公(gong)理系統和NBG公(gong)理系統。
1908年，策梅(mei)羅（Ernst Zermelo）在(zai)自己這一(yi)(yi)(yi)(yi)原則基礎上(shang)提(ti)出第(di)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)公(gong)(gong)理化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論(lun)體系(xi)，后來這一(yi)(yi)(yi)(yi)公(gong)(gong)理化(hua)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)很大程度上(shang)彌(mi)補(bu)了康托爾樸素(su)(su)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)論(lun)的(de)(de)缺陷。這一(yi)(yi)(yi)(yi)公(gong)(gong)理系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)在(zai)通過弗(fu)蘭克爾（Abraham Fraenkel）的(de)(de)改(gai)進后被(bei)稱為ZF公(gong)(gong)理系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)。在(zai)該公(gong)(gong)理系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)中，由(you)于分類公(gong)(gong)理（Axiom schema of specification）：P(x)是(shi)(shi)x的(de)(de)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)性質，對任意已知(zhi)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)A，存(cun)在(zai)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)B使得對所有元素(su)(su)x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因(yin)此{x∣x是(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)}并(bing)不能(neng)在(zai)該系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)中寫成(cheng)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)，由(you)于它并(bing)不是(shi)(shi)任何已知(zhi)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)的(de)(de)子集(ji)(ji)；并(bing)且通過該公(gong)(gong)理，存(cun)在(zai)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)A={x∣x是(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)集(ji)(ji)合(he)(he)(he)}在(zai)ZF系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)中能(neng)被(bei)證明(ming)是(shi)(shi)矛盾(dun)的(de)(de)，因(yin)此羅素(su)(su)悖論(lun)在(zai)該系(xi)統(tong)(tong)(tong)(tong)(tong)中被(bei)避免(mian)了。
除ZF系統外，集(ji)合論(lun)的(de)(de)公理(li)系統還有(you)多種(zhong)，如馮·諾伊(yi)曼（von Neumann）等人提出的(de)(de)NBG系統等。在(zai)該公理(li)系統中，所(suo)(suo)有(you)包含集(ji)合的(de)(de)"collection"都(dou)能(neng)被稱為類(lei)(lei)(class)，凡是(shi)集(ji)合也(ye)能(neng)被稱為類(lei)(lei)，但是(shi)某(mou)些(xie)collection太大了（比如一個(ge)(ge)collection包含所(suo)(suo)有(you)集(ji)合）以至(zhi)于不能(neng)是(shi)一個(ge)(ge)集(ji)合，因此只能(neng)是(shi)個(ge)(ge)類(lei)(lei)。這同樣也(ye)避免了羅素悖論(lun)。
精靈世界
】編輯上(shang)傳(chuan)提供，當前頁面(mian)所展示的(de)詞條介紹涉及宣傳(chuan)內容屬于(yu)注冊用戶個人編輯行為(wei)，網站不完全保證內容信息的(de)準確性(xing)、真實性(xing)，也不代表本(ben)站立場。
