薛定(ding)諤方程(cheng)（Schr?dinger equation），又稱薛定(ding)諤波動方程(cheng)（Schrodinger wave equation），是(shi)由奧(ao)地利物理學家薛定(ding)諤提出的量(liang)子(zi)(zi)力學中的一個(ge)基本方程(cheng)，也是(shi)量(liang)子(zi)(zi)力學的一個(ge)基本假定(ding)。
它是將物質(zhi)(zhi)波(bo)的(de)概念(nian)和(he)波(bo)動方(fang)(fang)程相結合建立(li)的(de)二階偏微(wei)分方(fang)(fang)程，可(ke)描述(shu)微(wei)觀粒(li)(li)子的(de)運動，每個微(wei)觀系(xi)統都有一個相應(ying)的(de)薛定(ding)諤方(fang)(fang)程式，通過解方(fang)(fang)程可(ke)得(de)到(dao)波(bo)函數的(de)具(ju)體形式以及對應(ying)的(de)能(neng)量(liang)，從而了解微(wei)觀系(xi)統的(de)性(xing)質(zhi)(zhi)。在量(liang)子力(li)學中，粒(li)(li)子以概率的(de)方(fang)(fang)式出現(xian)，具(ju)有不確定(ding)性(xing)，宏觀尺度下失效可(ke)忽略(lve)不計。
薛(xue)定諤方(fang)(fang)程是(shi)量子力學的基本(ben)方(fang)(fang)程。是(shi)1926年奧地(di)利理論物理學家薛(xue)定諤提出的。它描(miao)述微(wei)觀粒子的狀態(tai)隨時間(jian)變化(hua)的規(gui)律。微(wei)觀系統的狀態(tai)由波函數來描(miao)寫，薛(xue)定諤方(fang)(fang)程即是(shi)波函數的微(wei)分方(fang)(fang)程。若給定了初始(shi)條(tiao)件和邊界的條(tiao)件，就可由此方(fang)(fang)程解出波函數。
薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)(cheng)（Schrodinger equation）在量(liang)(liang)子(zi)力(li)學(xue)(xue)中(zhong)，體系的狀態(tai)不(bu)能用(yong)力(li)學(xue)(xue)量(liang)(liang)（例(li)如(ru)x）的值來(lai)確定(ding)，而是要用(yong)力(li)學(xue)(xue)量(liang)(liang)的函(han)(han)數Ψ（x,t），即波函(han)(han)數（又稱概(gai)率(lv)幅，態(tai)函(han)(han)數）來(lai)確定(ding)，因此波函(han)(han)數成為量(liang)(liang)子(zi)力(li)學(xue)(xue)研究的主要對象。力(li)學(xue)(xue)量(liang)(liang)取值的概(gai)率(lv)分布(bu)如(ru)何(he)，這(zhe)(zhe)個(ge)分布(bu)隨時間如(ru)何(he)變化，這(zhe)(zhe)些(xie)問(wen)題都可(ke)以通過求解(jie)波函(han)(han)數的薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)(cheng)得到解(jie)答(da)。這(zhe)(zhe)個(ge)方(fang)程(cheng)(cheng)是奧地(di)利物理學(xue)(xue)家薛定(ding)諤于1926年提(ti)出的，它是量(liang)(liang)子(zi)力(li)學(xue)(xue)最基(ji)本的方(fang)程(cheng)(cheng)之(zhi)一(yi)，在量(liang)(liang)子(zi)力(li)學(xue)(xue)中(zhong)的地(di)位(wei)與牛頓方(fang)程(cheng)(cheng)在經典力(li)學(xue)(xue)中(zhong)的地(di)位(wei)相當，超弦理論試圖統(tong)一(yi)兩種理論。
薛定(ding)諤方程(cheng)是量子力(li)學最基本的(de)方程(cheng)，亦是量子力(li)學的(de)一個(ge)基本假定(ding)，其正確(que)性只能靠(kao)實(shi)驗(yan)來確(que)定(ding)。
量子(zi)力學中求解粒(li)子(zi)問題常歸結為解薛定(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)或(huo)定(ding)(ding)態薛定(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)。薛定(ding)(ding)諤(e)方程(cheng)廣(guang)泛地(di)用于原子(zi)物理、核(he)物理和固體物理，對于原子(zi)、分子(zi)、核(he)、固體等一系列問題中求解的結果都與實際符(fu)合(he)得很好。
薛定諤方程(cheng)僅(jin)適(shi)用于速(su)度不太大的非相對論(lun)(lun)粒(li)子(zi)(zi)，其中(zhong)也沒有包(bao)(bao)含關于粒(li)子(zi)(zi)自(zi)旋(xuan)(xuan)的描述。當(dang)涉(she)及相對論(lun)(lun)效應時，薛定諤方程(cheng)由相對論(lun)(lun)量子(zi)(zi)力學方程(cheng)所取代，其中(zhong)自(zi)然包(bao)(bao)含了粒(li)子(zi)(zi)的自(zi)旋(xuan)(xuan)。
.薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)提出(chu)的(de)量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)基本(ben)方(fang)程(cheng)。建立于1926年(nian)。它是一(yi)(yi)(yi)個非相對論的(de)波(bo)(bo)動(dong)(dong)方(fang)程(cheng)。它反映(ying)了描述微觀粒子(zi)的(de)狀(zhuang)態(tai)隨時間變化的(de)規律，它在量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)中(zhong)的(de)地位相當(dang)于牛頓定(ding)(ding)律對于經典力學(xue)(xue)一(yi)(yi)(yi)樣，是量(liang)子(zi)力學(xue)(xue)的(de)基本(ben)假設之(zhi)一(yi)(yi)(yi)。設描述微觀粒子(zi)狀(zhuang)態(tai)的(de)波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)為(wei)Ψ（r，t），質量(liang)為(wei)m的(de)微觀粒子(zi)在勢(shi)(shi)場(chang)V（r，t）中(zhong)運(yun)動(dong)(dong)的(de)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程(cheng)。在給(gei)定(ding)(ding)初始條件(jian)和邊界條件(jian)以及波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)所滿(man)足的(de)單值、有限、連(lian)續的(de)條件(jian)下，可(ke)解出(chu)波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)Ψ（r，t）。由此可(ke)計(ji)算粒子(zi)的(de)分布概率和任何可(ke)能實(shi)驗(yan)的(de)平均值（期(qi)望值）。當(dang)勢(shi)(shi)函(han)(han)數(shu)V不依(yi)賴(lai)于時間t時，粒子(zi)具有確定(ding)(ding)的(de)能量(liang)，粒子(zi)的(de)狀(zhuang)態(tai)稱(cheng)為(wei)定(ding)(ding)態(tai)。定(ding)(ding)態(tai)時的(de)波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)可(ke)寫成式中(zhong)Ψ（r）稱(cheng)為(wei)定(ding)(ding)態(tai)波(bo)(bo)函(han)(han)數(shu)，滿(man)足定(ding)(ding)態(tai)薛(xue)定(ding)(ding)諤(e)方(fang)程(cheng)，這一(yi)(yi)(yi)方(fang)程(cheng)在數(shu)學(xue)(xue)上(shang)稱(cheng)為(wei)本(ben)征(zheng)方(fang)程(cheng)，式中(zhong)E為(wei)本(ben)征(zheng)值，它是定(ding)(ding)態(tai)能量(liang)，Ψ（r）又(you)稱(cheng)為(wei)屬于本(ben)征(zheng)值E的(de)本(ben)征(zheng)函(han)(han)數(shu)。
薛(xue)定諤方(fang)程(cheng)是(shi)量子(zi)力學(xue)(xue)的(de)基本方(fang)程(cheng)，它揭(jie)示了微觀物(wu)理(li)世界(jie)物(wu)質運動的(de)基本規律，如牛頓定律在經(jing)典力學(xue)(xue)中(zhong)(zhong)所起的(de)作用一(yi)樣，它是(shi)原子(zi)物(wu)理(li)學(xue)(xue)中(zhong)(zhong)處理(li)一(yi)切非相對論(lun)問題的(de)有力工(gong)具，在原子(zi)、分子(zi)、固體物(wu)理(li)、核物(wu)理(li)、化學(xue)(xue)等(deng)領域中(zhong)(zhong)被廣泛應用。
1900年，馬克(ke)斯(si)·普(pu)朗(lang)克(ke)在研(yan)究黑體(ti)輻射中(zhong)作出將電磁(ci)輻射能量(liang)量(liang)子(zi)化的(de)假設，因(yin)此(ci)發現將能量(liang)與(yu)(yu)頻(pin)率(lv)關(guan)(guan)(guan)聯在一(yi)(yi)起的(de)普(pu)朗(lang)克(ke)關(guan)(guan)(guan)系(xi)式。1905年，阿爾伯特·愛因(yin)斯(si)坦從對于(yu)光電效應(ying)的(de)研(yan)究又給予這(zhe)關(guan)(guan)(guan)系(xi)式嶄(zhan)新的(de)詮(quan)釋：頻(pin)率(lv)為(wei)ν的(de)光子(zi)擁有(you)的(de)能量(liang)為(wei)hν；其中(zhong)，因(yin)子(zi)h是普(pu)朗(lang)克(ke)常(chang)數(shu)(shu)。這(zhe)一(yi)(yi)點子(zi)成(cheng)為(wei)后來波粒二象性概念的(de)早期(qi)路標之一(yi)(yi)。由于(yu)在狹(xia)義(yi)相對論里，能量(liang)與(yu)(yu)動量(liang)的(de)關(guan)(guan)(guan)聯方(fang)式類似頻(pin)率(lv)與(yu)(yu)波數(shu)(shu)的(de)關(guan)(guan)(guan)聯方(fang)式，因(yin)此(ci)可以揣測，光子(zi)的(de)動量(liang)與(yu)(yu)波長成(cheng)反比(bi)，與(yu)(yu)波數(shu)(shu)成(cheng)正比(bi)，以方(fang)程來表示這(zhe)關(guan)(guan)(guan)系(xi)式。
路易·德布(bu)羅意認為，不(bu)單(dan)光子(zi)(zi)(zi)遵(zun)守這(zhe)關系式(shi)，所有(you)粒子(zi)(zi)(zi)都(dou)遵(zun)守這(zhe)關系式(shi)。他于1924年(nian)進一(yi)步提(ti)出的德布(bu)羅意假說表明，每一(yi)種微觀粒子(zi)(zi)(zi)都(dou)具(ju)有(you)波動性與粒子(zi)(zi)(zi)性，這(zhe)性質(zhi)(zhi)稱(cheng)為波粒二象(xiang)性。電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)也(ye)不(bu)例外(wai)的具(ju)有(you)這(zhe)種性質(zhi)(zhi)。電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)是一(yi)種物質(zhi)(zhi)波，稱(cheng)為“電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)波”。電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)的能量(liang)與動量(liang)分別(bie)決(jue)定了伴隨它的物質(zhi)(zhi)波所具(ju)有(you)的頻率(lv)與波數。在原(yuan)子(zi)(zi)(zi)里，束(shu)縛電(dian)(dian)子(zi)(zi)(zi)形成駐波；這(zhe)意味著他的旋轉頻率(lv)只能呈某些離散數值。這(zhe)些量(liang)子(zi)(zi)(zi)化(hua)軌(gui)道(dao)對應于離散能級。從(cong)這(zhe)些點子(zi)(zi)(zi)，德布(bu)羅意復(fu)制出玻(bo)爾模型的能級。
在1925年，瑞士(shi)蘇黎世每(mei)兩周會舉(ju)辦一(yi)(yi)場物理(li)(li)學術(shu)研討會。有(you)一(yi)(yi)次(ci)，主(zhu)辦者(zhe)彼得(de)·德拜邀請(qing)薛定諤講(jiang)述關于德布羅意(yi)的(de)(de)波(bo)粒二象(xiang)性(xing)(xing)博士(shi)論(lun)文。那段時期(qi)，薛定諤正(zheng)在研究氣體理(li)(li)論(lun)，他從閱讀愛因斯坦關于玻(bo)色-愛因斯坦統(tong)計的(de)(de)論(lun)述中，接(jie)觸(chu)德布羅意(yi)的(de)(de)博士(shi)論(lun)文，在這方(fang)(fang)面有(you)很精深的(de)(de)理(li)(li)解(jie)。在研討會里，他將波(bo)粒二象(xiang)性(xing)(xing)闡述的(de)(de)淋漓盡致(zhi)，大(da)家都(dou)聽的(de)(de)津津有(you)味。德拜指出(chu)，既然粒子(zi)具有(you)波(bo)動(dong)性(xing)(xing)，應該有(you)一(yi)(yi)種(zhong)(zhong)能(neng)夠正(zheng)確描述這種(zhong)(zhong)量子(zi)性(xing)(xing)質的(de)(de)波(bo)動(dong)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)。他的(de)(de)意(yi)見(jian)給予(yu)薛定諤極大(da)的(de)(de)啟(qi)發與(yu)鼓舞，他開始尋找這波(bo)動(dong)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)。檢試此(ci)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)最簡(jian)單(dan)與(yu)基本的(de)(de)方(fang)(fang)法就是，用此(ci)方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)來描述氫原(yuan)子(zi)內部束縛(fu)電子(zi)的(de)(de)物理(li)(li)行(xing)為，而必(bi)能(neng)復(fu)制出(chu)玻(bo)爾模型的(de)(de)理(li)(li)論(lun)結果(guo)，另外，這方(fang)(fang)程(cheng)(cheng)還(huan)必(bi)須能(neng)解(jie)釋索(suo)末(mo)菲模型給出(chu)的(de)(de)精細結構。
很快，薛(xue)(xue)定諤(e)就(jiu)通過德(de)布(bu)羅意(yi)論(lun)文的(de)(de)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)性(xing)(xing)(xing)理論(lun)，推(tui)導(dao)出一(yi)個相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)性(xing)(xing)(xing)波動方(fang)程，他將(jiang)這方(fang)程應(ying)用于氫(qing)原子，計算出束(shu)縛電子的(de)(de)波函數。因為(wei)(wei)薛(xue)(xue)定諤(e)沒(mei)有將(jiang)電子的(de)(de)自旋納(na)入考量(liang)，所以從這方(fang)程推(tui)導(dao)出的(de)(de)精細結(jie)構公式不符合索(suo)末菲(fei)模型(xing)(xing)。他只(zhi)好將(jiang)這方(fang)程加以修改，除去(qu)相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)性(xing)(xing)(xing)部分，并用剩下的(de)(de)非相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)性(xing)(xing)(xing)方(fang)程來計算氫(qing)原子的(de)(de)譜線。解析這微分方(fang)程的(de)(de)工作相(xiang)(xiang)(xiang)當困難，在其好朋(peng)友數學家赫爾曼·外(wai)爾鼎力相(xiang)(xiang)(xiang)助下，他復制出了與(yu)玻(bo)爾模型(xing)(xing)完全相(xiang)(xiang)(xiang)同的(de)(de)答(da)案(an)。因此，他決定暫且不發表相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)性(xing)(xing)(xing)部分，只(zhi)把(ba)非相(xiang)(xiang)(xiang)對(dui)(dui)論(lun)性(xing)(xing)(xing)波動方(fang)程與(yu)氫(qing)原子光譜分析結(jie)果(guo)，寫為(wei)(wei)一(yi)篇論(lun)文。1926年，他正(zheng)式發表了這論(lun)文。
這(zhe)篇論文(wen)迅速(su)在量子學(xue)術界引起震撼。普朗克(ke)表示“他已(yi)閱(yue)讀完畢整篇論文(wen)，就像被一個迷語困惑多時，渴慕知道答案的孩童，現在終于聽到了(le)解答”。愛因(yin)斯(si)坦(tan)稱贊，這(zhe)著(zhu)作的靈感如同泉水般源自一位真正的天(tian)才。愛因(yin)斯(si)坦(tan)覺得(de)，薛定(ding)諤已(yi)做出決定(ding)性貢獻(xian)。由于薛定(ding)諤所(suo)創建的波動力學(xue)涉及到眾所(suo)熟悉(xi)的波動概(gai)念與數學(xue)，而不是(shi)矩(ju)陣(zhen)力學(xue)中既抽象又陌生的矩(ju)陣(zhen)代數，量子學(xue)者(zhe)都(dou)很樂意地開(kai)始學(xue)習與應用波動力學(xue)。自旋的發(fa)現者(zhe)喬治·烏倫貝克(ke)驚嘆，“薛定(ding)諤方程給我們帶來極大的解救！”沃爾(er)夫岡(gang)·泡利認為，這(zhe)論文(wen)應可算(suan)是(shi)最重要(yao)的著(zhu)作之一。
薛(xue)(xue)定(ding)諤給出(chu)的(de)薛(xue)(xue)定(ding)諤方(fang)程能(neng)夠正(zheng)確(que)地(di)描述波函(han)數(shu)的(de)量(liang)子(zi)行為。在那時，物理學者尚不(bu)清楚如何(he)詮(quan)釋波函(han)數(shu)，薛(xue)(xue)定(ding)諤試圖以電荷密度來(lai)詮(quan)釋波函(han)數(shu)的(de)絕對值平(ping)方(fang)，可并不(bu)成功。1926年，玻(bo)(bo)恩提出(chu)概率幅的(de)概念，成功地(di)詮(quan)釋了波函(han)數(shu)的(de)物理意義。但是(shi)薛(xue)(xue)定(ding)諤與愛因(yin)斯坦觀(guan)點(dian)相同，都不(bu)贊同這種統(tong)計(ji)或(huo)概率方(fang)法，以及(ji)它所伴隨的(de)非(fei)連續性波函(han)數(shu)坍縮。愛因(yin)斯坦主張，量(liang)子(zi)力學是(shi)個決定(ding)性理論(lun)的(de)統(tong)計(ji)近似。在薛(xue)(xue)定(ding)諤有生的(de)最后一年，寫給玻(bo)(bo)恩的(de)一封信中，他(ta)清楚地(di)表示他(ta)不(bu)接受哥本哈根詮(quan)釋。
埃爾溫·薛定諤（Erwin Schrodinger，1887年(nian)(nian)(nian)—1961年(nian)(nian)(nian)）1887年(nian)(nian)(nian)8月12日出生于奧地利(li)(li)首都維也納(na)。1906年(nian)(nian)(nian)至(zhi)1910年(nian)(nian)(nian)，他(ta)就學于維也納(na)大學物(wu)理(li)系。1910年(nian)(nian)(nian)獲得博士學位。畢業后，在(zai)維也納(na)大學第二物(wu)理(li)研(yan)究(jiu)所從事實驗物(wu)理(li)的工作。第一(yi)次世界大戰(zhan)期間(jian)(jian)，他(ta)應征服(fu)役于一(yi)個偏僻的炮兵要塞，利(li)(li)用閑暇時間(jian)(jian)研(yan)究(jiu)理(li)論物(wu)理(li)。
戰(zhan)后他仍回到(dao)第二物(wu)理研究所。1920年他到(dao)耶拿大學(xue)協助維恩(en)工作。1921年薛(xue)定(ding)諤受(shou)聘到(dao)瑞士的蘇黎(li)世大學(xue)任(ren)(ren)數(shu)學(xue)物(wu)理教授(shou)，在那里工作了6年，薛(xue)定(ding)諤方程就是(shi)在這一期間提(ti)出的。1927年薛(xue)定(ding)諤接替普(pu)朗克到(dao)柏(bo)林大學(xue)擔(dan)任(ren)(ren)理論物(wu)理教授(shou)。1933年希特勒上臺后，薛(xue)定(ding)諤對(dui)于(yu)納粹政權迫(po)害愛因斯(si)坦等(deng)杰出科學(xue)家的法西(xi)斯(si)行為深為憤慨，移(yi)居牛津，在馬達倫學(xue)院任(ren)(ren)訪(fang)問教授(shou)。同年他與狄拉克共(gong)同獲得諾(nuo)貝爾物(wu)理學(xue)獎。
1936年他回到奧(ao)地(di)利任格拉茨大學(xue)(xue)(xue)理(li)(li)(li)論物理(li)(li)(li)教(jiao)授。不到兩年，奧(ao)地(di)利被(bei)納(na)粹并(bing)吞后，他又陷入了逆境。1939年10月(yue)流亡到愛爾蘭首府都柏林，就任都柏林高級研(yan)究(jiu)所所長，從事理(li)(li)(li)論物理(li)(li)(li)研(yan)究(jiu)。在此期間還進行(xing)了科(ke)學(xue)(xue)(xue)哲學(xue)(xue)(xue)、生物物理(li)(li)(li)研(yan)究(jiu)，頗有建樹(shu)。出(chu)版了《生命是(shi)什么》一書，試圖(tu)用(yong)量子物理(li)(li)(li)闡(chan)明遺傳結構的(de)穩(wen)定(ding)性(xing)。1956年薛(xue)定(ding)諤回到了奧(ao)地(di)利，被(bei)聘為(wei)維(wei)也納(na)大學(xue)(xue)(xue)理(li)(li)(li)論物理(li)(li)(li)教(jiao)授，奧(ao)地(di)利政府給予他極大的(de)榮(rong)譽，設定(ding)了以薛(xue)定(ding)諤命名的(de)國家(jia)獎金，由奧(ao)地(di)利科(ke)學(xue)(xue)(xue)院授予。
一維薛定諤方程
三維薛定諤方程
定態薛定諤方程
單(dan)粒子薛定諤方程(cheng)的數學表達形(xing)式
這是(shi)一個(ge)二階線(xian)性偏微分方程，ψ(x，y，z)是(shi)待(dai)求(qiu)函數，它是(shi)x,y,z三(san)個(ge)變量的(de)復數函數（就是(shi)說(shuo)函數值不一定是(shi)實(shi)數，也可能是(shi)虛數）。式子最左邊的(de)倒三(san)角是(shi)拉普拉斯算符，意(yi)思是(shi)分別(bie)對ψ(x，y，z)的(de)梯(ti)度求(qiu)散度。
這是(shi)一個(ge)(ge)描(miao)述(shu)一個(ge)(ge)粒子在三(san)維勢(shi)(shi)場(chang)中的(de)(de)(de)(de)(de)(de)定(ding)態(tai)薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)。所(suo)謂(wei)勢(shi)(shi)場(chang)，就(jiu)是(shi)粒子在其中會有勢(shi)(shi)能(neng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)場(chang)，比如(ru)電場(chang)就(jiu)是(shi)一個(ge)(ge)帶電粒子的(de)(de)(de)(de)(de)(de)勢(shi)(shi)場(chang)；所(suo)謂(wei)定(ding)態(tai)，就(jiu)是(shi)假設(she)(she)波函數不(bu)隨時(shi)間(jian)變(bian)化(hua)。其中，E是(shi)粒子本身的(de)(de)(de)(de)(de)(de)能(neng)量；U（x，y，z）是(shi)描(miao)述(shu)勢(shi)(shi)場(chang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)函數，假設(she)(she)不(bu)隨時(shi)間(jian)變(bian)化(hua)。薛定(ding)諤方(fang)程(cheng)有一個(ge)(ge)很(hen)好(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)性質，就(jiu)是(shi)時(shi)間(jian)和空(kong)間(jian)部(bu)分是(shi)相(xiang)互分立的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，求出定(ding)態(tai)波函數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)空(kong)間(jian)部(bu)分后(hou)再(zai)乘上時(shi)間(jian)部(bu)分以后(hou)就(jiu)成了完整的(de)(de)(de)(de)(de)(de)波函數了。
簡單系統，如氫原子(zi)(zi)中電子(zi)(zi)的薛(xue)定(ding)諤方程才能求解(jie)，對(dui)(dui)于復雜系統必須近(jin)(jin)似(si)求解(jie)。因為(wei)對(dui)(dui)于有Z個電子(zi)(zi)的原子(zi)(zi)，其電子(zi)(zi)由于屏蔽效應相(xiang)互作用(yong)勢(shi)能會(hui)發生改變(bian)，所(suo)以只能近(jin)(jin)似(si)求解(jie)。近(jin)(jin)似(si)求解(jie)的方法主(zhu)要有變(bian)分法和微(wei)擾(rao)法。
在束縛態邊界條(tiao)件(jian)下并(bing)不(bu)是(shi)E值(zhi)對應的(de)所(suo)有解在物理上都是(shi)可以接受的(de)。主量(liang)子(zi)數、角量(liang)子(zi)數、磁量(liang)子(zi)數都是(shi)薛定諤方(fang)程的(de)解。要(yao)(yao)完整描述電(dian)子(zi)狀(zhuang)態，必(bi)須要(yao)(yao)四(si)個量(liang)子(zi)數。自旋磁量(liang)子(zi)數不(bu)是(shi)薛定諤方(fang)程的(de)解，而是(shi)作為(wei)實(shi)驗事實(shi)接受下來的(de)。
主量子(zi)(zi)數n和能(neng)量有關的量子(zi)(zi)數。原(yuan)子(zi)(zi)具有分立能(neng)級，能(neng)量只能(neng)取一系列值，每一個波(bo)函數都對應(ying)(ying)相應(ying)(ying)的能(neng)量。氫原(yuan)子(zi)(zi)以及類氫原(yuan)子(zi)(zi)的分立值為：
，n越大能量越高電子層離核越遠。主量子數決(jue)定了電子出現(xian)的最大幾率的區域離核遠近，決(jue)定了電子的能量。N=1，2，3，……；常用(yong)K、L、M、N……表示。
角(jiao)(jiao)量子(zi)(zi)(zi)數l和能(neng)(neng)量有(you)關的(de)(de)(de)量子(zi)(zi)(zi)數。電子(zi)(zi)(zi)在原子(zi)(zi)(zi)中具有(you)確定的(de)(de)(de)角(jiao)(jiao)動(dong)量L，它(ta)的(de)(de)(de)取(qu)值不是任意(yi)的(de)(de)(de)，只能(neng)(neng)取(qu)一系列分(fen)立(li)值，稱為(wei)(wei)角(jiao)(jiao)動(dong)量量子(zi)(zi)(zi)化。。l越大，角(jiao)(jiao)動(dong)量越大，能(neng)(neng)量越高，電子(zi)(zi)(zi)云的(de)(de)(de)形狀也不同(tong)。l=0，1，2，……常(chang)用s，p，d，f，g表示(shi)，簡單的(de)(de)(de)說就是前面說的(de)(de)(de)電子(zi)(zi)(zi)亞層(ceng)。角(jiao)(jiao)量子(zi)(zi)(zi)數決(jue)定了軌道(dao)形狀，所以(yi)也稱為(wei)(wei)軌道(dao)形狀量子(zi)(zi)(zi)數。s為(wei)(wei)球型，p為(wei)(wei)啞(ya)鈴(ling)型，d為(wei)(wei)花(hua)瓣，f軌道(dao)更為(wei)(wei)復雜。
磁(ci)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)m是(shi)和電(dian)子(zi)能量(liang)(liang)無關的(de)(de)(de)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)。原子(zi)中電(dian)子(zi)繞核運(yun)動的(de)(de)(de)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)角動量(liang)(liang)，在(zai)(zai)外(wai)磁(ci)場(chang)方(fang)(fang)(fang)向(xiang)上的(de)(de)(de)分量(liang)(liang)是(shi)量(liang)(liang)子(zi)化的(de)(de)(de)，并由量(liang)(liang)子(zi)數(shu)m決定，m稱為(wei)磁(ci)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)。對于任(ren)意選定的(de)(de)(de)外(wai)磁(ci)場(chang)方(fang)(fang)(fang)向(xiang)Z，角動量(liang)(liang)L在(zai)(zai)此(ci)方(fang)(fang)(fang)向(xiang)上的(de)(de)(de)分量(liang)(liang)Lz只能取(qu)(qu)一系列分立(li)值，這(zhe)種現象(xiang)稱為(wei)空間(jian)(jian)量(liang)(liang)子(zi)化。。磁(ci)量(liang)(liang)子(zi)數(shu)決定了原子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)空間(jian)(jian)伸(shen)展方(fang)(fang)(fang)向(xiang)，即(ji)原子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)在(zai)(zai)空間(jian)(jian)的(de)(de)(de)取(qu)(qu)向(xiang)，s軌(gui)(gui)道(dao)(dao)一個(ge)方(fang)(fang)(fang)向(xiang)（球），p軌(gui)(gui)道(dao)(dao)3個(ge)方(fang)(fang)(fang)向(xiang)，d軌(gui)(gui)道(dao)(dao)5個(ge)，f軌(gui)(gui)道(dao)(dao)7個(ge)……。l相(xiang)同(tong)(tong)，m不同(tong)(tong)即(ji)形狀相(xiang)同(tong)(tong)空間(jian)(jian)取(qu)(qu)向(xiang)不同(tong)(tong)的(de)(de)(de)原子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)能量(liang)(liang)是(shi)相(xiang)同(tong)(tong)的(de)(de)(de)。不同(tong)(tong)原子(zi)軌(gui)(gui)道(dao)(dao)具有(you)相(xiang)同(tong)(tong)能量(liang)(liang)的(de)(de)(de)現象(xiang)稱為(wei)能量(liang)(liang)簡并。
能量相同(tong)的(de)原子(zi)軌道(dao)稱為簡(jian)并軌道(dao)，其數目稱為簡(jian)并度。如p軌道(dao)有(you)3個(ge)簡(jian)并軌道(dao)，簡(jian)并度為3。簡(jian)并軌道(dao)在外磁(ci)場(chang)作用下會產生能量差異，這就是(shi)線狀譜(pu)在磁(ci)場(chang)下分(fen)裂的(de)原因。
粒(li)子(zi)的自旋也(ye)產生(sheng)角(jiao)動量(liang)，其(qi)大(da)小取(qu)決于(yu)自旋磁量(liang)子(zi)數（ms）。電子(zi)自旋角(jiao)動量(liang)是量(liang)子(zi)化的其(qi)值為(wei)(wei)，s為(wei)(wei)自旋量(liang)子(zi)數，自旋角(jiao)動量(liang)的一(yi)個分(fen)量(liang)Lsz應取(qu)下列(lie)分(fen)立值：。
原子光(guang)譜，在(zai)高分辨光(guang)譜儀(yi)下，每一條光(guang)線都(dou)是由兩條非常接近(jin)的(de)光(guang)譜線組成，為解釋這一現象(xiang)提出了粒(li)子的(de)自(zi)旋。電子的(de)自(zi)旋表示電子的(de)兩種(zhong)不同(tong)狀(zhuang)態，這兩種(zhong)狀(zhuang)態有不同(tong)的(de)自(zi)旋角(jiao)動量。
電(dian)子(zi)的自(zi)旋(xuan)不是機(ji)械的自(zi)身(shen)旋(xuan)轉，它是本(ben)身(shen)的內稟屬(shu)性，也是新(xin)的自(zi)由度，如質量和電(dian)荷一樣是它的內在屬(shu)性，電(dian)子(zi)的自(zi)旋(xuan)角動量：?/2。
希爾伯(bo)特空間與薛(xue)定諤方程
一般，物理(li)上(shang)將物理(li)狀(zhuang)態與希(xi)爾(er)伯(bo)(bo)特空(kong)間上(shang)的(de)向量（vector），物理(li)量與希(xi)爾(er)伯(bo)(bo)特空(kong)間上(shang)的(de)算(suan)符(fu)相對應。這種形(xing)式下的(de)薛定諤(e)方程為
H為哈密頓算符。這(zhe)(zhe)個(ge)方程在這(zhe)(zhe)個(ge)形式(shi)下充分顯示(shi)出了時間(jian)(jian)與空(kong)間(jian)(jian)的對(dui)應性（時間(jian)(jian)與能量相(xiang)對(dui)應，正如空(kong)間(jian)(jian)與動(dong)量相(xiang)對(dui)應，后述(shu)）。這(zhe)(zhe)種算符（物理量）不隨(sui)時間(jian)(jian)變化而狀態隨(sui)時間(jian)(jian)變化的對(dui)自然(ran)現象的描述(shu)方法被稱為薛定諤繪(hui)景(jing)，與之對(dui)應的是海森(sen)伯繪(hui)景(jing)。
空間坐標算符x與(yu)其對應的動(dong)量算符p滿(man)足以(yi)下交換關系(xi)：
所謂的(de)(de)薛定諤表示就(jiu)是將空間(jian)算符(fu)直(zhi)接作為x，而動量算符(fu)為下面的(de)(de)包含微(wei)分的(de)(de)微(wei)分算符(fu)：
精(jing)靈世(shi)界
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