芒果视频

勾股(gu)定理(li)(li)(li)(li)，是一個基本的(de)幾(ji)何定理(li)(li)(li)(li)，指直(zhi)角三角形(xing)的(de)兩(liang)條直(zhi)角邊的(de)平方(fang)和等于斜(xie)邊的(de)平方(fang)。中(zhong)國(guo)古代稱直(zhi)角三角形(xing)為勾股(gu)形(xing)，并(bing)且(qie)直(zhi)角邊中(zhong)較小者為勾，另一長(chang)直(zhi)角邊為股(gu)，斜(xie)邊為弦，所以稱這個定理(li)(li)(li)(li)為勾股(gu)定理(li)(li)(li)(li)，也有人(ren)稱商高定理(li)(li)(li)(li)。

勾(gou)股定(ding)(ding)理現(xian)約有(you)500種證明方法，是數(shu)(shu)學定(ding)(ding)理中(zhong)證明方法最多的(de)(de)定(ding)(ding)理之一。勾(gou)股定(ding)(ding)理是人類早期發現(xian)并證明的(de)(de)重(zhong)要(yao)數(shu)(shu)學定(ding)(ding)理之一，用代數(shu)(shu)思想(xiang)解決幾何問題的(de)(de)最重(zhong)要(yao)的(de)(de)工具之一，也是數(shu)(shu)形(xing)結合(he)的(de)(de)紐(niu)帶之一。

在(zai)(zai)中(zhong)國，周朝時期的(de)(de)商(shang)高提出了(le)“勾三股四弦(xian)五”的(de)(de)勾股定理(li)(li)的(de)(de)特例(li)。在(zai)(zai)西方(fang)，最早提出并證(zheng)明(ming)此定理(li)(li)的(de)(de)為公元前6世紀古(gu)希臘的(de)(de)畢達哥(ge)拉斯學派，他(ta)們(men)用演繹法證(zheng)明(ming)了(le)直角三角形斜邊平方(fang)等于(yu)兩直角邊平方(fang)之和。

定義

在平(ping)(ping)面上(shang)的(de)(de)一個直角(jiao)三角(jiao)形中，兩個直角(jiao)邊邊長的(de)(de)平(ping)(ping)方加(jia)起來等于斜邊長的(de)(de)平(ping)(ping)方。如(ru)果設直角(jiao)三角(jiao)形的(de)(de)兩條直角(jiao)邊長度分別是(shi)和，斜邊長度是(shi)，那(nei)么可以用數(shu)學語言表達：

勾股定(ding)理(li)是余弦定(ding)理(li)中的一(yi)個特例。

推導

趙爽弦圖

《周髀算經》中，趙爽描述(shu)此圖：“勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)各自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)，并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。開(kai)(kai)方(fang)(fang)除(chu)(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，即(ji)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。案玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)圖有可以(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)相乘(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)朱(zhu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二(er)，倍(bei)(bei)(bei)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)朱(zhu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)四。以(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)差(cha)(cha)(cha)(cha)自(zi)(zi)(zi)相乘(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)中黃實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。加差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)(yi)成玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，半(ban)(ban)其(qi)(qi)余(yu)(yu)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)從(cong)法(fa)，開(kai)(kai)方(fang)(fang)除(chu)(chu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，復得(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)矣。加差(cha)(cha)(cha)(cha)于(yu)(yu)(yu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)即(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。凡(fan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，即(ji)成玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。或(huo)矩于(yu)(yu)(yu)內，或(huo)方(fang)(fang)于(yu)(yu)(yu)外。形詭(gui)而(er)(er)量(liang)均，體殊而(er)(er)數(shu)齊。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩以(yi)(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)，股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)(er)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)里。減(jian)矩勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于(yu)(yu)(yu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。倍(bei)(bei)(bei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)在兩(liang)邊為(wei)(wei)(wei)從(cong)法(fa)，開(kai)(kai)矩勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角即(ji)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。加股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)除(chu)(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)除(chu)(chu)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)(yi)得(de)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)與勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)(bei)(bei)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)法(fa)。所(suo)得(de)亦(yi)(yi)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)，如法(fa)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)矩以(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)，勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)袤(mao)。而(er)(er)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)方(fang)(fang)其(qi)(qi)里，減(jian)矩股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)于(yu)(yu)(yu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。倍(bei)(bei)(bei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)在兩(liang)邊為(wei)(wei)(wei)從(cong)法(fa)，開(kai)(kai)矩股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)角，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。加勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)為(wei)(wei)(wei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)除(chu)(chu)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)得(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)。以(yi)(yi)(yi)(yi)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)除(chu)(chu)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)亦(yi)(yi)得(de)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)。令(ling)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)與股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)為(wei)(wei)(wei)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。倍(bei)(bei)(bei)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)為(wei)(wei)(wei)法(fa)。所(suo)得(de)亦(yi)(yi)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)。股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)如法(fa)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)，兩(liang)差(cha)(cha)(cha)(cha)相乘(cheng)(cheng)倍(bei)(bei)(bei)而(er)(er)開(kai)(kai)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，所(suo)得(de)以(yi)(yi)(yi)(yi)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)增之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。以(yi)(yi)(yi)(yi)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)差(cha)(cha)(cha)(cha)增之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。兩(liang)差(cha)(cha)(cha)(cha)增之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)弦。倍(bei)(bei)(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)列勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)，見并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)者(zhe)(zhe)，以(yi)(yi)(yi)(yi)圖考之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，倍(bei)(bei)(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)滿外大方(fang)(fang)而(er)(er)多黃實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。黃實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)多，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)，得(de)外大方(fang)(fang)。大方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)也。令(ling)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)，倍(bei)(bei)(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)乃(nai)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)，得(de)中黃方(fang)(fang)。黃方(fang)(fang)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)面，即(ji)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)差(cha)(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)減(jian)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)(er)半(ban)(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)。加差(cha)(cha)(cha)(cha)于(yu)(yu)(yu)并(bing)(bing)(bing)(bing)(bing)而(er)(er)半(ban)(ban)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)為(wei)(wei)(wei)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)。其(qi)(qi)倍(bei)(bei)(bei)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)袤(mao)合(he)。令(ling)勾(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)(gou)股(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)(gu)見者(zhe)(zhe)自(zi)(zi)(zi)乘(cheng)(cheng)為(wei)(wei)(wei)其(qi)(qi)實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)。四實(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以(yi)(yi)(yi)(yi)減(jian)之(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，開(kai)(kai)其(qi)(qi)余(yu)(yu)，所(suo)得(de)為(wei)(wei)(wei)差(cha)(cha)(cha)(cha)。以(yi)(yi)(yi)(yi)差(cha)(cha)(cha)(cha)減(jian)合(he)半(ban)(ban)其(qi)(qi)余(yu)(yu)為(wei)(wei)(wei)廣(guang)(guang)。減(jian)廣(guang)(guang)于(yu)(yu)(yu)玄(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)(xuan)即(ji)所(suo)求(qiu)也。”

用現代的數學語言描述(shu)就是黃實的面(mian)積等于大正方(fang)形的面(mian)積減去(qu)四個(ge)朱實的面(mian)積。

2002年第24屆國(guo)際數學(xue)家(jia)大會（ICM）的會標即為該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證(zheng)出此(ci)結論5年(nian)后，成為(wei)美國第20任總統，所以人們又稱其為(wei)“總統證(zheng)法”。

在直(zhi)角(jiao)梯形(xing)ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，，

∵

加(jia)菲爾德(de)證法變(bian)式

該證(zheng)(zheng)明(ming)為加菲爾(er)德證(zheng)(zheng)法的變式。

如果(guo)將大(da)正方形邊長為(wei)c的小正方形沿對角(jiao)線切開，則回到(dao)了加菲爾(er)德證(zheng)(zheng)法。相反，若(ruo)將上圖(tu)中(zhong)兩個(ge)梯(ti)形拼在一起，就變為(wei)了此證(zheng)(zheng)明方法。

大正方形的(de)面(mian)積等(deng)于(yu)中間(jian)正方形的(de)面(mian)積加上四個三(san)角形的(de)面(mian)積，即：

青朱出入圖

青朱出入(ru)圖，是(shi)東漢(han)末年數學家劉徽(hui)根據(ju)“割補術”運(yun)用數形關(guan)系證明(ming)勾股定(ding)理的幾何證明(ming)法，特色鮮(xian)明(ming)、通俗易懂。

劉(liu)徽(hui)描述(shu)此圖，“勾自乘為(wei)朱方(fang)(fang)(fang)(fang)，股(gu)自乘為(wei)青方(fang)(fang)(fang)(fang)，令出入相補，各(ge)從其(qi)類，因就其(qi)余不動也，合成(cheng)弦(xian)(xian)(xian)方(fang)(fang)(fang)(fang)之冪。開方(fang)(fang)(fang)(fang)除之，即(ji)(ji)弦(xian)(xian)(xian)也。”其(qi)大(da)意為(wei)，一個任意直角三角形，以(yi)勾寬(kuan)作紅色正(zheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)形即(ji)(ji)朱方(fang)(fang)(fang)(fang)，以(yi)股(gu)長作青色正(zheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)形即(ji)(ji)青方(fang)(fang)(fang)(fang)。將朱方(fang)(fang)(fang)(fang)、青方(fang)(fang)(fang)(fang)兩個正(zheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)形對齊底邊(bian)排(pai)列，再以(yi)盈(ying)補虛，分割線內不動，線外則“各(ge)從其(qi)類”，以(yi)合成(cheng)弦(xian)(xian)(xian)的正(zheng)方(fang)(fang)(fang)(fang)形即(ji)(ji)弦(xian)(xian)(xian)方(fang)(fang)(fang)(fang)，弦(xian)(xian)(xian)方(fang)(fang)(fang)(fang)開方(fang)(fang)(fang)(fang)即(ji)(ji)為(wei)弦(xian)(xian)(xian)長。

歐幾里得證法

在歐(ou)幾里(li)得的(de)《幾何原本》一書中給出勾(gou)股定理的(de)以下證明。設△ABC為(wei)(wei)一直(zhi)角三角形，其(qi)中A為(wei)(wei)直(zhi)角。從A點畫一直(zhi)線至對邊，使(shi)其(qi)垂直(zhi)于對邊。延長(chang)此(ci)線把(ba)對邊上的(de)正方形一分為(wei)(wei)二，其(qi)面積分別與其(qi)余(yu)兩個(ge)正方形相等。

在這個定理的(de)證明(ming)中，我(wo)們(men)需(xu)要如下四(si)個輔助定理：

如果兩(liang)(liang)個三角(jiao)(jiao)形(xing)(xing)有兩(liang)(liang)組對應邊和(he)這兩(liang)(liang)組邊所夾的角(jiao)(jiao)相等，則兩(liang)(liang)三角(jiao)(jiao)形(xing)(xing)全等。（SAS）

三(san)角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的(de)一半。

任(ren)意一個正方(fang)形的(de)面積(ji)等(deng)于其二邊長的(de)乘(cheng)積(ji)。

任意一個矩形的面(mian)積等于(yu)其二邊長的乘積（據(ju)輔助定理3）。

證明的(de)思(si)路為(wei)：從A點畫一(yi)直(zhi)線至對(dui)邊，使其垂直(zhi)于對(dui)邊。延(yan)長此線把對(dui)邊上的(de)正方(fang)形(xing)(xing)一(yi)分(fen)為(wei)二，把上方(fang)的(de)兩個正方(fang)形(xing)(xing)，通過等(deng)(deng)高同底的(de)三角形(xing)(xing)，以其面積關系，轉換成下(xia)方(fang)兩個同等(deng)(deng)面積的(de)長方(fang)形(xing)(xing)。

設△ABC為一直角三角形(xing)，其(qi)直角為∠CAB。

其(qi)邊為BC、AB和CA，依序繪(hui)成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

畫出過點A之BD、CE的(de)平行線，分別垂直BC和DE于K、L。

分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是(shi)直角(jiao)，因此C、A和G共(gong)(gong)線，同理可證(zheng)B、A和H共(gong)(gong)線。

∠CBD和∠FBA都是直(zhi)角，所以∠ABD=∠FBC。

因(yin)為AB=FB，BD=BC，所以(yi)△ABD≌△FBC。

因為A與(yu)K和L在(zai)同(tong)一直線上(shang)，所以四(si)邊形(xing)BDLK=2△ABD。

因為C、A和G在同一(yi)直線(xian)上，所以(yi)正(zheng)方形(xing)BAGF=2△FBC。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC2。

把(ba)這兩個結(jie)果相加，AB2+AC2=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是個(ge)正(zheng)方形，因此(ci)AB2+AC2=BC2，即(ji)a2+b2=c2。

此證明(ming)是于歐(ou)幾(ji)里得《幾(ji)何原本(ben)》一書第1.47節所提出的。

由于這個(ge)(ge)定理(li)(li)(li)的證明依賴于平(ping)行公(gong)(gong)理(li)(li)(li)，而(er)且從(cong)這個(ge)(ge)定理(li)(li)(li)可以(yi)推出(chu)平(ping)行公(gong)(gong)理(li)(li)(li)，很多人質疑(yi)平(ping)行公(gong)(gong)理(li)(li)(li)是(shi)這個(ge)(ge)定理(li)(li)(li)的必要條件，一直到十(shi)九世紀(ji)嘗試否定第五公(gong)(gong)理(li)(li)(li)的非歐幾何出(chu)現。

推廣

勾股數組

勾(gou)股(gu)(gu)數組是滿足勾(gou)股(gu)(gu)定(ding)理的(de)正整數組，其(qi)中的(de)稱(cheng)為勾(gou)股(gu)(gu)數。例(li)如就是一(yi)組勾(gou)股(gu)(gu)數組。

任意(yi)一組勾(gou)股數可以表示為如下形式：，，，其中均為正整數，且。

定理用途

已知直(zhi)(zhi)(zhi)角(jiao)(jiao)(jiao)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)兩邊(bian)求解第三(san)(san)邊(bian)，或者已知三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)的三(san)(san)邊(bian)長(chang)度，證(zheng)明該三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)為(wei)直(zhi)(zhi)(zhi)角(jiao)(jiao)(jiao)三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)或用來證(zheng)明該三(san)(san)角(jiao)(jiao)(jiao)形(xing)內(nei)兩邊(bian)垂直(zhi)(zhi)(zhi)。利用勾(gou)股定(ding)理(li)求線段長(chang)度這是勾(gou)股定(ding)理(li)的最(zui)基本運用。

簡史

中國

公(gong)(gong)元前(qian)(qian)十一世(shi)紀，數學家商(shang)高（西周(zhou)初年人(ren)(ren)）就(jiu)提出(chu)“勾(gou)三(san)(san)、股四(si)、弦五(wu)(wu)”。編(bian)寫于公(gong)(gong)元前(qian)(qian)一世(shi)紀以前(qian)(qian)的(de)《周(zhou)髀(bi)算經》中記錄(lu)著商(shang)高與周(zhou)公(gong)(gong)的(de)一段對話。商(shang)高說(shuo)：“……故(gu)折矩，勾(gou)廣三(san)(san)，股修四(si)，經隅(yu)五(wu)(wu)。”意(yi)為(wei)：當直角三(san)(san)角形的(de)兩條直角邊分別為(wei)3（勾(gou)）和4（股）時，徑隅(yu)（弦）則為(wei)5。以后人(ren)(ren)們(men)就(jiu)簡單地(di)把(ba)這個(ge)事實說(shuo)成“勾(gou)三(san)(san)股四(si)弦五(wu)(wu)”，根據(ju)該(gai)典故(gu)稱(cheng)勾(gou)股定理為(wei)商(shang)高定理。

公元三世紀(ji)，三國時(shi)代的趙(zhao)爽對(dui)《周(zhou)髀算經》內(nei)的勾(gou)股(gu)定(ding)理作(zuo)出(chu)了(le)詳(xiang)細注釋，記錄(lu)于《九(jiu)章算術》中(zhong)“勾(gou)股(gu)各(ge)自乘，并(bing)而開方(fang)(fang)(fang)除(chu)之，即弦”，趙(zhao)爽創制(zhi)了(le)一幅“勾(gou)股(gu)圓方(fang)(fang)(fang)圖”，用數形結合得到方(fang)(fang)(fang)法，給出(chu)了(le)勾(gou)股(gu)定(ding)理的詳(xiang)細證明。后劉(liu)徽在劉(liu)徽注中(zhong)亦證明了(le)勾(gou)股(gu)定(ding)理。

在中(zhong)國清朝末年，數學家華(hua)蘅芳提出了二(er)十多種對于勾(gou)股定理證法。

外國

遠在公元前約三千年的古(gu)巴(ba)比倫人(ren)就知道和應用勾(gou)股(gu)(gu)定理(li)(li)，他們還知道許多勾(gou)股(gu)(gu)數(shu)組。美國哥倫比亞大學圖書館(guan)內收藏著一塊編號為“普林頓(dun)322”的古(gu)巴(ba)比倫泥板，上面就記載了很多勾(gou)股(gu)(gu)數(shu)。古(gu)埃(ai)及人(ren)在建(jian)筑(zhu)宏偉的金字塔和測量尼羅河(he)泛濫后的土地時(shi)，也應用過勾(gou)股(gu)(gu)定理(li)(li)。

公元前六世紀，希臘數學家(jia)畢(bi)達哥(ge)拉斯證(zheng)明(ming)了勾股定(ding)理，因而西方人都習(xi)慣地稱(cheng)這個定(ding)理為畢(bi)達哥(ge)拉斯定(ding)理。

公元前4世紀(ji)，希臘數學家歐幾(ji)里得(de)在《幾(ji)何(he)原本》（第Ⅰ卷，命(ming)題(ti)47）中給出(chu)一個證明。

1876年4月(yue)1日(ri)，加菲(fei)爾德在《新英格(ge)蘭(lan)教育日(ri)志》上發表了他(ta)對勾(gou)股定理的一個證法。

1940年《畢達哥(ge)拉斯命(ming)題》出版，收(shou)集了367種不同的證法。

意義

1．勾(gou)股定理的(de)證明是論(lun)證幾何(he)的(de)發端。

2．勾股定(ding)理是歷史上第一(yi)個(ge)把(ba)數(shu)與(yu)形聯系(xi)起(qi)來的定(ding)理，即(ji)它是第一(yi)個(ge)把(ba)幾何與(yu)代數(shu)聯系(xi)起(qi)來的定(ding)理。

3．勾(gou)股(gu)定理(li)(li)導(dao)致了(le)無理(li)(li)數的(de)發現，引起第一(yi)次數學危機，大大加深(shen)了(le)人們對數的(de)理(li)(li)解。

4．勾股定理(li)是(shi)歷史上第(di)一(yi)個給出(chu)了完全解(jie)答的不(bu)定方程，它引出(chu)了費馬大定理(li)。

5．勾股(gu)定(ding)理(li)是(shi)歐(ou)氏幾何(he)的(de)(de)基礎(chu)定(ding)理(li)，并有巨大的(de)(de)實用價(jia)值。這(zhe)條定(ding)理(li)不(bu)僅(jin)在(zai)幾何(he)學(xue)中(zhong)是(shi)一顆光彩奪目的(de)(de)明珠，被譽為“幾何(he)學(xue)的(de)(de)基石”，而且在(zai)高等數學(xue)和其(qi)他科學(xue)領域(yu)也(ye)有著(zhu)廣泛的(de)(de)應用。1971年5月(yue)15日(ri)，尼加拉瓜發行了(le)一套(tao)題為“改變世界面(mian)貌的(de)(de)十個數學(xue)公(gong)式(shi)”郵票，這(zhe)十個數學(xue)公(gong)式(shi)由著(zhu)名數學(xue)家選(xuan)出的(de)(de)，勾股(gu)定(ding)理(li)是(shi)其(qi)中(zhong)之首(shou)。