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基本介紹

《周髀算經(jing)》原名(ming)《周髀》，算經(jing)的十(shi)書之一(yi)，是中國(guo)最古老(lao)的天文學和數學著(zhu)作，約(yue)成書于公元前1世紀，主(zhu)要闡明(ming)當時的蓋(gai)天說和四分歷法。唐初規定它為國(guo)子監明(ming)算科的教(jiao)材之一(yi)，故改名(ming)《周髀算經(jing)》。

《周(zhou)髀(bi)算經》在數學上的(de)(de)主要成就是(shi)介(jie)紹了勾股定(ding)理（據說原書(shu)沒有對勾股定(ding)理進行證明(ming)，其證明(ming)是(shi)三國時東吳(wu)人趙爽在《周(zhou)髀(bi)注(zhu)》一書(shu)的(de)(de)《勾股圓方圖注(zhu)》中(zhong)給出的(de)(de)）及(ji)其在測量上的(de)(de)應用以及(ji)怎(zen)樣(yang)引用到天文計算。）

《周髀算(suan)(suan)經(jing)》的(de)(de)采用最簡便可行(xing)的(de)(de)方法(fa)確定天文歷法(fa)，揭(jie)示日月星(xing)辰(chen)的(de)(de)運(yun)行(xing)規律，囊括四季(ji)更(geng)替，氣候變(bian)化，包涵(han)南北有(you)極，晝夜(ye)相(xiang)推的(de)(de)道理。給后來者(zhe)生活作息提供有(you)力(li)的(de)(de)保障(zhang)，自(zi)此以后歷代(dai)數學家無不(bu)以《周髀算(suan)(suan)經(jing)》為參考，在此基礎(chu)上不(bu)斷創(chuang)新和(he)發展。

其他信息

年代

假設(she)我們把(ba)(ba)《周髀(bi)算經(jing)》的(de)(de)本文(wen)限定為(wei)商(shang)高與周公的(de)(de)問答，似乎其成書年代(dai)也就(jiu)不難(nan)斷定了。可是(shi)，乾嘉以(yi)(yi)后，考據之學興(xing)起，疑(yi)古之風(feng)日盛，到(dao)了現代(dai)，幾乎所有的(de)(de)中(zhong)外學者都不得不接受這樣的(de)(de)推斷：不僅(jin)商(shang)高是(shi)后人(ren)假托(tuo)的(de)(de)，甚至(zhi)陳子也是(shi)后人(ren)虛構出來(lai)的(de)(de)。于是(shi)，僅(jin)僅(jin)把(ba)(ba)商(shang)高問答看(kan)作(zuo)《周髀(bi)算經(jing)》本文(wen)就(jiu)不再有任(ren)何(he)意(yi)義了。因此，許多學者都將陳子問答以(yi)(yi)后的(de)(de)文(wen)字作(zuo)為(wei)《周髀(bi)算經(jing)》全文(wen)的(de)(de)一個部分(fen)，不再加以(yi)(yi)區分(fen)。此一來(lai)，人(ren)們開始(shi)根據《周髀(bi)算經(jing)》中(zhong)的(de)(de)內(nei)容(rong)推斷它的(de)(de)成書年代(dai)。

通常的(de)(de)(de)(de)方(fang)法可以分(fen)成兩類：天文(wen)學(xue)史專家，喜歡利用現(xian)代(dai)天文(wen)學(xue)手(shou)段，根據《周(zhou)髀(bi)算經》中記錄(lu)的(de)(de)(de)(de)一(yi)些特(te)殊的(de)(de)(de)(de)天文(wen)現(xian)象或(huo)數(shu)據，推算其(qi)應(ying)該出(chu)現(xian)的(de)(de)(de)(de)年(nian)代(dai)，并(bing)以此來確(que)定其(qi)成書時代(dai)。例如(ru)，日(ri)本學(xue)者能田(tian)忠亮便以《周(zhou)髀(bi)算經》中的(de)(de)(de)(de)北(bei)極星(xing)（北(bei)極璇(xuan)璣）到北(bei)天極的(de)(de)(de)(de)距離．歸算出(chu)其(qi)成書年(nian)代(dai)大(da)約(yue)在(zai)公元前(qian)5到7世(shi)紀之間。

另(ling)一種(zhong)方(fang)法則是根據《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》涉(she)及的一些內容，與相對而言年(nian)代比較明確的其他歷史(shi)典籍的比較，推斷其成(cheng)書年(nian)代。錢寶琮（1892年(nian)－1974年(nian)）在《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)考(kao)》中(zhong)對《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》的年(nian)代做出如下的考(kao)證(zheng)：第(di)一，《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》主(zhu)要(yao)分為兩個部分，前為商(shang)高問答，后為陳(chen)(chen)子(zi)模型；第(di)二，由于懷疑(yi)商(shang)高是后人的偽托(tuo)，因(yin)此，認為陳(chen)(chen)子(zi)以下的文字才是《周(zhou)(zhou)(zhou)髀算(suan)經(jing)》的主(zhu)體，通(tong)過與《淮南子(zi)·天文訓》的比較，從六(liu)個方(fang)面(mian)論(lun)述了(le)陳(chen)(chen)子(zi)以下的文字成(cheng)書在

公元前100年(nian)左(zuo)右；第(di)三，“周(zhou)髀”的(de)意思(si)以(yi)陳子(zi)之說為準，同時也(ye)提(ti)到(dao)其他(ta)一些解釋(shi)；第(di)四，比較24氣(qi)名目及(ji)次序(xu)與《三統歷》之異同，提(ti)到(dao)趙爽注稱原節氣(qi)長度15日與《淮南子(zi)》的(de)粗略(lve)記法類似(si)；第(di)五，分數算(suan)法的(de)繁復與《九(jiu)章算(suan)術(shu)》類似(si)。他(ta)的(de)結論是，《周(zhou)髀算(suan)經》成書在(zai)公元前100年(nian)左(zuo)右。在(zai)疑(yi)古思(si)潮(chao)的(de)影響下(xia)，還有一種傾向(xiang)也(ye)值得(de)人們的(de)注意，那就是以(yi)《周(zhou)髀算(suan)經》全書中所有內容(rong)的(de)下(xia)限來(lai)判(pan)定它的(de)成書年(nian)代(dai)，古克禮（C．Cullen）大約(yue)可以(yi)算(suan)是這個(ge)方面的(de)一個(ge)代(dai)表。

古克禮認(ren)為以前的(de)(de)學(xue)者大(da)多錯誤地企圖去發現《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》作為一(yi)個整(zheng)體完成的(de)(de)年(nian)代，因此，它(ta)們(men)的(de)(de)結論是在一(yi)種(zhong)假象的(de)(de)幻(huan)覺(jue)中獲(huo)得的(de)(de)。他(ta)認(ren)為，這部(bu)(bu)書是一(yi)些志同(tong)道合的(de)(de)研究者分(fen)別(bie)撰述的(de)(de)論文集。他(ta)的(de)(de)做(zuo)法是，首(shou)先，調查《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》的(de)(de)內在結構(gou)，并將其(qi)劃(hua)分(fen)為不同(tong)的(de)(de)章(zhang)節(jie)，討論節(jie)與(yu)節(jie)之(zhi)間(jian)的(de)(de)關系(xi)；其(qi)次，討論與(yu)各節(jie)內容有關的(de)(de)外部(bu)(bu)世界(jie)的(de)(de)資料(liao)與(yu)活動；第三，探討可能產生與(yu)各節(jie)內容相(xiang)關的(de)(de)歷史環境。他(ta)將《周(zhou)髀算經(jing)(jing)》的(de)(de)整(zheng)體編排打亂，把它(ta)們(men)劃(hua)分(fen)為外篇與(yu)內篇兩個部(bu)(bu)分(fen)。其(qi)中內篇以陳子模(mo)型為主展開，取其(qi)下(xia)限在公元1世紀。

在(zai)(zai)有關外部環境(jing)的(de)(de)(de)(de)討(tao)論中(zhong)(zhong)，指出作(zuo)為(wei)(wei)皇家的(de)(de)(de)(de)藏書(shu)(shu)目錄，班固(gu)（32－92年(nian)）編寫的(de)(de)(de)(de)《漢書(shu)(shu)·藝文志(zhi)》中(zhong)(zhong)有《許(xu)商算術》與(yu)(yu)《杜忠算術》而無《周髀(bi)算經》；蓋(gai)天說在(zai)(zai)公(gong)元l世紀已(yi)經為(wei)(wei)人所熟知(zhi)，蔡邕(yong)在(zai)(zai)公(gong)元180年(nian)已(yi)經明確將(jiang)其(qi)列為(wei)(wei)中(zhong)(zhong)圈古代的(de)(de)(de)(de)三(san)家宇宙(zhou)論之(zhi)一。結(jie)(jie)論是(shi)，由于(yu)受到了渾天說的(de)(de)(de)(de)影響，《周髀(bi)算經》的(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)時(shi)間不可能(neng)早于(yu)公(gong)元前(qian)l世紀，但也(ye)不會晚于(yu)公(gong)元200年(nian)。筆者以為(wei)(wei)，判(pan)別(bie)中(zhong)(zhong)國古代科學(xue)典籍(ji)的(de)(de)(de)(de)完成(cheng)(cheng)年(nian)代，應(ying)該以書(shu)(shu)中(zhong)(zhong)主要(yao)的(de)(de)(de)(de)科學(xue)思想或知(zhi)識水(shui)平所反映的(de)(de)(de)(de)年(nian)代為(wei)(wei)判(pan)別(bie)標準，而不應(ying)以書(shu)(shu)中(zhong)(zhong)夾雜的(de)(de)(de)(de)若干后代摻入的(de)(de)(de)(de)只言片語作(zuo)為(wei)(wei)推斷的(de)(de)(de)(de)條(tiao)件(jian)。由于(yu)早期的(de)(de)(de)(de)科學(xue)典籍(ji)通常(chang)都是(shi)人類(lei)知(zhi)識逐漸積累的(de)(de)(de)(de)結(jie)(jie)晶，因此，搞清楚其(qi)中(zhong)(zhong)科學(xue)思想的(de)(de)(de)(de)萌生時(shi)期與(yu)(yu)流傳脈(mo)絡，也(ye)許(xu)比單純(chun)判(pan)定(ding)它的(de)(de)(de)(de)成(cheng)(cheng)書(shu)(shu)年(nian)代更(geng)有意(yi)義。

科學史已經(jing)(jing)(jing)反復地證(zheng)明，今天(tian)看來是(shi)非(fei)常顯(xian)然的(de)科學真理，在(zai)人類認(ren)識它(ta)的(de)初期往往經(jing)(jing)(jing)歷了(le)(le)長期的(de)懷疑(yi)，甚至抵制。例如，歲(sui)差現象在(zai)南(nan)北朝時期的(de)存廢之爭，就(jiu)是(shi)一(yi)(yi)個典型的(de)事例。因此(ci)，試(shi)圖通過以《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》中(zhong)的(de)內容的(de)完整或正(zheng)確性(xing)介(jie)于某(mou)兩個古代(dai)文獻之間，就(jiu)認(ren)定其成書年代(dai)也必定介(jie)于兩者之間的(de)方法(fa)，是(shi)靠不住(zhu)的(de)。而(er)利用一(yi)(yi)些重要數據(ju)的(de)理論推算來判定其成書年代(dai)的(de)方法(fa)，許多時候也是(shi)不太可行的(de)。有(you)(you)關《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》成書年代(dai)的(de)討論，馮禮貴曾經(jing)(jing)(jing)收集了(le)(le)14種不同的(de)觀點。盡管在(zai)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》成書年代(dai)的(de)判斷上(shang)有(you)(you)很大的(de)區別(bie)，但幾乎所(suo)有(you)(you)的(de)研究者都有(you)(you)一(yi)(yi)個共識，那就(jiu)是(shi)《周(zhou)髀(bi)算經(jing)(jing)(jing)》并不是(shi)成書于一(yi)(yi)人一(yi)(yi)時，它(ta)經(jing)(jing)(jing)過了(le)(le)許多朝代(dai)的(de)流傳進(jin)化(hua)才(cai)得以完成我們所(suo)看到的(de)篇幅與(yu)結構(gou)。

章鴻釗(zhao)曾經(jing)明(ming)確地(di)(di)將《周髀(bi)(bi)算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)劃分(fen)(fen)為(wei)三(san)(san)個(ge)時(shi)(shi)期(qi)：第一(yi)(yi)期(qi)，商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)問(wen)(wen)(wen)(wen)答(da)(da)；第二(er)(er)期(qi)，陳子(zi)問(wen)(wen)(wen)(wen)答(da)(da)；第三(san)(san)期(qi)，陳子(zi)以后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)文(wen)字。這樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)劃分(fen)(fen)，是(shi)(shi)(shi)許多人(ren)都默認的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)個(ge)事(shi)實(shi)(shi)。正如陳方正在(zai)(zai)(zai)(zai)總結(jie)前人(ren)對《周髀(bi)(bi)算經(jing)》成(cheng)(cheng)書過程的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)討論(lun)(lun)時(shi)(shi)所(suo)說(shuo)(shuo)：《周髀(bi)(bi)》不但不是(shi)(shi)(shi)個(ge)人(ren)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，甚(shen)至(zhi)也(ye)未必是(shi)(shi)(shi)單一(yi)(yi)性(xing)質的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)著(zhu)作，而可能是(shi)(shi)(shi)由多個(ge)在(zai)(zai)(zai)(zai)不同(tong)歷(li)史時(shi)(shi)期(qi)出現，相(xiang)(xiang)關、相(xiang)(xiang)類但并不相(xiang)(xiang)同(tong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)學(xue)說(shuo)(shuo)、理論(lun)(lun)，逐漸(jian)累積而成(cheng)(cheng)。因此，將《周髀(bi)(bi)算經(jing)》單純視(shi)為(wei)表(biao)(biao)述(shu)蓋天說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)自(zi)洽體系(xi)，而忽視(shi)它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)層積性(xing)質，是(shi)(shi)(shi)不甚(shen)恰當(dang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。筆者也(ye)贊(zan)同(tong)將《周髀(bi)(bi)算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形成(cheng)(cheng)劃分(fen)(fen)為(wei)三(san)(san)個(ge)時(shi)(shi)期(qi)。具(ju)體而言(yan)，上卷之(zhi)一(yi)(yi)，商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)與周公的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)(wen)答(da)(da)，應該是(shi)(shi)(shi)《周髀(bi)(bi)算經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)原始(shi)文(wen)字，它反映了(le)早期(qi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)以商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)為(wei)代表(biao)(biao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)中國古代數學(xue)家(jia)對數學(xue)以及(ji)數學(xue)之(zhi)為(wei)用的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)認識。商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)答(da)(da)周公問(wen)(wen)(wen)(wen)企圖說(shuo)(shuo)明(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)(wen)題是(shi)(shi)(shi)解(jie)決幾何測量學(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)方法(fa)，這一(yi)(yi)點他做到了(le)。這個(ge)方法(fa)包含勾股(gu)定理與用矩(ju)之(zhi)道(dao)。按(an)照商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)說(shuo)(shuo)法(fa)，這些(xie)數學(xue)內容(rong)在(zai)(zai)(zai)(zai)大(da)(da)禹(yu)治(zhi)水的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)候已(yi)經(jing)具(ju)備，應該是(shi)(shi)(shi)可信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。第二(er)(er)個(ge)時(shi)(shi)期(qi)，陳子(zi)模型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出，其內容(rong)為(wei)上卷之(zhi)二(er)(er)陳子(zi)與容(rong)方的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)(wen)答(da)(da)，這個(ge)部分(fen)(fen)大(da)(da)約在(zai)(zai)(zai)(zai)戰國時(shi)(shi)期(qi)已(yi)經(jing)形成(cheng)(cheng)。這個(ge)時(shi)(shi)期(qi)，陳子(zi)將商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩(ju)之(zhi)道(dao)進一(yi)(yi)步發展成(cheng)(cheng)為(wei)測望(wang)日(ri)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)重(zhong)差術。也(ye)是(shi)(shi)(shi)可以相(xiang)(xiang)信的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)。陳子(zi)問(wen)(wen)(wen)(wen)答(da)(da)中試圖解(jie)決的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)問(wen)(wen)(wen)(wen)題是(shi)(shi)(shi)，利用影差原理與日(ri)高(gao)(gao)(gao)(gao)術，在(zai)(zai)(zai)(zai)商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)用矩(ju)之(zhi)道(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)基礎(chu)上，進一(yi)(yi)步完善更加宏大(da)(da)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)測天量地(di)(di)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)理論(lun)(lun)與實(shi)(shi)踐(jian)。陳子(zi)模型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)提出，事(shi)實(shi)(shi)上是(shi)(shi)(shi)在(zai)(zai)(zai)(zai)向著(zhu)這樣的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)目標邁出了(le)關鍵的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)(yi)步：把商(shang)(shang)高(gao)(gao)(gao)(gao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周髀(bi)(bi)》轉(zhuan)化(hua)為(wei)蓋天說(shuo)(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)《周髀(bi)(bi)》，把一(yi)(yi)部比較單純的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數學(xue)著(zhu)作轉(zhuan)化(hua)為(wei)一(yi)(yi)部純粹的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)數理天文(wen)學(xue)論(lun)(lun)著(zhu)。

從上卷(juan)之三開(kai)始(shi)，是(shi)對(dui)蓋(gai)(gai)天說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)擴張與完(wan)善。首先(xian)是(shi)在(zai)陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)基(ji)本假設下，建立七衡六(liu)間的(de)(de)(de)(de)(de)宇宙模(mo)型，并以術文(wen)(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)式(shi)給(gei)出(chu)每日太陽運行(xing)軌(gui)道的(de)(de)(de)(de)(de)計算(suan)方(fang)(fang)法，使七衡圖(tu)成為一(yi)個(ge)(ge)可以操作的(de)(de)(de)(de)(de)真正(zheng)的(de)(de)(de)(de)(de)活動(dong)式(shi)星盤。在(zai)此基(ji)礎上，進一(yi)步引(yin)入新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)天地(di)形(xing)狀的(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)式(shi)，給(gei)出(chu)了(le)(le)地(di)理五帶的(de)(de)(de)(de)(de)劃分、寒暑成因的(de)(de)(de)(de)(de)解釋(shi)、日出(chu)日落的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)(fang)位，并建立了(le)(le)蓋(gai)(gai)天說(shuo)的(de)(de)(de)(de)(de)天體測量學(xue)，引(yin)入了(le)(le)去極度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)概念，制作了(le)(le)比較完(wan)整的(de)(de)(de)(de)(de)《四分歷》等等。這些(xie)雖然大大地(di)豐富了(le)(le)陳(chen)子(zi)模(mo)型的(de)(de)(de)(de)(de)理論內(nei)涵(han)，但同時也(ye)制造了(le)(le)蓋(gai)(gai)天說(shuo)系統內(nei)部(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些(xie)無法完(wan)全自洽的(de)(de)(de)(de)(de)矛盾，成為后世(shi)學(xue)者不斷批評的(de)(de)(de)(de)(de)目標。這個(ge)(ge)部(bu)分的(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)成，意味著《周髀算(suan)經(jing)》作為一(yi)部(bu)論述蓋(gai)(gai)天說(shuo)理論的(de)(de)(de)(de)(de)專著的(de)(de)(de)(de)(de)完(wan)成。從《周髀算(suan)經(jing)》上卷(juan)之三開(kai)始(shi)，出(chu)現了(le)(le)大量的(de)(de)(de)(de)(de)“術曰”，這一(yi)點(dian)與商(shang)高問答(da)及陳(chen)子(zi)問答(da)的(de)(de)(de)(de)(de)行(xing)文(wen)(wen)風格(ge)形(xing)成明顯的(de)(de)(de)(de)(de)反差，從一(yi)個(ge)(ge)側面(mian)反映出(chu)其形(xing)成時期(qi)應該是(shi)比前兩個(ge)(ge)部(bu)分更(geng)加(jia)晚近的(de)(de)(de)(de)(de)事實。

綜(zong)上所(suo)述，《周髀(bi)算(suan)經(jing)》的(de)(de)(de)(de)(de)第(di)一(yi)部分(fen)商高(gao)問(wen)答，曾經(jing)作(zuo)為《周髀(bi)算(suan)經(jing)》獨立(li)的(de)(de)(de)(de)(de)本(ben)文，其完成(cheng)時(shi)間應該(gai)是(shi)(shi)在(zai)西(xi)周初期，約(yue)公(gong)元(yuan)前(qian)11世紀(ji)。陳(chen)(chen)子問(wen)答中的(de)(de)(de)(de)(de)數學理(li)(li)論與(yu)(yu)宇宙(zhou)模型(xing)完成(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)間，大約(yue)在(zai)公(gong)元(yuan)前(qian)4、5世紀(ji)。作(zuo)為一(yi)部闡釋蓋(gai)天(tian)說理(li)(li)論的(de)(de)(de)(de)(de)數理(li)(li)天(tian)文學著作(zuo)，《周髀(bi)算(suan)經(jing)》從上卷(juan)之三開始，是(shi)(shi)對陳(chen)(chen)子模型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)完善和擴充(chong)，其中的(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)些基本(ben)數據與(yu)(yu)結構(gou)，如七衡圖與(yu)(yu)去(qu)極度(du)等，應該(gai)是(shi)(shi)在(zai)陳(chen)(chen)子模型(xing)提出(chu)后就(jiu)已經(jing)確定(ding)了(le)的(de)(de)(de)(de)(de)，但是(shi)(shi)，陳(chen)(chen)子假設的(de)(de)(de)(de)(de)平行平面的(de)(de)(de)(de)(de)天(tian)地(di)模型(xing)，則得到了(le)一(yi)定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)修正，并且(qie)加入(ru)了(le)一(yi)些新的(de)(de)(de)(de)(de)東西(xi)，如寒暑成(cheng)因與(yu)(yu)歷法(fa)等內(nei)容(rong)，總(zong)而言之，《周髀(bi)算(suan)經(jing)》第(di)三部分(fen)的(de)(de)(de)(de)(de)成(cheng)型(xing)，按照錢(qian)寶琮與(yu)(yu)劉朝陽(yang)的(de)(de)(de)(de)(de)考(kao)證，應該(gai)不會晚(wan)于公(gong)元(yuan)前(qian)100年。

質疑

根據(ju)《周髀算經(jing)》原文中的明確交(jiao)待(dai)，以及在文獻中對幾個關鍵問題的詳細論證，我們已(yi)經(jing)知(zhi)道《周髀算經(jing)》中的蓋(gai)天宇宙有如下特征∶

一(yi)、大地與天為相距80,000里的平行(xing)圓(yuan)形平面(mian)。

二、大(da)地(di)中央有(you)高(gao)大(da)柱形物(wu)（高(gao)60,000里(li)(li)的(de)“璇璣(ji)”，其(qi)底面直徑為23,000里(li)(li)）。

三、該宇宙模型的(de)構造(zao)者(zhe)在圓形大地上為自己(ji)的(de)居息之處確定了位(wei)置，并且這位(wei)置不在中央而是偏(pian)南。

四、大地中(zhong)央的柱(zhu)形延伸至天處為北極(ji)。

五、日月星(xing)辰在天上環繞北極(ji)作平面圓周(zhou)運動。

六、太陽在這種圓周運動(dong)中有著多重同心軌(gui)道，并且(qie)以半年為周期作(zuo)規(gui)律性的軌(gui)道遷移(一年往(wang)返一遍(bian))。

七(qi)、太(tai)陽(yang)的上述運(yun)行模式(shi)可以在相當(dang)程度上說(shuo)明晝夜(ye)成因和太(tai)陽(yang)周年(nian)視(shi)運(yun)動中(zhong)的一些天象。

令人極為驚訝(ya)的(de)(de)是(shi)，筆(bi)者(zhe)發現上述(shu)七(qi)項(xiang)特征(zheng)竟(jing)與古代印度(du)的(de)(de)宇宙(zhou)模型全都吻合！這樣的(de)(de)現象恐非偶然，值得(de)加以注意和研究。下面先報(bao)道(dao)筆(bi)者(zhe)初步比(bi)較的(de)(de)結(jie)果(guo)，更深入的(de)(de)研究或(huo)當俟諸異日。

關于古(gu)代(dai)印(yin)度(du)宇宙(zhou)(zhou)模型的(de)(de)記載，主要保存在一些《往(wang)世書(shu)》（Puranas）中(zhong)。《往(wang)世書(shu)》是印(yin)度(du)教(jiao)的(de)(de)圣(sheng)典，同時又是古(gu)代(dai)史(shi)籍，帶有(you)百科(ke)全書(shu)性(xing)質。它們的(de)(de)確(que)切成書(shu)年(nian)(nian)代(dai)難以(yi)(yi)判(pan)定，但其中(zhong)關于宇宙(zhou)(zhou)模式的(de)(de)一套概念，學(xue)者們相信可以(yi)(yi)追溯到(dao)吠陀(tuo)時代(dai)----約公(gong)元前1000年(nian)(nian)之前，因而(er)是非常古(gu)老的(de)(de)。《往(wang)世書(shu)》中(zhong)的(de)(de)宇宙(zhou)(zhou)模式可以(yi)(yi)概述如下:

大(da)(da)地(di)象平底的圓盤，在大(da)(da)地(di)中央聳(song)立著(zhu)巍峨的高山，名為迷(mi)盧(Meru，也即漢(han)譯佛(fo)經中的“須彌山”，或(huo)作Sumeru，譯成“蘇迷(mi)盧”)。迷(mi)盧山外(wai)圍(wei)繞著(zhu)環(huan)形(xing)(xing)陸(lu)(lu)地(di)，此(ci)陸(lu)(lu)地(di)又為環(huan)形(xing)(xing)大(da)(da)海所圍(wei)繞，……如(ru)此(ci)遞相(xiang)環(huan)繞向外(wai)延展，共(gong)有七(qi)圈大(da)(da)陸(lu)(lu)和七(qi)圈海洋(yang)。

印度(du)在(zai)迷盧山的南方。

與(yu)大地平行的(de)天(tian)上有著一(yi)系列天(tian)輪(lun)，這(zhe)些天(tian)輪(lun)的(de)共同軸心就是迷(mi)盧山；迷(mi)盧山的(de)頂端就是北極(ji)星(Dhruva)所在(zai)之處，諸天(tian)輪(lun)攜帶(dai)著各種天(tian)體(ti)繞之旋轉；這(zhe)些天(tian)體(ti)包括日、月、恒星、……以(yi)及五大行星----依次為水星、金(jin)星、火星、木星和土(tu)星。

利用迷盧山(shan)可(ke)以解釋(shi)黑夜與白晝的(de)(de)(de)交替。攜帶(dai)太(tai)(tai)陽的(de)(de)(de)天輪上有180條(tiao)軌道，太(tai)(tai)陽每天遷移一軌，半年后反向重復，以此來描述日出方位角(jiao)的(de)(de)(de)周(zhou)年變化。……

又唐(tang)代(dai)釋道(dao)宣《釋迦方志》卷上(shang)也記述了古代(dai)印(yin)度的宇(yu)宙模型(xing)，細節(jie)上(shang)恰可與上(shang)述記載相互補充∶

……蘇迷(mi)盧山(shan)，即經所謂須彌(mi)山(shan)也，在大(da)海中，據金輪(lun)表，半出海上(shang)八萬由旬，日月回薄于(yu)其腰(yao)也。外有金山(shan)七重(zhong)圍之，中各海水，具八功德。

根(gen)據這些記載，古代印度(du)宇(yu)宙(zhou)(zhou)模型與《周(zhou)髀算經》蓋天(tian)宇(yu)宙(zhou)(zhou)模型卻是有驚人的(de)相似之處(chu)，在細節上(shang)幾乎(hu)處(chu)處(chu)吻合∶

一、兩者的(de)天、地(di)都是(shi)圓形的(de)平(ping)行平(ping)面；

二(er)、“璇璣(ji)”和(he)“迷(mi)盧山”同樣扮演了大地(di)中央的“天柱(zhu)”角色；

三、周地(di)(di)和印度都被置于各自宇宙(zhou)中(zhong)大地(di)(di)的南半(ban)部分；

四、“璇(xuan)璣”和“迷盧上”的(de)正上方(fang)都是(shi)各(ge)種天體旋轉的(de)樞(shu)軸----北極；

五、日月星辰在(zai)天(tian)上環繞北極(ji)作平(ping)面圓周運動。

六、如果說(shuo)(shuo)印度迷盧山(shan)外的“七(qi)山(shan)七(qi)海”在數(shu)字(zi)上(shang)使人聯(lian)想到《周髀算經(jing)》的“七(qi)衡(heng)六間”的話(hua)，那么印度宇宙(zhou)中太(tai)陽天(tian)輪的180條軌道無論從性(xing)質還是(shi)功能來說(shuo)(shuo)都與七(qi)衡(heng)六間完(wan)全一致(太(tai)陽在七(qi)衡(heng)之(zhi)間的往返也(ye)是(shi)每天(tian)連續移動(dong)的)。

七、特別值得指出(chu)(chu)，《周髀(bi)算經》中天與(yu)地的(de)距(ju)(ju)離(li)是八萬(wan)(wan)里，而迷(mi)盧山(shan)也是高出(chu)(chu)海上(shang)“八萬(wan)(wan)由(you)旬(xun)”，其(qi)上(shang)即諸天輪所在，是其(qi)天地距(ju)(ju)離(li)恰好同為八萬(wan)(wan)單位，難(nan)道純(chun)屬偶然(ran)?

在(zai)人(ren)類文(wen)明(ming)發展史上，文(wen)化的多(duo)元自發生成是完全可能的，因此許多(duo)不(bu)同文(wen)明(ming)中相似之處，也可能是偶然(ran)巧合(he)。但是《周(zhou)髀(bi)算經》的蓋天宇(yu)宙模型(xing)與(yu)古(gu)代印度宇(yu)宙模型(xing)之間的相似程度實在(zai)太高----從整個格局到許多(duo)細節都一(yi)一(yi)吻合(he)，如果(guo)仍(reng)用“偶然(ran)巧合(he)”去解釋，無(wu)論如何總(zong)顯(xian)得過于勉強。

當然，如果我們就此立刻進(jin)入關(guan)于“誰源于誰”的(de)考(kao)據之中(zhong)，那(nei)又(you)將(jiang)遠(yuan)遠(yuan)超出(chu)本文的(de)范圍(wei)。

2寒暑(shu)五帶的(de)知識來自何(he)處?

《周髀算經》中有(you)相當于現(xian)代人熟(shu)知的(de)(de)(de)關于地球上寒暑五帶的(de)(de)(de)知識(shi)。這(zhe)是一個(ge)非常(chang)令人驚(jing)異(yi)的(de)(de)(de)現(xian)象(xiang)----因為(wei)這(zhe)類(lei)知識(shi)是以往兩千年間，中國傳(chuan)統天(tian)文學說中所沒有(you)、而且(qie)不(bu)相信(xin)的(de)(de)(de)。

這些(xie)知識在《周髀算經》中主要見于卷下第9節∶

極下不(bu)(bu)生萬物，何以知之?……北極左右，夏有不(bu)(bu)釋(shi)之冰。

中(zhong)(zhong)衡去(qu)周(zhou)七萬五千五百里。中(zhong)(zhong)衡左右，冬有(you)不死(si)之草(cao)，夏長之類。此(ci)陽彰(zhang)陰微，故(gu)萬物(wu)不死(si)，五谷一歲再熟。

凡北(bei)極之左右(you)，物有朝生暮獲，冬生之類。

這里需要先作一些說明(ming)∶

上引第二則(ze)中(zhong)(zhong)(zhong)，所謂“中(zhong)(zhong)(zhong)衡左右”即趙(zhao)爽注(zhu)文中(zhong)(zhong)(zhong)所認為的(de)(de)“內衡之外(wai)，外(wai)衡之內”；這一區域(yu)正好對(dui)應于(yu)地(di)(di)球(qiu)寒暑五帶中(zhong)(zhong)(zhong)的(de)(de)熱帶(南緯(wei)23°30′至(zhi)北緯(wei)23°30′之間)----盡(jin)管《周髀算(suan)經》中(zhong)(zhong)(zhong)并無地(di)(di)球(qiu)的(de)(de)觀念。

上引第(di)三則中，說(shuo)北(bei)極(ji)(ji)左(zuo)右“物有朝生暮獲”，這(zhe)就必須聯系到《周髀算經》蓋天宇宙(zhou)模型(xing)對于(yu)極(ji)(ji)晝(zhou)、極(ji)(ji)夜(ye)現象的演繹和描述(shu)能力。據(ju)前(qian)所述(shu)，圓形大地中央的“璇(xuan)璣”之(zhi)(zhi)底(di)面直徑(jing)為(wei)(wei)23,000里，則半徑(jing)為(wei)(wei)11,500里，而《周髀算經》所設定的太(tai)陽(yang)光芒(mang)向其(qi)四周照射的極(ji)(ji)限(xian)距離是167,000里；于(yu)是，由(you)本文圖1清(qing)楚可見，每(mei)年從(cong)春分(fen)(fen)至秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)期(qi)間，在(zai)(zai)“璇(xuan)璣”范圍(wei)內(nei)(nei)將出(chu)現極(ji)(ji)晝(zhou)----晝(zhou)夜(ye)始終(zhong)在(zai)(zai)陽(yang)光之(zhi)(zhi)下(xia)；而從(cong)秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)到春分(fen)(fen)期(qi)間則出(chu)現極(ji)(ji)夜(ye)----陽(yang)光在(zai)(zai)此(ci)期(qi)間的任何時刻都照射不到“璇(xuan)璣”范圍(wei)之(zhi)(zhi)內(nei)(nei)。這(zhe)也就是趙爽注文中所說(shuo)的“北(bei)極(ji)(ji)之(zhi)(zhi)下(xia)，從(cong)春分(fen)(fen)至秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)為(wei)(wei)晝(zhou)，從(cong)秋(qiu)(qiu)分(fen)(fen)至春分(fen)(fen)為(wei)(wei)夜(ye)”，因為(wei)(wei)是以半年為(wei)(wei)晝(zhou)、半年為(wei)(wei)夜(ye)。

《周髀算經》中(zhong)上述關于寒暑(shu)五帶的(de)知識，其準確性(xing)是沒有疑問的(de)。然(ran)而這些知識卻并不是以(yi)(yi)往兩千年間(jian)中(zhong)國(guo)傳統天文學中(zhong)的(de)組成部分(fen)。對于這一現(xian)象，可以(yi)(yi)從幾(ji)方面來(lai)加(jia)以(yi)(yi)討論。

首(shou)先，為(wei)(wei)(wei)《周髀算(suan)經(jing)》作(zuo)注的(de)趙(zhao)爽，竟然(ran)(ran)就表示不(bu)相信書(shu)中的(de)這(zhe)些知識(shi)。例如對(dui)于北極附近“夏(xia)(xia)有(you)(you)不(bu)釋(shi)之(zhi)冰”，趙(zhao)爽注稱∶“冰凍(dong)不(bu)解，是(shi)以(yi)(yi)推之(zhi)，夏(xia)(xia)至(zhi)之(zhi)日(ri)外(wai)(wai)衡之(zhi)下為(wei)(wei)(wei)冬(dong)矣，萬物當死(si)----此日(ri)遠近為(wei)(wei)(wei)冬(dong)夏(xia)(xia),非陰陽之(zhi)氣(qi)，爽或(huo)疑焉(yan)。”又(you)如對(dui)于“冬(dong)有(you)(you)不(bu)死(si)之(zhi)草”、“陽彰(zhang)陰微”、“五谷一(yi)(yi)歲再(zai)熟”的(de)熱帶(dai)，趙(zhao)爽表示“此欲以(yi)(yi)內衡之(zhi)外(wai)(wai)、外(wai)(wai)衡之(zhi)內，常為(wei)(wei)(wei)夏(xia)(xia)也。然(ran)(ran)其修廣，爽未之(zhi)前(qian)聞(wen)”----他(ta)從未聽(ting)說過(guo)(guo)。我們從趙(zhao)爽為(wei)(wei)(wei)《周髀算(suan)經(jing)》全書(shu)所(suo)作(zuo)的(de)注釋(shi)來判斷，他(ta)毫無疑問是(shi)那個時(shi)代夠(gou)格的(de)天文學家之(zhi)一(yi)(yi)，為(wei)(wei)(wei)什么(me)竟從未聽(ting)說過(guo)(guo)這(zhe)些寒暑五帶(dai)知識(shi)?比較合理的(de)解釋(shi)似乎只能是(shi)∶這(zhe)些知識(shi)不(bu)是(shi)中國(guo)傳(chuan)統天文學體系中的(de)組成(cheng)部(bu)分，所(suo)以(yi)(yi)對(dui)于當時(shi)大部(bu)分中國(guo)天文學家來說，這(zhe)些知識(shi)是(shi)新奇的(de)、與舊有(you)(you)知識(shi)背景(jing)格格不(bu)入的(de)，因而也是(shi)難以(yi)(yi)置信的(de)。

其次，在古代中國居傳(chuan)統地位的(de)(de)天文(wen)(wen)學(xue)說(shuo)----渾天說(shuo)中，由于沒有正確的(de)(de)地球(qiu)概念，是不可能提出寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)之(zhi)類的(de)(de)問題來(lai)的(de)(de)。因此直到明朝末年，來(lai)華的(de)(de)耶穌會傳(chuan)教(jiao)士(shi)在他們的(de)(de)中文(wen)(wen)著作中向中國讀者介紹寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)知識(shi)時(shi)，仍被中國人目為(wei)未(wei)之(zhi)前聞的(de)(de)新奇學(xue)說(shuo)。正式(shi)這些(xie)耶穌會傳(chuan)教(jiao)士(shi)的(de)(de)中文(wen)(wen)著作才使中國學(xue)者接(jie)受(shou)了(le)地球(qiu)寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)之(zhi)說(shuo)。而當清(qing)朝初年“西學(xue)中源”說(shuo)甚囂(xiao)塵上時(shi)，梅(mei)文(wen)(wen)鼎等人為(wei)寒(han)暑(shu)(shu)五帶(dai)之(zhi)說(shuo)尋找中國源頭，找到的(de)(de)正是《周髀算經(jing)》----他們認為(wei)是《周髀算經(jing)》等中國學(xue)說(shuo)在上古時(shi)期傳(chuan)入西方(fang)，才教(jiao)會了(le)希臘人、羅馬人和阿(a)拉伯人掌握天文(wen)(wen)學(xue)知識(shi)的(de)(de)。

我們面臨一(yi)系(xi)列尖(jian)銳(rui)的(de)(de)問(wen)題∶既然在渾天(tian)(tian)學說(shuo)中(zhong)因沒有(you)地(di)球概念而不可能(neng)(neng)提出(chu)寒暑(shu)五(wu)帶(dai)(dai)的(de)(de)問(wen)題，那(nei)么《周髀算(suan)經(jing)》中(zhong)同樣沒有(you)地(di)球概念，何(he)以卻能(neng)(neng)記載這(zhe)(zhe)些(xie)(xie)知識(shi)?如果說(shuo)《周髀算(suan)經(jing)》的(de)(de)作者身處(chu)北溫(wen)帶(dai)(dai)之中(zhong)，只是根據(ju)越向(xiang)北越冷、越往南越熱(re)，就能(neng)(neng)推衍出(chu)北極(ji)“夏有(you)不釋之冰”、熱(re)帶(dai)(dai)“五(wu)谷一(yi)歲再熟(shu)”之類的(de)(de)現象(xiang)，那(nei)渾天(tian)(tian)家何(he)以偏就不能(neng)(neng)?再說(shuo)趙(zhao)爽為《周髀算(suan)經(jing)》作注，他總該是接受(shou)蓋天(tian)(tian)學說(shuo)之人(ren)，何(he)以連他都對這(zhe)(zhe)些(xie)(xie)知識(shi)不能(neng)(neng)相信?這(zhe)(zhe)樣看來，有(you)必要考慮(lv)這(zhe)(zhe)些(xie)(xie)知識(shi)來自異域的(de)(de)可能(neng)(neng)性。

勾股定理

首先，《周髀(bi)算經(jing)》中明確記載(zai)了勾(gou)股(gu)定(ding)理的公(gong)式：“若求邪(xie)至日(ri)者(zhe)，以日(ri)下為勾(gou)，日(ri)高為股(gu)，勾(gou)股(gu)各自乘，并而開(kai)方除(chu)之，得邪(xie)至日(ri)。”（《周髀(bi)算經(jing)》上卷二）

而勾(gou)股(gu)定(ding)理的證明(ming)呢，就在《周髀算(suan)經(jing)》上卷一——

昔(xi)者周公問(wen)于(yu)商高曰：“竊聞(wen)乎大夫善數(shu)(shu)也，請(qing)問(wen)昔(xi)者包犧立周天歷度(du)——夫天可不階而(er)升，地不可得尺寸而(er)度(du)，請(qing)問(wen)數(shu)(shu)安從出？”

商高曰：“數(shu)之(zhi)法出于圓方(fang)(fang)，圓出于方(fang)(fang)，方(fang)(fang)出于矩(ju)，矩(ju)出于九九八十(shi)一。故折(zhe)矩(ju)，以為勾(gou)廣(guang)三，股修四(si)(si)，徑隅五。既方(fang)(fang)之(zhi)，外半其一矩(ju)，環(huan)而共(gong)盤，得成三四(si)(si)五。兩矩(ju)共(gong)長(chang)二十(shi)有五，是謂積矩(ju)。故禹(yu)之(zhi)所以治天(tian)下者，此數(shu)之(zhi)所生(sheng)也(ye)。”

周(zhou)公(gong)對古代(dai)伏羲（庖犧(xi)）構(gou)造周(zhou)天(tian)歷度(du)的事跡感(gan)到不可思議（天(tian)不可階(jie)而升，地不可得尺寸而度(du)），就請教商高數(shu)學知(zhi)識(shi)從何(he)而來。于(yu)是商高以勾股(gu)定理的證明為例，解(jie)(jie)釋(shi)數(shu)學知(zhi)識(shi)的由來。“數(shu)之法出(chu)(chu)于(yu)圓(yuan)方(fang)，圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)方(fang)，方(fang)出(chu)(chu)于(yu)矩(ju)，矩(ju)出(chu)(chu)于(yu)九(jiu)九(jiu)八十(shi)(shi)一。”解(jie)(jie)釋(shi)發展脈絡——數(shu)之法出(chu)(chu)于(yu)圓(yuan)（圓(yuan)周(zhou)率三）方(fang)（四方(fang)），圓(yuan)出(chu)(chu)于(yu)方(fang)（圓(yuan)形面積(ji)(ji)=外接正方(fang)形面積(ji)(ji)*圓(yuan)周(zhou)率/4），方(fang)出(chu)(chu)于(yu)矩(ju)（正方(fang)形源自兩邊相等的矩(ju)），矩(ju)出(chu)(chu)于(yu)九(jiu)九(jiu)八十(shi)(shi)一（長乘(cheng)寬面積(ji)(ji)計算依(yi)自九(jiu)九(jiu)乘(cheng)法表(biao)）。

“故折(zhe)矩(ju)①，以為勾(gou)廣(guang)三(san)，股修四(si)(si)，徑隅(yu)(yu)五(wu)。”開始做圖——選擇(ze)一個(ge)勾(gou)三(san)（圓周率三(san)）、股四(si)(si)（四(si)(si)方）的(de)矩(ju)，矩(ju)的(de)兩條邊終點的(de)連線應為5（徑隅(yu)(yu)五(wu)）。

“②既方(fang)之(zhi)，外半(ban)其一矩(ju)，環(huan)而(er)共盤，得成三(san)四五。”這(zhe)就是(shi)關鍵的(de)證明過程——以矩(ju)的(de)兩(liang)條邊畫(hua)(hua)正方(fang)形(xing)（勾方(fang)、股(gu)方(fang)），根據矩(ju)的(de)弦(xian)外面再畫(hua)(hua)一個矩(ju)（曲(qu)尺，實(shi)際上用作(zuo)直角(jiao)(jiao)三(san)角(jiao)(jiao)形(xing)），將“外半(ban)其一矩(ju)”得到的(de)三(san)角(jiao)(jiao)形(xing)剪下(xia)環(huan)繞復制形(xing)成一個大正方(fang)形(xing)，可(ke)看到其中有邊長(chang)三(san)勾方(fang)、邊長(chang)四股(gu)方(fang)、邊長(chang)五弦(xian)方(fang)三(san)個正方(fang)形(xing)。

“兩(liang)(liang)矩共(gong)長③二十有(you)五，是謂積(ji)矩。”此(ci)為驗算(suan)——勾(gou)(gou)方(fang)(fang)(fang)、股(gu)(gu)方(fang)(fang)(fang)的面積(ji)之(zhi)和(he)，與弦方(fang)(fang)(fang)的面積(ji)二十五相(xiang)等——從圖形上(shang)來看，大正方(fang)(fang)(fang)形減去(qu)(qu)四個三角形面積(ji)后為弦方(fang)(fang)(fang)，再(zai)是大正方(fang)(fang)(fang)形減去(qu)(qu)右上(shang)、左(zuo)下兩(liang)(liang)個長方(fang)(fang)(fang)形面積(ji)后為勾(gou)(gou)方(fang)(fang)(fang)股(gu)(gu)方(fang)(fang)(fang)之(zhi)和(he)。因(yin)三角形為長方(fang)(fang)(fang)形面積(ji)的一半，可推出(chu)四個三角形面積(ji)等于(yu)右上(shang)、左(zuo)下兩(liang)(liang)個長方(fang)(fang)(fang)形面積(ji)，所以勾(gou)(gou)方(fang)(fang)(fang)+股(gu)(gu)方(fang)(fang)(fang)=弦方(fang)(fang)(fang)。

注意：①矩(ju)(ju)，又稱曲(qu)尺，L型的木匠(jiang)工具，由長短兩根木條組成的直角。古(gu)代“矩(ju)(ju)”指L型曲(qu)尺，“矩(ju)(ju)形(xing)”才(cai)是“矩(ju)(ju)”衍生的長方形(xing)。

②“既方之(zhi)，外(wai)(wai)半(ban)其(qi)一(yi)(yi)矩”此句(ju)有爭議。清代四庫全書版定為(wei)(wei)“既方其(qi)外(wai)(wai)半(ban)之(zhi)一(yi)(yi)矩”，而之(zhi)前版本多為(wei)(wei)“既方之(zhi)外(wai)(wai)半(ban)其(qi)一(yi)(yi)矩”。經陳良佐(zuo)、李國偉、李繼閔、曲(qu)安京等學者研究，“既方之(zhi)，外(wai)(wai)半(ban)其(qi)一(yi)(yi)矩”更符合(he)邏輯。

③長(chang)指的(de)是面積(ji)。古代對(dui)不同維度的(de)量綱比較，并沒有發明新的(de)術語，而統稱“長(chang)”。趙爽注稱：“兩矩者，句股各自乘之(zhi)(zhi)實(shi)。共長(chang)者，并實(shi)之(zhi)(zhi)數(shu)。

由于(yu)年代久遠(yuan)，周公弦(xian)圖(tu)失傳，傳世(shi)版本只(zhi)印了趙(zhao)爽(shuang)弦(xian)圖(tu)（造(zao)紙術在漢代才發明）。所以某些學者誤以為(wei)(wei)商高(gao)沒有證明（只(zhi)是說了一(yi)段(duan)莫名其妙的話），后來(lai)趙(zhao)爽(shuang)才給出證明。其實(shi)(shi)不(bu)然，摘錄趙(zhao)爽(shuang)注釋《周髀(bi)算經(jing)》時(shi)所做的《勾(gou)股(gu)圓方(fang)圖(tu)》——“句股(gu)各自乘，并之(zhi)為(wei)(wei)弦(xian)實(shi)(shi)，開(kai)方(fang)除之(zhi)即弦(xian)。案：弦(xian)圖(tu)又可以句股(gu)相(xiang)乘為(wei)(wei)朱實(shi)(shi)二(er)，倍之(zhi)為(wei)(wei)朱實(shi)(shi)四(si)，以句股(gu)之(zhi)差(cha)自相(xiang)乘為(wei)(wei)中黃實(shi)(shi)，加差(cha)實(shi)(shi)亦成弦(xian)實(shi)(shi)。