傅里葉變換(huan)，表(biao)(biao)示(shi)能(neng)將滿足(zu)一定條件的某個函數(shu)表(biao)(biao)示(shi)成(cheng)三角函數(shu)（正弦和/或余弦函數(shu)）或者(zhe)它們的積分的線(xian)性(xing)組(zu)合。
在不同(tong)的(de)研究領(ling)域，傅里葉變換具有多種不同(tong)的(de)變體形式，如連續傅里葉變換和離散(san)傅里葉變換。最初傅里葉分(fen)析(xi)(xi)是作為熱過程的(de)解析(xi)(xi)分(fen)析(xi)(xi)的(de)工具被提出(chu)的(de)。
設f∈，則(ze)其(qi)傅里(li)葉變(bian)換(huan)為上(shang)的函數，定義為
且稱為傅里葉級數。
收斂性
f到(dao)的傅里葉映射為(wei)，且，且f的傅里葉級數在L2范數下(xia)收斂于f。
對稱性質
若 ，則。
奇偶性質
若 ，且(qie) ，其中 表示(shi) 的(de)(de)實(shi)部(bu)(bu)， 表示(shi) 的(de)(de)虛部(bu)(bu)，則 是關于 的(de)(de)偶函數(shu)，的(de)(de)模是關于的(de)(de)偶函數(shu)，輻(fu)角是關于的(de)(de)奇函數(shu)。
線性性質
若，，則
其中α和(he)β為常數(shu)。
時移性質
若，則。
頻移性質
若，則。
尺度變換性質
若，則。
卷積定理
時域卷積定理：若(ruo)，，則；
頻(pin)域卷(juan)積定理(li)：若，，則。
時域微積分
微(wei)分性質：若(ruo)，則(ze)，；
積(ji)分性質(zhi)：若(ruo)，則。
頻域微積分
微(wei)分性(xing)質：若(ruo)，則；
積分性質：若，則。
盡管最初傅里(li)葉分(fen)析(xi)是(shi)(shi)作為熱過程(cheng)的(de)解析(xi)分(fen)析(xi)的(de)工具，但是(shi)(shi)其思想(xiang)方法仍然具有(you)典型的(de)還原論和(he)分(fen)析(xi)主義的(de)特征。"任意"的(de)函(han)(han)(han)數通(tong)過一定的(de)分(fen)解，都能夠表示為正(zheng)弦函(han)(han)(han)數的(de)線性組合的(de)形(xing)式，而正(zheng)弦函(han)(han)(han)數在物(wu)理上是(shi)(shi)被充分(fen)研(yan)究而相對簡單(dan)的(de)函(han)(han)(han)數類，這(zhe)一想(xiang)法跟化學(xue)上的(de)原子論想(xiang)法何其相似！奇妙的(de)是(shi)(shi)，現代(dai)數學(xue)發現傅里(li)葉變換具有(you)非常(chang)好的(de)性質，使(shi)得(de)它(ta)如(ru)此的(de)好用和(he)有(you)用，讓(rang)人不得(de)不感嘆造物(wu)的(de)神(shen)奇：
傅(fu)里葉變換是(shi)線性算子，若(ruo)賦(fu)予適當(dang)的(de)范數(shu)，它還(huan)是(shi)酉(you)算子；
傅里葉變(bian)換(huan)的逆變(bian)換(huan)容易(yi)求出，而且形式與正(zheng)變(bian)換(huan)非常類似；
正弦(xian)基函數(shu)(shu)是微分運算的(de)(de)本征函數(shu)(shu)，從而使得線性(xing)微分方程(cheng)的(de)(de)求解(jie)可(ke)以(yi)轉化為常(chang)系數(shu)(shu)的(de)(de)代數(shu)(shu)方程(cheng)的(de)(de)求解(jie).在線性(xing)時(shi)不(bu)變的(de)(de)物理(li)系統(tong)內，頻(pin)率(lv)是個不(bu)變的(de)(de)性(xing)質，從而系統(tong)對于復雜激勵的(de)(de)響(xiang)應(ying)可(ke)以(yi)通過組合其對不(bu)同頻(pin)率(lv)正弦(xian)信號的(de)(de)響(xiang)應(ying)來(lai)獲取；
著名(ming)的(de)卷積(ji)定(ding)理指(zhi)出：傅里葉變換可以化復雜的(de)卷積(ji)運(yun)算(suan)為簡(jian)單的(de)乘積(ji)運(yun)算(suan)，從而提供了(le)計算(suan)卷積(ji)的(de)一種(zhong)簡(jian)單手段；
離散形(xing)式的傅里(li)葉(xie)變換可以利(li)用數字計(ji)算(suan)機快速的算(suan)出（其(qi)算(suan)法(fa)(fa)稱為快速傅里(li)葉(xie)變換算(suan)法(fa)(fa)（FFT)).
正是(shi)由于上述的良(liang)好性質，傅(fu)里葉變換在物理(li)學(xue)(xue)、數論、組合數學(xue)(xue)、信號處理(li)、概率、統(tong)計(ji)、密碼學(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)、光學(xue)(xue)等領(ling)域(yu)都(dou)有(you)著廣泛的應用。
傅(fu)里(li)葉變(bian)換是數字信號處理(li)中的(de)(de)基(ji)本(ben)(ben)操(cao)作，廣泛應用于(yu)表述及分析離散時(shi)(shi)域(yu)信號領域(yu)。但由于(yu)其運算(suan)量與變(bian)換點(dian)數N的(de)(de)平(ping)方(fang)成正比關系，因此，在N較(jiao)大時(shi)(shi)，直接應用DFT算(suan)法進行譜(pu)變(bian)換是不切合實際的(de)(de)。然而(er)，快速傅(fu)里(li)葉變(bian)換技術的(de)(de)出現(xian)使情況發生了(le)根(gen)本(ben)(ben)性的(de)(de)變(bian)化。本(ben)(ben)文主要描述了(le)采用FPGA來實現(xian)2k/4k/8k點(dian)FFT的(de)(de)設計方(fang)法。
一般(ban)情況下，N點的傅里葉變換對為：
其中，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和(he)(he)x(n）都(dou)為復(fu)數。與之相對(dui)的快速(su)傅里葉變換(huan)有(you)(you)很多種，如DIT（時域抽(chou)取(qu)法(fa)）、DIF（頻(pin)域抽(chou)取(qu)法(fa)）、Cooley－Tukey和(he)(he)Winograd等(deng)。對(dui)于2n傅里葉變換(huan)，Cooley－Tukey算(suan)法(fa)可導出DIT和(he)(he)DIF算(suan)法(fa)。本文運用的基(ji)本思(si)想是Cooley－Tukey算(suan)法(fa)，即將高(gao)點(dian)數的傅里葉變換(huan)通過多重低(di)點(dian)數傅里葉變換(huan)來實現。雖然DIT與DIF有(you)(you)差別，但(dan)由于它(ta)們在本質(zhi)上都(dou)是一種基(ji)于標(biao)號分解的算(suan)法(fa)，故在運算(suan)量(liang)和(he)(he)算(suan)法(fa)復(fu)雜(za)性等(deng)方(fang)面完全一樣，而沒有(you)(you)性能上的優劣之分，所以(yi)可以(yi)根據需要(yao)任取(qu)其中一種，本文主要(yao)以(yi)DIT方(fang)法(fa)為對(dui)象(xiang)來討論。
N=8192點DFT的運算表達式(shi)為：
式中，m=(4n1+n2)(2048k1+k2)(n=4n1+n2，k=2048k1+k2）其中n1和k2可(ke)取0,1，．．．，2047,k1和n2可(ke)取0,1,2,3。
由(you)式（3）可知，8k傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)4×2k的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)(gou)(gou)成(cheng)。同理，4k傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)2×2k的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)(gou)(gou)成(cheng)。而2k傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)128×16的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)(gou)(gou)成(cheng)。128的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可進一步由(you)16×8的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)(gou)(gou)成(cheng)，歸根結底，整個(ge)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)可由(you)基(ji)(ji)(ji)(ji)2、基(ji)(ji)(ji)(ji)4的(de)傅(fu)里(li)葉(xie)(xie)(xie)變(bian)(bian)換(huan)(huan)構(gou)(gou)(gou)(gou)成(cheng)。2k的(de)FFT可以通過(guo)(guo)5個(ge)基(ji)(ji)(ji)(ji)4和(he)1個(ge)基(ji)(ji)(ji)(ji)2變(bian)(bian)換(huan)(huan)來(lai)實(shi)現；4k的(de)FFT變(bian)(bian)換(huan)(huan)可通過(guo)(guo)6個(ge)基(ji)(ji)(ji)(ji)4變(bian)(bian)換(huan)(huan)來(lai)實(shi)現；8k的(de)FFT可以通過(guo)(guo)6個(ge)基(ji)(ji)(ji)(ji)4和(he)1個(ge)基(ji)(ji)(ji)(ji)2變(bian)(bian)換(huan)(huan)來(lai)實(shi)現。也(ye)就是說：FFT的(de)基(ji)(ji)(ji)(ji)本結構(gou)(gou)(gou)(gou)可由(you)基(ji)(ji)(ji)(ji)2/4模塊(kuai)、復數乘法(fa)器(qi)、存儲單元和(he)存儲器(qi)控制模塊(kuai)構(gou)(gou)(gou)(gou)成(cheng)，其整體(ti)結構(gou)(gou)(gou)(gou)如(ru)圖1所示(shi)。
RAM用來(lai)存儲(chu)輸(shu)入數據、運(yun)算(suan)過程中(zhong)(zhong)的中(zhong)(zhong)間(jian)結果以(yi)及運(yun)算(suan)完成后的數據，ROM用來(lai)存儲(chu)旋轉因子表。蝶形運(yun)算(suan)單(dan)元即(ji)為基2/4模塊(kuai)，控制模塊(kuai)可(ke)用于產生控制時序及地址(zhi)信號，以(yi)控制中(zhong)(zhong)間(jian)運(yun)算(suan)過程及最后輸(shu)出結果。
基4和基2的信號(hao)流(liu)如圖(tu)2所(suo)示。圖(tu)中，若A=r0+j*i0，B=r1+j*i1，C=r2+j*i2，D=r3+j*i3是要進行(xing)變換的信號(hao)，Wk0=c0+j*s0=1，Wk1=c1+j*s1，Wk2=c2+j*s2，Wk3=c3+j*s3為旋(xuan)轉因(yin)子，將其(qi)分(fen)別(bie)代入圖(tu)2中的基4蝶形運算單元，則有(you)：
A′=[r0+(r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2)+(r3×c3－i3×s3)]+j[i0+(i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]? （4）
B′=[r0+(i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3+r3×s3)]+j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2)+(r3×c3－i3×s3)] (5）
C′=[r0－（r1×c1－i1×s1)+(r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]+j[i0－（i1×c1+r1×s1)+(i2×c2+r2×s2）－（i3×c3+r3×s3)] （6）
D′=[r0－（i1×c1+r1×s1）－（r2×c2－i2×s2)+(i3×c3+r3×s3)]+j[i0+(r1×c1－i1×s1）－（i2×c2+r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）
而在(zai)基2蝶形(xing)中(zhong)，Wk0和(he)Wk2的(de)(de)值(zhi)均(jun)為1，這(zhe)樣，將A，B，C和(he)D的(de)(de)表達式代入圖2中(zhong)的(de)(de)基2運算(suan)的(de)(de)四個等式中(zhong)，則有：
A′=r0+(r1×c1－i1×s1)+j[i0+(i1×c1+r1×s1)]? （8）
B′=r0－ (r1×c1－i1×s1)+j[i0－（i1×c1+r1×s1)] （9）
C′=r2+(r3×c3－i3×s3)+j[i0+(i3×c3+r3×s3)]? （10）
D′=r2－（r3×c3－i3×s3)+j[i0－（i3×c3+r3×s3)]? （11）
在上述(shu)式(shi)（4）～（11）中(zhong)有(you)很多類同(tong)項，如i1×c1+r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅(jin)僅(jin)是加減(jian)號的(de)不同(tong)，其結構和運算(suan)均類似，這就為簡化電路提供了可(ke)能。同(tong)時，在蝶形運算(suan)中(zhong)，復數(shu)(shu)乘(cheng)法(fa)可(ke)以(yi)由實(shi)數(shu)(shu)乘(cheng)法(fa)以(yi)一定的(de)格(ge)式(shi)來表示，這也為設(she)計(ji)復數(shu)(shu)乘(cheng)法(fa)器提供了一種(zhong)實(shi)現的(de)途(tu)徑。
以基4為例，在(zai)(zai)其運算單元中，實際上(shang)只(zhi)(zhi)需做三個復(fu)數乘法(fa)運算，即(ji)只(zhi)(zhi)須計算BWk1、CWk2和DWk3的值即(ji)可，這(zhe)樣在(zai)(zai)一(yi)(yi)個基4蝶形單元里面，最多只(zhi)(zhi)需要3個復(fu)數乘法(fa)器(qi)就可以了。在(zai)(zai)實際過程中，在(zai)(zai)不提高時(shi)鐘(zhong)頻率(lv)下，只(zhi)(zhi)要將時(shi)序(xu)控(kong)制好?便可利用流水線（Pipeline）技術并(bing)只(zhi)(zhi)用一(yi)(yi)個復(fu)數乘法(fa)器(qi)就可完(wan)成這(zhe)三個復(fu)數乘法(fa)，大大節省了硬件資源。
FFT變換后輸出的結果通(tong)常為一特定(ding)的倒序。因此，幾級變換后對地址的控制(zhi)必(bi)須準確無誤(wu)。
倒(dao)序(xu)的(de)規(gui)律(lv)是和分解的(de)方(fang)式密切(qie)相關(guan)的(de)，以基(ji)8為例，其基(ji)本(ben)倒(dao)序(xu)規(gui)則如下：
基(ji)8可(ke)以用2×2×2三級基(ji)2變(bian)(bian)換來(lai)表示，則(ze)其輸入順序則(ze)可(ke)用二進制序列（n1 n2 n3）來(lai)表示，變(bian)(bian)換結束后，其順序將變(bian)(bian)為(wei)（n3 n2 n1），如：X?011 → x?110 ，即輸入順序為(wei)3，輸出(chu)時順序變(bian)(bian)為(wei)6。
更(geng)進(jin)一(yi)步，對于基16的變(bian)(bian)換，可由2×2×2×2，4×4，4×2×2等形式(shi)來(lai)構成(cheng)，相對于不(bu)同(tong)的分解形式(shi)，往往會有不(bu)同(tong)的倒序(xu)(xu)方式(shi)。以4×4為(wei)例，其輸(shu)(shu)入(ru)(ru)順序(xu)(xu)可以用二進(jin)制(zhi)序(xu)(xu)列（n1 n2 n3n4）來(lai)表(biao)示變(bian)(bian)換結束后，其順序(xu)(xu)可變(bian)(bian)為(wei)（（n3 n4）（n1 n2）），如(ru)：X?0111 → x?1101 。即輸(shu)(shu)入(ru)(ru)順序(xu)(xu)為(wei)7，輸(shu)(shu)出時順序(xu)(xu)變(bian)(bian)為(wei)13。
在2k/4k/8k的傅里葉變換中，由于要經(jing)過多次的基4和基2運算，因此，從每次運算完成后(hou)到進入下(xia)一次運算前，應對運算的結果進行倒序，以保證運算的正確性(xing)。
N點傅里葉變換的(de)旋轉因子有著明(ming)顯的(de)周期(qi)性(xing)和對稱性(xing)。其周期(qi)性(xing)表現為：
FFT之所以可使(shi)運(yun)算效率(lv)得到(dao)提高，就是利(li)用了對稱性和周期性把(ba)長(chang)序列(lie)的DFT逐級分解成(cheng)幾個序列(lie)的DFT，并最終以短點(dian)(dian)數變換來實現長(chang)點(dian)(dian)數變換。
根據旋(xuan)轉(zhuan)因(yin)(yin)(yin)子(zi)的(de)(de)對稱性和周期(qi)性，在(zai)利用(yong)ROM存(cun)儲(chu)旋(xuan)轉(zhuan)因(yin)(yin)(yin)子(zi)時(shi)，可(ke)以只存(cun)儲(chu)旋(xuan)轉(zhuan)因(yin)(yin)(yin)子(zi)表的(de)(de)一部分，而在(zai)讀出時(shi)增加讀出地址及(ji)符號(hao)的(de)(de)控制，這樣可(ke)以正確實(shi)現FFT。因(yin)(yin)(yin)此，充分利用(yong)旋(xuan)轉(zhuan)因(yin)(yin)(yin)子(zi)的(de)(de)性質，可(ke)節省70%以上存(cun)儲(chu)單元。
實(shi)際上，由于旋轉(zhuan)因子(zi)可分解為(wei)正、余弦函數(shu)的組合(he)，故ROM中(zhong)存的值為(wei)正、余弦函數(shu)值的組合(he)。對2k/4k/8k的傅里葉變換來說(shuo)，只(zhi)是對一個周期進行不同(tong)的分割。由于8k變換的旋轉(zhuan)因子(zi)包(bao)括了2k/4k的所(suo)有因子(zi)，因此，實(shi)現時(shi)只(zhi)要對讀ROM的地址進行控制，即可實(shi)現2k/4k/8k變換的通用。
因FFT是為時序電(dian)路而(er)設計的(de)(de)，因此，控(kong)制信(xin)號要包括時序的(de)(de)控(kong)制信(xin)號及存儲器的(de)(de)讀寫地址，并產(chan)生(sheng)各種輔助的(de)(de)指(zhi)示(shi)信(xin)號。同時在(zai)計算模塊的(de)(de)內部，為保(bao)證高速，所(suo)有(you)的(de)(de)乘法(fa)器都須(xu)始終(zhong)保(bao)持較高的(de)(de)利用率(lv)。這意味著在(zai)每一個時鐘來臨時都要向這些單元(yuan)輸入新的(de)(de)操(cao)作數，而(er)這一切都需要控(kong)制信(xin)號的(de)(de)緊(jin)密配合。
為了實(shi)現FFT的(de)(de)(de)流形運(yun)(yun)算(suan)(suan)，在運(yun)(yun)算(suan)(suan)的(de)(de)(de)同時(shi)，存(cun)(cun)儲器(qi)也(ye)要接收(shou)(shou)數據。這可(ke)以(yi)采(cai)用乒乓(pang)RAM的(de)(de)(de)方法(fa)來完成(cheng)。這種方式(shi)決定了實(shi)現FFT運(yun)(yun)算(suan)(suan)的(de)(de)(de)最大時(shi)間。對于4k操作，其接收(shou)(shou)時(shi)間為4096個(ge)數據周期(qi),這樣FFT的(de)(de)(de)最大運(yun)(yun)算(suan)(suan)時(shi)間就是4096個(ge)數據周期(qi)。另(ling)外，由于輸(shu)入(ru)(ru)數據是以(yi)一定的(de)(de)(de)時(shi)鐘為周期(qi)依(yi)次輸(shu)入(ru)(ru)的(de)(de)(de)，故在進行內(nei)部運(yun)(yun)算(suan)(suan)時(shi)，可(ke)以(yi)用較(jiao)高的(de)(de)(de)內(nei)部時(shi)鐘進行運(yun)(yun)算(suan)(suan)，然(ran)后再存(cun)(cun)入(ru)(ru)RAM依(yi)次輸(shu)出。
為(wei)節省資源，可對存儲數(shu)據(ju)RAM采用原址讀(du)出(chu)原址寫入的方法，即(ji)在進行下一級變換的同時，首先應(ying)將結果回寫到讀(du)出(chu)數(shu)據(ju)的RAM存貯器(qi)中；而對于ROM，則(ze)應(ying)采用與運(yun)算的數(shu)據(ju)相對應(ying)的方法來讀(du)出(chu)存儲器(qi)中旋轉因子的值。
在2k/4k/8k傅里葉變(bian)換中(zhong)，要(yao)實現通用(yong)性，控(kong)制器是最主要(yao)的(de)模塊。2k、4k、8k變(bian)換具有不同的(de)內部運算時(shi)間和存儲器地(di)址，在設計中(zhong)，針對不同的(de)點數應設計不同的(de)存儲器存取地(di)址，同時(shi)，在完成(cheng)變(bian)換后(hou)，還要(yao)對開始輸(shu)出有用(yong)信號的(de)時(shi)刻進行(xing)指示。
Fourier transform或Transformée de Fourier有(you)多(duo)個中文(wen)譯名，常見的有(you)“傅里葉(xie)變換(huan)(huan)”、“付立葉(xie)變換(huan)(huan)”、“傅立葉(xie)轉換(huan)(huan)”、“傅氏轉換(huan)(huan)”、“傅氏變換(huan)(huan)”、等(deng)(deng)等(deng)(deng)。
傅(fu)里(li)葉變換是一(yi)種分(fen)(fen)(fen)析(xi)信號的方法，它可(ke)分(fen)(fen)(fen)析(xi)信號的成(cheng)分(fen)(fen)(fen)，也(ye)可(ke)用這些成(cheng)分(fen)(fen)(fen)合成(cheng)信號。許多波(bo)形可(ke)作為信號的成(cheng)分(fen)(fen)(fen)，比(bi)如正(zheng)弦(xian)波(bo)、方波(bo)、鋸齒波(bo)等(deng)，傅(fu)里(li)葉變換用正(zheng)弦(xian)波(bo)作為信號的成(cheng)分(fen)(fen)(fen)。
f(t)是(shi)t的(de)周(zhou)(zhou)期(qi)函數(shu)，如果t滿足狄利克(ke)雷條件(jian)：在(zai)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)以(yi)2T為周(zhou)(zhou)期(qi)內f(X)連續或只有(you)有(you)限(xian)個(ge)(ge)(ge)(ge)第一(yi)類間(jian)斷點，附f（x）單調或可劃分成有(you)限(xian)個(ge)(ge)(ge)(ge)單調區間(jian)，則(ze)F（x）以(yi)2T為周(zhou)(zhou)期(qi)的(de)傅(fu)里葉級數(shu)收(shou)斂，和(he)函數(shu)S（x）也是(shi)以(yi)2T為周(zhou)(zhou)期(qi)的(de)周(zhou)(zhou)期(qi)函數(shu)，且在(zai)這些間(jian)斷點上，函數(shu)是(shi)有(you)限(xian)值(zhi)；在(zai)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)周(zhou)(zhou)期(qi)內具有(you)有(you)限(xian)個(ge)(ge)(ge)(ge)極值(zhi)點；絕對(dui)可積。則(ze)有(you)下圖①式成立。稱為積分運(yun)算f(t)的(de)傅(fu)里葉變換，
②式的積分運算叫做F(ω)的傅里葉(xie)逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數，f(t)叫做
F(ω)的(de)象(xiang)(xiang)原函數。F(ω)是(shi)(shi)f(t)的(de)象(xiang)(xiang)。f(t)是(shi)(shi)F(ω)原象(xiang)(xiang)。
①傅里葉變換
②傅里葉逆變換
傅里(li)葉變(bian)換在物理學(xue)(xue)(xue)(xue)、電(dian)子類學(xue)(xue)(xue)(xue)科、數(shu)論、組合數(shu)學(xue)(xue)(xue)(xue)、信(xin)(xin)號(hao)處(chu)理、概率(lv)論、統計學(xue)(xue)(xue)(xue)、密碼學(xue)(xue)(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)(xue)(xue)、光學(xue)(xue)(xue)(xue)、海洋(yang)學(xue)(xue)(xue)(xue)、結構動(dong)力學(xue)(xue)(xue)(xue)等領域都(dou)有著廣泛的應用(yong)（例如在信(xin)(xin)號(hao)處(chu)理中，傅里(li)葉變(bian)換的典型用(yong)途(tu)是將信(xin)(xin)號(hao)分(fen)解成頻率(lv)譜——顯示與頻率(lv)對應的幅值(zhi)大小）。
* 傅里葉變換屬于諧波分析。
* 傅里葉變換(huan)(huan)的逆變換(huan)(huan)容(rong)易求出，而且(qie)形式與(yu)正變換(huan)(huan)非常類(lei)似;
* 正弦(xian)基函數是微分運算的(de)本(ben)征函數，從(cong)而(er)使(shi)得線(xian)性微分方程的(de)求解可(ke)以轉化為常系(xi)數的(de)代數方程的(de)求解.在線(xian)性時不(bu)變(bian)的(de)物理系(xi)統內，頻率(lv)是個不(bu)變(bian)的(de)性質，從(cong)而(er)系(xi)統對(dui)于復雜(za)激勵的(de)響應可(ke)以通過組合其對(dui)不(bu)同頻率(lv)正弦(xian)信(xin)號的(de)響應來獲取(qu)；
*卷(juan)(juan)積定理指出(chu)：傅里葉變換可以化(hua)復雜的卷(juan)(juan)積運算(suan)為(wei)簡單的乘積運算(suan)，從而提供(gong)了計算(suan)卷(juan)(juan)積的一種簡單手段；
* 離散形式(shi)的(de)傅里(li)葉變換可以利(li)用數(shu)字計算機快速地算出(chu)（其算法稱為(wei)快速傅里(li)葉變換算法（FFT)).
一般(ban)情況(kuang)下，若(ruo)“傅里葉(xie)變換”一詞(ci)的(de)前面(mian)未加任何限定語，則指的(de)是“連續傅里葉(xie)變換”。“連續傅里葉(xie)變換”將(jiang)平方(fang)可積的(de)函數 表(biao)示成復(fu)指數函數的(de)積分形式(shi)：
上式其(qi)實(shi)表(biao)示(shi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)是連(lian)續傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)逆變換(huan)，即將時(shi)間域的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu)表(biao)示(shi)為(wei)(wei)(wei)頻(pin)率域的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu) 的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)積分。反(fan)過來，其(qi)正變換(huan)恰(qia)好是將頻(pin)率域的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu) 表(biao)示(shi)為(wei)(wei)(wei)時(shi)間域的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數(shu)(shu)(shu) 的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)積分形(xing)式。一般(ban)可稱(cheng)函(han)數(shu)(shu)(shu) 為(wei)(wei)(wei)原函(han)數(shu)(shu)(shu)，而稱(cheng)函(han)數(shu)(shu)(shu) 為(wei)(wei)(wei)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)像函(han)數(shu)(shu)(shu)，原函(han)數(shu)(shu)(shu)和像函(han)數(shu)(shu)(shu)構成一個傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換(huan)對（transform pair）。
當 為(wei)奇函數（或(huo)偶(ou)函數）時(shi)，其余弦（或(huo)正弦）分量為(wei)零(ling)，而可以稱這時(shi)的變換(huan)為(wei)余弦變換(huan)（或(huo)正弦變換(huan)）。
主條目：傅(fu)里葉級數
連續形式(shi)的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉變換其實是(shi)傅(fu)里(li)(li)葉級數(shu)的(de)(de)推(tui)廣(guang)，因為積分其實是(shi)一種(zhong)極限形式(shi)的(de)(de)求和算子(zi)而(er)已。對于周期(qi)函數(shu)，它的(de)(de)傅(fu)里(li)(li)葉級數(shu)（Fourier series）表示被定義為：
其中(zhong) 為函(han)數的周期(qi)， 為傅里葉展開(kai)系數，它們等(deng)于
對于實值函數(shu)，函數(shu)的傅里葉級數(shu)可以寫成(cheng)：
其中 和(he) 是實頻率分量的振幅。
主條目(mu)：離(li)散時間傅里葉變(bian)換(huan)
離散時間傅里(li)葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對的是定(ding)義域為(wei)Z的數(shu)列(lie)。設 為(wei)某一(yi)數(shu)列(lie)，則其(qi)DTFT被定(ding)義為(wei)
DTFT在時(shi)域(yu)(yu)上(shang)離(li)散(san)，在頻(pin)域(yu)(yu)上(shang)則(ze)是(shi)周(zhou)期的，它一般用來對離(li)散(san)時(shi)間信號進行頻(pin)譜分(fen)析。DTFT可以被看(kan)作是(shi)傅里葉級數的逆。
為了在科(ke)學計(ji)算和(he)數(shu)字信號處理等領域使(shi)用(yong)計(ji)算機進(jin)行傅里葉變換，必須(xu)(xu)將函數(shu)定義(yi)在離散點(dian)上(shang)而(er)非連(lian)續(xu)域內，且須(xu)(xu)滿足有限性或周期(qi)性條件。這種(zhong)情況下，序列 的(de)離散傅里葉變換（discrete Fourier transform, DFT）為
直接(jie)使用(yong)DFT的(de)(de)(de)定(ding)義計(ji)算的(de)(de)(de)計(ji)算復(fu)雜(za)度(du)為 ，而快速傅(fu)里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可(ke)以將復(fu)雜(za)度(du)改進為 。計(ji)算復(fu)雜(za)度(du)的(de)(de)(de)降低以及數字電路計(ji)算能力的(de)(de)(de)發展使得DFT成為在(zai)信號處理(li)領域十分(fen)實用(yong)且重要的(de)(de)(de)方法。
在阿貝爾群上的統一描(miao)述
以上各種傅里(li)葉變換可(ke)以被更統一的(de)(de)(de)表述成任意局部緊致的(de)(de)(de)阿貝爾群上的(de)(de)(de)傅里(li)葉變換。這一問題(ti)屬于調和(he)分析(xi)的(de)(de)(de)范疇。在調和(he)分析(xi)中(zhong)，一個變換從(cong)一個群變換到(dao)它的(de)(de)(de)對偶群（dual group）。此外，將傅里(li)葉變換與卷(juan)(juan)積相聯系的(de)(de)(de)卷(juan)(juan)積定理在調和(he)分析(xi)中(zhong)也有(you)類似的(de)(de)(de)結論。
下(xia)表列(lie)出了傅里葉變(bian)換家族的(de)(de)成員(yuan)。容易(yi)發(fa)現(xian)，函數(shu)在時(shi)（頻）域(yu)的(de)(de)離散對(dui)應(ying)于其像函數(shu)在頻（時(shi)）域(yu)的(de)(de)周期(qi)性(xing)，反(fan)之(zhi)連續(xu)則意味著在對(dui)應(ying)域(yu)的(de)(de)信號(hao)的(de)(de)非(fei)周期(qi)性(xing)。
傅里(li)(li)葉是一(yi)位(wei)法國(guo)數(shu)學家和(he)物(wu)理學家的(de)(de)(de)(de)(de)名(ming)字，英語原名(ming)是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(dui)熱(re)傳遞(di)很感興趣，于1807年在(zai)(zai)法國(guo)科學學會上(shang)(shang)發表了(le)一(yi)篇論(lun)文(wen)(wen)，運用正弦(xian)(xian)曲線來描述(shu)溫度分布，論(lun)文(wen)(wen)里(li)(li)有個(ge)(ge)在(zai)(zai)當(dang)時具有爭議(yi)性(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)決斷(duan)：任何連續周期信號可以由(you)一(yi)組適當(dang)的(de)(de)(de)(de)(de)正弦(xian)(xian)曲線組合而成(cheng)。當(dang)時審(shen)查這(zhe)個(ge)(ge)論(lun)文(wen)(wen)的(de)(de)(de)(de)(de)人，其(qi)(qi)中有兩位(wei)是歷史上(shang)(shang)著名(ming)的(de)(de)(de)(de)(de)數(shu)學家拉格(ge)朗(lang)日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和(he)拉普(pu)(pu)拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，當(dang)拉普(pu)(pu)拉斯和(he)其(qi)(qi)它審(shen)查者投票通過并(bing)要發表這(zhe)個(ge)(ge)論(lun)文(wen)(wen)時，拉格(ge)朗(lang)日堅決反對(dui)，在(zai)(zai)他(ta)此后生命的(de)(de)(de)(de)(de)六(liu)年中，拉格(ge)朗(lang)日堅持認為傅里(li)(li)葉的(de)(de)(de)(de)(de)方法無法表示帶有棱(leng)角的(de)(de)(de)(de)(de)信號，如在(zai)(zai)方波中出(chu)現非連續變化(hua)斜率。法國(guo)科學學會屈服于拉格(ge)朗(lang)日的(de)(de)(de)(de)(de)威(wei)望，拒絕了(le)傅里(li)(li)葉的(de)(de)(de)(de)(de)工作(zuo)，幸運的(de)(de)(de)(de)(de)是，傅里(li)(li)葉還有其(qi)(qi)它事(shi)情可忙，他(ta)參加了(le)政治運動，隨拿破侖遠(yuan)征(zheng)埃(ai)及(ji)，法國(guo)大(da)革命后因會被推(tui)上(shang)(shang)斷(duan)頭臺而一(yi)直在(zai)(zai)逃避。直到拉格(ge)朗(lang)日死后15年這(zhe)個(ge)(ge)論(lun)文(wen)(wen)才被發表出(chu)來。
拉格朗日是對的(de)：正(zheng)弦曲(qu)線無法組合成一(yi)個帶有棱角的(de)信號。但是，我(wo)們可(ke)以(yi)用正(zheng)弦曲(qu)線來非(fei)常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不(bu)存在能量差(cha)別(bie)，基于此，傅(fu)里葉是對的(de)。
用(yong)(yong)正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)線(xian)來(lai)(lai)(lai)(lai)代替原(yuan)(yuan)來(lai)(lai)(lai)(lai)的(de)(de)(de)(de)(de)曲(qu)線(xian)而不(bu)(bu)用(yong)(yong)方(fang)波(bo)或三(san)角波(bo)來(lai)(lai)(lai)(lai)表示的(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)(yuan)因在(zai)于(yu)，分解信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法是(shi)(shi)無窮的(de)(de)(de)(de)(de)，但分解信號(hao)(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)目(mu)的(de)(de)(de)(de)(de)是(shi)(shi)為了更(geng)加(jia)簡(jian)單地處理原(yuan)(yuan)來(lai)(lai)(lai)(lai)的(de)(de)(de)(de)(de)信號(hao)(hao)。用(yong)(yong)正(zheng)余弦(xian)(xian)來(lai)(lai)(lai)(lai)表示原(yuan)(yuan)信號(hao)(hao)會更(geng)加(jia)簡(jian)單，因為正(zheng)余弦(xian)(xian)擁有(you)原(yuan)(yuan)信號(hao)(hao)所不(bu)(bu)具有(you)的(de)(de)(de)(de)(de)性質：正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)線(xian)保真度(du)。一個正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)線(xian)信號(hao)(hao)輸入后，輸出(chu)的(de)(de)(de)(de)(de)仍是(shi)(shi)正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)線(xian)，只有(you)幅(fu)度(du)和相位可能發生變化，但是(shi)(shi)頻率和波(bo)的(de)(de)(de)(de)(de)形狀仍是(shi)(shi)一樣的(de)(de)(de)(de)(de)。且只有(you)正(zheng)弦(xian)(xian)曲(qu)線(xian)才(cai)擁有(you)這樣的(de)(de)(de)(de)(de)性質，正(zheng)因如(ru)此我們(men)才(cai)不(bu)(bu)用(yong)(yong)方(fang)波(bo)或三(san)角波(bo)來(lai)(lai)(lai)(lai)表示。
為什(shen)(shen)么偏偏選(xuan)擇三角(jiao)函數(shu)而不(bu)用其他函數(shu)進行分(fen)解？我們從(cong)物理系(xi)統(tong)的特(te)征(zheng)信(xin)號(hao)(hao)(hao)角(jiao)度來(lai)(lai)解釋。我們知(zhi)道：大自然中很多現(xian)象可(ke)以(yi)抽象成(cheng)一個線(xian)(xian)性(xing)時不(bu)變系(xi)統(tong)來(lai)(lai)研究，無論你用微分(fen)方程(cheng)還(huan)是(shi)傳遞函數(shu)或者(zhe)(zhe)狀(zhuang)態空間描(miao)述。線(xian)(xian)性(xing)時不(bu)變系(xi)統(tong)可(ke)以(yi)這樣(yang)理解：輸(shu)(shu)入(ru)(ru)輸(shu)(shu)出信(xin)號(hao)(hao)(hao)滿足線(xian)(xian)性(xing)關系(xi)，而且系(xi)統(tong)參數(shu)不(bu)隨時間變換。對于大自然界的很多系(xi)統(tong)，一個正(zheng)弦曲線(xian)(xian)信(xin)號(hao)(hao)(hao)輸(shu)(shu)入(ru)(ru)后(hou)，輸(shu)(shu)出的仍(reng)是(shi)正(zheng)弦曲線(xian)(xian)，只(zhi)有(you)幅度和相(xiang)位可(ke)能發(fa)生變化，但(dan)是(shi)頻率和波(bo)(bo)的形狀(zhuang)仍(reng)是(shi)一樣(yang)的。也就是(shi)說正(zheng)弦信(xin)號(hao)(hao)(hao)是(shi)系(xi)統(tong)的特(te)征(zheng)向量(liang)！當然，指(zhi)(zhi)數(shu)信(xin)號(hao)(hao)(hao)也是(shi)系(xi)統(tong)的特(te)征(zheng)向量(liang)，表示能量(liang)的衰減或積聚。自然界的衰減或者(zhe)(zhe)擴散現(xian)象大多是(shi)指(zhi)(zhi)數(shu)形式的，或者(zhe)(zhe)既有(you)波(bo)(bo)動(dong)又(you)有(you)指(zhi)(zhi)數(shu)衰減（復指(zhi)(zhi)數(shu) 形式），因此具有(you)特(te)征(zheng)的基(ji)函數(shu)就由三角(jiao)函數(shu)變成(cheng)復指(zhi)(zhi)數(shu)函數(shu)。但(dan)是(shi)，如果(guo)輸(shu)(shu)入(ru)(ru)是(shi)方波(bo)(bo)、三角(jiao)波(bo)(bo)或者(zhe)(zhe)其他什(shen)(shen)么波(bo)(bo)形，那輸(shu)(shu)出就不(bu)一定是(shi)什(shen)(shen)么樣(yang)子(zi)了(le)。所以(yi)，除了(le)指(zhi)(zhi)數(shu)信(xin)號(hao)(hao)(hao)和正(zheng)弦信(xin)號(hao)(hao)(hao)以(yi)外的其他波(bo)(bo)形都不(bu)是(shi)線(xian)(xian)性(xing)系(xi)統(tong)的特(te)征(zheng)信(xin)號(hao)(hao)(hao)。
用正(zheng)弦曲線來代(dai)替(ti)原來的(de)(de)曲線而不(bu)(bu)用方(fang)波或(huo)(huo)三角波或(huo)(huo)者其他什么函數來表示的(de)(de)原因在于(yu)(yu)(yu)：正(zheng)弦信號(hao)恰好是(shi)(shi)(shi)很多線性時不(bu)(bu)變系統的(de)(de)特(te)(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)(liang)。于(yu)(yu)(yu)是(shi)(shi)(shi)就(jiu)有了(le)(le)傅(fu)里葉(xie)變換(huan)。對(dui)于(yu)(yu)(yu)更一般的(de)(de)線性時不(bu)(bu)變系統，復指(zhi)數信號(hao)(表示耗散或(huo)(huo)衰減)是(shi)(shi)(shi)系統的(de)(de)“特(te)(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)(liang)”。于(yu)(yu)(yu)是(shi)(shi)(shi)就(jiu)有了(le)(le)拉普拉斯變換(huan)。z變換(huan)也(ye)是(shi)(shi)(shi)同樣的(de)(de)道理，這時是(shi)(shi)(shi)離散系統的(de)(de)“特(te)(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)(liang)”。這里沒有區分特(te)(te)征(zheng)(zheng)函數和特(te)(te)征(zheng)(zheng)向量(liang)(liang)的(de)(de)概念(nian)，主(zhu)要想(xiang)表達二者的(de)(de)思想(xiang)是(shi)(shi)(shi)相(xiang)同的(de)(de)，只不(bu)(bu)過一個(ge)是(shi)(shi)(shi)有限(xian)(xian)維向量(liang)(liang)，一個(ge)是(shi)(shi)(shi)無(wu)限(xian)(xian)維函數。
傅里葉級(ji)數(shu)和傅里葉變換其實(shi)就是(shi)(shi)(shi)我們之(zhi)前討(tao)論的(de)特(te)征值與(yu)特(te)征向量(liang)的(de)問題。分(fen)解(jie)(jie)信(xin)號(hao)的(de)方法是(shi)(shi)(shi)無(wu)窮的(de)，但分(fen)解(jie)(jie)信(xin)號(hao)的(de)目的(de)是(shi)(shi)(shi)為了更(geng)加簡單地處理(li)原(yuan)來的(de)信(xin)號(hao)。這(zhe)樣，用正(zheng)余(yu)弦來表(biao)示原(yuan)信(xin)號(hao)會(hui)更(geng)加簡單，因為正(zheng)余(yu)弦擁(yong)有原(yuan)信(xin)號(hao)所不具有的(de)性(xing)質：正(zheng)弦曲線保真度(du)。且只(zhi)有正(zheng)弦曲線才(cai)擁(yong)有這(zhe)樣的(de)性(xing)質。
這也解(jie)釋(shi)了為(wei)什(shen)(shen)么我(wo)們一碰到(dao)信(xin)號(hao)就想方(fang)設法的把它(ta)表示成正弦量(liang)(liang)或者復指(zhi)數量(liang)(liang)的形式；為(wei)什(shen)(shen)么方(fang)波或者三角波如此“簡單”，我(wo)們非(fei)要展開(kai)的如此“麻煩”；為(wei)什(shen)(shen)么對于一個沒(mei)有什(shen)(shen)么規律(lv)的“非(fei)周期”信(xin)號(hao)，我(wo)們都絞盡腦汁的用正弦量(liang)(liang)展開(kai)。就因為(wei)正弦量(liang)(liang)(或復指(zhi)數)是特征向量(liang)(liang)。
什么是時(shi)域(yu)？從我(wo)(wo)們出生(sheng)，我(wo)(wo)們看到的(de)(de)世界(jie)(jie)都(dou)以時(shi)間(jian)貫穿，股票的(de)(de)走(zou)勢、人的(de)(de)身高、汽(qi)車的(de)(de)軌跡都(dou)會隨(sui)著時(shi)間(jian)發生(sheng)改變(bian)。這種以時(shi)間(jian)作為(wei)(wei)參照來(lai)觀察動態世界(jie)(jie)的(de)(de)方法我(wo)(wo)們稱其為(wei)(wei)時(shi)域(yu)分析。而(er)我(wo)(wo)們也想(xiang)當然的(de)(de)認為(wei)(wei)，世間(jian)萬物都(dou)在隨(sui)著時(shi)間(jian)不停的(de)(de)改變(bian)，并(bing)且永遠不會靜(jing)止下來(lai)。
什(shen)么(me)是(shi)(shi)(shi)頻(pin)域(yu)？頻(pin)域(yu)(frequency domain)是(shi)(shi)(shi)描述(shu)信號在頻(pin)率方面(mian)特性時用(yong)到(dao)的(de)(de)一(yi)(yi)(yi)種坐(zuo)標系。用(yong)線性代數的(de)(de)語(yu)言就(jiu)是(shi)(shi)(shi)裝(zhuang)著正(zheng)弦(xian)函數的(de)(de)空(kong)間。頻(pin)域(yu)最重要(yao)的(de)(de)性質(zhi)是(shi)(shi)(shi)：它不是(shi)(shi)(shi)真(zhen)實的(de)(de)，而是(shi)(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)個數學構造。頻(pin)域(yu)是(shi)(shi)(shi)一(yi)(yi)(yi)個遵循特定規(gui)則的(de)(de)數學范疇。正(zheng)弦(xian)波(bo)(bo)是(shi)(shi)(shi)頻(pin)域(yu)中唯一(yi)(yi)(yi)存在的(de)(de)波(bo)(bo)形，這是(shi)(shi)(shi)頻(pin)域(yu)中最重要(yao)的(de)(de)規(gui)則，即正(zheng)弦(xian)波(bo)(bo)是(shi)(shi)(shi)對頻(pin)域(yu)的(de)(de)描述(shu)，因(yin)為時域(yu)中的(de)(de)任何(he)波(bo)(bo)形都(dou)可用(yong)正(zheng)弦(xian)波(bo)(bo)合成。
對于一(yi)個信(xin)號來說，信(xin)號強度(du)隨時(shi)間的變化規(gui)律就是(shi)時(shi)域(yu)特性(xing)，信(xin)號是(shi)由哪些單一(yi)頻率的信(xin)號合(he)成的就是(shi)頻域(yu)特性(xing)。
時(shi)域(yu)(yu)分析(xi)與頻(pin)(pin)域(yu)(yu)分析(xi)是(shi)(shi)對信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)的(de)兩個觀察面。時(shi)域(yu)(yu)分析(xi)是(shi)(shi)以時(shi)間軸為坐標(biao)表(biao)示(shi)動態信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)的(de)關系；頻(pin)(pin)域(yu)(yu)分析(xi)是(shi)(shi)把信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)變為以頻(pin)(pin)率軸為坐標(biao)表(biao)示(shi)出(chu)來。一(yi)般來說(shuo)，時(shi)域(yu)(yu)的(de)表(biao)示(shi)較為形(xing)象(xiang)與直觀，頻(pin)(pin)域(yu)(yu)分析(xi)則(ze)更(geng)為簡練(lian)，剖析(xi)問題(ti)更(geng)為深刻和(he)方便。目前，信(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)分析(xi)的(de)趨勢(shi)是(shi)(shi)從時(shi)域(yu)(yu)向(xiang)頻(pin)(pin)域(yu)(yu)發展。然而，它(ta)們(men)是(shi)(shi)互相(xiang)(xiang)聯(lian)系，缺(que)一(yi)不(bu)可(ke)，相(xiang)(xiang)輔相(xiang)(xiang)成的(de)。貫(guan)穿時(shi)域(yu)(yu)與頻(pin)(pin)域(yu)(yu)的(de)方法之一(yi)，就是(shi)(shi)傳說(shuo)中的(de)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)分析(xi)。傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)分析(xi)可(ke)分為傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)級數(shu)（Fourier Serie）和(he)傅(fu)(fu)里葉(xie)(xie)變換(Fourier Transformation)。
根據原信號的不同類(lei)型，我(wo)們可以(yi)把傅(fu)里葉變換分為四種(zhong)類(lei)別：
1非周期性(xing)連(lian)續信號傅里葉變換（Fourier Transform）
2周期性連續信(xin)號傅里葉級(ji)數(Fourier Series)
3非(fei)周期性離散信號離散時域傅(fu)里(li)葉變換（Discrete Time Fourier Transform）
4周期(qi)性離(li)散信號離(li)散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)
下(xia)圖(tu)是四(si)種原信號圖(tu)例：
這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)四(si)種傅里葉變換都是(shi)針對(dui)正(zheng)無(wu)窮(qiong)(qiong)大(da)(da)(da)和負無(wu)窮(qiong)(qiong)大(da)(da)(da)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，即信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)的(de)(de)長(chang)(chang)(chang)度是(shi)無(wu)窮(qiong)(qiong)大(da)(da)(da)的(de)(de)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)知道(dao)這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)對(dui)于(yu)計算機處(chu)理來說是(shi)不可(ke)(ke)能(neng)的(de)(de)，那(nei)么有(you)沒(mei)有(you)針對(dui)長(chang)(chang)(chang)度有(you)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)傅里葉變換呢(ni)？沒(mei)有(you)。因為正(zheng)余(yu)弦波(bo)被定義(yi)成(cheng)從(cong)(cong)負無(wu)窮(qiong)(qiong)大(da)(da)(da)到(dao)正(zheng)無(wu)窮(qiong)(qiong)大(da)(da)(da)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)無(wu)法(fa)(fa)把(ba)一個(ge)長(chang)(chang)(chang)度無(wu)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)組(zu)合(he)成(cheng)長(chang)(chang)(chang)度有(you)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)。面對(dui)這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)種困難，方法(fa)(fa)是(shi)把(ba)長(chang)(chang)(chang)度有(you)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)表(biao)示成(cheng)長(chang)(chang)(chang)度無(wu)限(xian)(xian)(xian)的(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，可(ke)(ke)以把(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)無(wu)限(xian)(xian)(xian)地從(cong)(cong)左右進(jin)行(xing)延伸(shen)(shen)，延伸(shen)(shen)的(de)(de)部分用零來表(biao)示，這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)樣，這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)個(ge)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)就可(ke)(ke)以被看成(cheng)是(shi)非周(zhou)期(qi)性離(li)(li)散信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)就可(ke)(ke)以用到(dao)離(li)(li)散時(shi)(shi)域傅里葉變換的(de)(de)方法(fa)(fa)。還(huan)有(you)，也可(ke)(ke)以把(ba)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)用復制的(de)(de)方法(fa)(fa)進(jin)行(xing)延伸(shen)(shen)，這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)樣信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)就變成(cheng)了(le)周(zhou)期(qi)性離(li)(li)散信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)時(shi)(shi)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)就可(ke)(ke)以用離(li)(li)散傅里葉變換方法(fa)(fa)進(jin)行(xing)變換。這(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)(zhe)里我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)要學的(de)(de)是(shi)離(li)(li)散信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，對(dui)于(yu)連續(xu)信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)不作討論(lun)，因為計算機只能(neng)處(chu)理離(li)(li)散的(de)(de)數值信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)，我(wo)(wo)(wo)們(men)(men)的(de)(de)最(zui)終目的(de)(de)是(shi)運用計算機來處(chu)理信(xin)(xin)(xin)(xin)號(hao)(hao)(hao)的(de)(de)。
但是(shi)對于(yu)(yu)非周期(qi)性(xing)的(de)(de)(de)信號(hao)，我(wo)們(men)需要(yao)用(yong)無窮多不同頻率的(de)(de)(de)正弦(xian)曲線來(lai)表示，這對于(yu)(yu)計(ji)算(suan)機來(lai)說是(shi)不可(ke)能(neng)(neng)實現的(de)(de)(de)。所以(yi)對于(yu)(yu)離散(san)信號(hao)的(de)(de)(de)變(bian)換(huan)只(zhi)(zhi)有離散(san)傅里(li)(li)葉變(bian)換(huan)（DFT）才能(neng)(neng)被適用(yong)，對于(yu)(yu)計(ji)算(suan)機來(lai)說只(zhi)(zhi)有離散(san)的(de)(de)(de)和有限長度的(de)(de)(de)數據(ju)才能(neng)(neng)被處理(li)，對于(yu)(yu)其它的(de)(de)(de)變(bian)換(huan)類(lei)型只(zhi)(zhi)有在(zai)數學(xue)演算(suan)中才能(neng)(neng)用(yong)到(dao)(dao)，在(zai)計(ji)算(suan)機面(mian)前我(wo)們(men)只(zhi)(zhi)能(neng)(neng)用(yong)DFT方(fang)(fang)法(fa)，后面(mian)我(wo)們(men)要(yao)理(li)解(jie)的(de)(de)(de)也正是(shi)DFT方(fang)(fang)法(fa)。這里(li)(li)要(yao)理(li)解(jie)的(de)(de)(de)是(shi)我(wo)們(men)使用(yong)周期(qi)性(xing)的(de)(de)(de)信號(hao)目的(de)(de)(de)是(shi)為了能(neng)(neng)夠(gou)用(yong)數學(xue)方(fang)(fang)法(fa)來(lai)解(jie)決(jue)問(wen)題(ti)，至(zhi)于(yu)(yu)考慮周期(qi)性(xing)信號(hao)是(shi)從哪里(li)(li)得到(dao)(dao)或怎樣得到(dao)(dao)是(shi)無意義的(de)(de)(de)。
每種(zhong)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變換(huan)都分(fen)成實數(shu)(shu)和(he)復(fu)(fu)數(shu)(shu)兩種(zhong)方(fang)法，對于實數(shu)(shu)方(fang)法是(shi)(shi)最(zui)好理(li)解(jie)(jie)的(de)(de)，但是(shi)(shi)復(fu)(fu)數(shu)(shu)方(fang)法就(jiu)相對復(fu)(fu)雜許(xu)多(duo)了(le)，需要懂得(de)有關復(fu)(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)理(li)論知識，不過(guo)，如果理(li)解(jie)(jie)了(le)實數(shu)(shu)離散傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變換(huan)(real DFT)，再去理(li)解(jie)(jie)復(fu)(fu)數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)就(jiu)更容易(yi)了(le)，所以我們先把(ba)復(fu)(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)放到一邊去，先來理(li)解(jie)(jie)實數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變換(huan)，在后面我們會先講講關于復(fu)(fu)數(shu)(shu)的(de)(de)基(ji)本(ben)理(li)論，然后在理(li)解(jie)(jie)了(le)實數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變換(huan)的(de)(de)基(ji)礎上再來理(li)解(jie)(jie)復(fu)(fu)數(shu)(shu)傅(fu)(fu)里(li)(li)葉(xie)變換(huan)。
還有(you)，這里我們所要說的變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)(transform)雖然是(shi)(shi)數(shu)(shu)學意義(yi)上的變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)，但(dan)跟函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)不(bu)同的，函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)符合一一映射準則的，對于離散數(shu)(shu)字信號處理（DSP），有(you)許多的變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)：傅(fu)里葉變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、拉(la)普拉(la)斯變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、Z變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、希爾伯特變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)、離散余弦變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)等(deng)，這些都擴展了(le)函數(shu)(shu)變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)的定義(yi)，允許輸(shu)入(ru)和輸(shu)出有(you)多種(zhong)的值，簡單地說變(bian)(bian)(bian)換(huan)(huan)(huan)就是(shi)(shi)把一堆的數(shu)(shu)據變(bian)(bian)(bian)成另一堆的數(shu)(shu)據的方(fang)法。
傅里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)是數字信(xin)號處理領(ling)域(yu)一種很重要(yao)(yao)的(de)(de)算(suan)法。要(yao)(yao)知道傅里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)算(suan)法的(de)(de)意(yi)義，首先要(yao)(yao)了解傅里(li)葉(xie)原(yuan)理的(de)(de)意(yi)義。傅里(li)葉(xie)原(yuan)理表明：任何(he)連續測量(liang)的(de)(de)時序或信(xin)號，都可以(yi)表示為不同頻率的(de)(de)正弦波(bo)信(xin)號的(de)(de)無限疊加(jia)。而根據該(gai)原(yuan)理創(chuang)立的(de)(de)傅里(li)葉(xie)變(bian)(bian)換(huan)算(suan)法利用直接測量(liang)到的(de)(de)原(yuan)始信(xin)號，以(yi)累加(jia)方式(shi)來計算(suan)該(gai)信(xin)號中不同正弦波(bo)信(xin)號的(de)(de)頻率、振幅(fu)和(he)相位(wei)。
和傅(fu)(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變換算法(fa)(fa)對(dui)應的是(shi)反(fan)傅(fu)(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變換算法(fa)(fa)。該(gai)反(fan)變換從本質上(shang)說也(ye)是(shi)一種累加處理(li)，這(zhe)(zhe)樣就可(ke)以將(jiang)單獨改變的正弦波信(xin)(xin)(xin)號(hao)轉換成一個信(xin)(xin)(xin)號(hao)。因此(ci)，可(ke)以說，傅(fu)(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變換將(jiang)原來難以處理(li)的時域(yu)(yu)信(xin)(xin)(xin)號(hao)轉換成了易于分析(xi)的頻(pin)域(yu)(yu)信(xin)(xin)(xin)號(hao)（信(xin)(xin)(xin)號(hao)的頻(pin)譜），可(ke)以利用一些(xie)工具對(dui)這(zhe)(zhe)些(xie)頻(pin)域(yu)(yu)信(xin)(xin)(xin)號(hao)進行處理(li)、加工。最(zui)后還可(ke)以利用傅(fu)(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)反(fan)變換將(jiang)這(zhe)(zhe)些(xie)頻(pin)域(yu)(yu)信(xin)(xin)(xin)號(hao)轉換成時域(yu)(yu)信(xin)(xin)(xin)號(hao)。
從現代(dai)數學的(de)(de)眼(yan)光來看，傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換是(shi)一種特殊的(de)(de)積分變換。它(ta)能將滿足一定條件的(de)(de)某(mou)個(ge)函數表示成正弦基函數的(de)(de)線性組合(he)或者(zhe)積分。在不同(tong)的(de)(de)研究領域，傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換具有(you)多(duo)種不同(tong)的(de)(de)變體形式，如連續傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換和離(li)散傅(fu)(fu)里(li)(li)葉變換。
在數學領域，盡(jin)管最(zui)初傅(fu)里(li)葉(xie)分(fen)析是作為(wei)熱過(guo)程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)解析分(fen)析的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)工具，但是其思(si)想方法(fa)(fa)仍(reng)然具有典型(xing)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)還原論和分(fen)析主義的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)特征。"任意"的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數通過(guo)一(yi)定(ding)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)解，都(dou)能夠表示為(wei)正(zheng)(zheng)弦函(han)數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)線性(xing)(xing)組合(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)形(xing)(xing)式，而(er)正(zheng)(zheng)弦函(han)數在物理上是被充分(fen)研究而(er)相對簡(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)函(han)數類(lei)：1. 傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)是線性(xing)(xing)算(suan)(suan)(suan)(suan)子,若賦予適當的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)范數，它(ta)還是酉算(suan)(suan)(suan)(suan)子；2. 傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)逆變(bian)換(huan)(huan)容(rong)易求(qiu)出(chu)(chu)，而(er)且形(xing)(xing)式與正(zheng)(zheng)變(bian)換(huan)(huan)非常類(lei)似；3. 正(zheng)(zheng)弦基(ji)函(han)數是微分(fen)運算(suan)(suan)(suan)(suan)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)本征函(han)數,從而(er)使得線性(xing)(xing)微分(fen)方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)解可以(yi)轉(zhuan)化為(wei)常系數的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)代數方程(cheng)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)求(qiu)解。在線性(xing)(xing)時復雜的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)卷(juan)積(ji)運算(suan)(suan)(suan)(suan)為(wei)簡(jian)單的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)乘積(ji)運算(suan)(suan)(suan)(suan),從而(er)提供了計算(suan)(suan)(suan)(suan)卷(juan)積(ji)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)一(yi)種簡(jian)單手段；4. 離散形(xing)(xing)式的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)傅(fu)里(li)葉(xie)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)物理系統內,頻(pin)率(lv)是個不(bu)變(bian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)性(xing)(xing)質,從而(er)系統對于復雜激勵(li)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)響應(ying)可以(yi)通過(guo)組合(he)其對不(bu)同頻(pin)率(lv)正(zheng)(zheng)弦信號的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)響應(ying)來獲取；5. 著名的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)卷(juan)積(ji)定(ding)理指出(chu)(chu):傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)可以(yi)化復變(bian)換(huan)(huan)可以(yi)利用數字(zi)計算(suan)(suan)(suan)(suan)機快(kuai)速的(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)(de)算(suan)(suan)(suan)(suan)出(chu)(chu)(其算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)稱(cheng)為(wei)快(kuai)速傅(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)算(suan)(suan)(suan)(suan)法(fa)(fa)(FFT))。
正是由(you)于上述的良好性質,傅(fu)里葉變換在物(wu)理學(xue)(xue)(xue)、數論、組合(he)數學(xue)(xue)(xue)、信(xin)號處(chu)理、概率、統計、密碼(ma)學(xue)(xue)(xue)、聲學(xue)(xue)(xue)、光學(xue)(xue)(xue)等(deng)領域都有著廣泛(fan)的應用。
圖像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)表(biao)征圖像(xiang)(xiang)中灰(hui)度變(bian)化(hua)劇(ju)烈程度的(de)(de)(de)(de)指(zhi)標，是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)灰(hui)度在平面空(kong)間上(shang)的(de)(de)(de)(de)梯度。如：大面積的(de)(de)(de)(de)沙漠在圖像(xiang)(xiang)中是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)片灰(hui)度變(bian)化(hua)緩慢(man)的(de)(de)(de)(de)區(qu)域(yu)，對(dui)應的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率值很低(di)；而對(dui)于地表(biao)屬性變(bian)換(huan)(huan)(huan)劇(ju)烈的(de)(de)(de)(de)邊緣區(qu)域(yu)在圖像(xiang)(xiang)中是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)片灰(hui)度變(bian)化(hua)劇(ju)烈的(de)(de)(de)(de)區(qu)域(yu)，對(dui)應的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率值較高(gao)。傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)在實際(ji)中有(you)非(fei)常明顯的(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)理意(yi)義，設f是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)一(yi)個能量有(you)限的(de)(de)(de)(de)模擬信號，則其傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)就(jiu)表(biao)示f的(de)(de)(de)(de)譜。從(cong)純粹的(de)(de)(de)(de)數(shu)學(xue)意(yi)義上(shang)看(kan)，傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)將一(yi)個函(han)(han)(han)數(shu)轉換(huan)(huan)(huan)為一(yi)系(xi)列周(zhou)期函(han)(han)(han)數(shu)來(lai)處理的(de)(de)(de)(de)。從(cong)物(wu)(wu)理效果看(kan)，傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)將圖像(xiang)(xiang)從(cong)空(kong)間域(yu)轉換(huan)(huan)(huan)到頻(pin)率域(yu)，其逆(ni)變(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)將圖像(xiang)(xiang)從(cong)頻(pin)率域(yu)轉換(huan)(huan)(huan)到空(kong)間域(yu)。換(huan)(huan)(huan)句話說，傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)變(bian)換(huan)(huan)(huan)的(de)(de)(de)(de)物(wu)(wu)理意(yi)義是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)將圖像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)灰(hui)度分布函(han)(han)(han)數(shu)變(bian)換(huan)(huan)(huan)為圖像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率分布函(han)(han)(han)數(shu)，傅(fu)(fu)(fu)里(li)葉(xie)逆(ni)變(bian)換(huan)(huan)(huan)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)將圖像(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)頻(pin)率分布函(han)(han)(han)數(shu)變(bian)換(huan)(huan)(huan)為灰(hui)度分布函(han)(han)(han)數(shu)。
傅(fu)里(li)葉變換以前，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)（未壓(ya)縮的(de)(de)(de)(de)(de)(de)位圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)）是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)由對(dui)(dui)(dui)(dui)在(zai)連續空(kong)間(jian)(jian)（現(xian)實(shi)空(kong)間(jian)(jian)）上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)采樣得(de)到(dao)一(yi)(yi)(yi)系(xi)列(lie)點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)集合，我們(men)(men)習慣(guan)用一(yi)(yi)(yi)個(ge)二維(wei)矩陣表示(shi)空(kong)間(jian)(jian)上(shang)各(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)，則圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)可(ke)(ke)由z=f(x,y)來(lai)(lai)表示(shi)。由于空(kong)間(jian)(jian)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)三維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)二維(wei)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，因(yin)(yin)此空(kong)間(jian)(jian)中(zhong)(zhong)物(wu)(wu)體(ti)在(zai)另一(yi)(yi)(yi)個(ge)維(wei)度(du)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)就(jiu)由梯度(du)來(lai)(lai)表示(shi)，這(zhe)樣我們(men)(men)可(ke)(ke)以通(tong)(tong)過(guo)觀察圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)得(de)知物(wu)(wu)體(ti)在(zai)三維(wei)空(kong)間(jian)(jian)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)(dui)(dui)(dui)應(ying)關系(xi)。為什么(me)要(yao)提梯度(du)？因(yin)(yin)為實(shi)際上(shang)對(dui)(dui)(dui)(dui)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)進行(xing)二維(wei)傅(fu)里(li)葉變換得(de)到(dao)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)梯度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)分(fen)(fen)(fen)布圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，當然頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)各(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)與(yu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)各(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)并不(bu)(bu)存在(zai)一(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)對(dui)(dui)(dui)(dui)應(ying)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)關系(xi)，即(ji)(ji)使在(zai)不(bu)(bu)移(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)情況(kuang)下也(ye)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)沒有。傅(fu)里(li)葉頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)我們(men)(men)看(kan)到(dao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)明(ming)暗(an)(an)不(bu)(bu)一(yi)(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)點(dian)(dian)(dian)，實(shi)際上(shang)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)上(shang)某一(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)與(yu)鄰(lin)(lin)域(yu)點(dian)(dian)(dian)差(cha)異(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)強弱(ruo)，即(ji)(ji)梯度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小(xiao)，也(ye)即(ji)(ji)該點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率的(de)(de)(de)(de)(de)(de)大小(xiao)（可(ke)(ke)以這(zhe)么(me)理解，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)中(zhong)(zhong)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)低頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)部(bu)分(fen)(fen)(fen)指低梯度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)，高頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)部(bu)分(fen)(fen)(fen)相反(fan)）。一(yi)(yi)(yi)般來(lai)(lai)講(jiang)，梯度(du)大則該點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)度(du)強，否則該點(dian)(dian)(dian)亮(liang)度(du)弱(ruo)。這(zhe)樣通(tong)(tong)過(guo)觀察傅(fu)里(li)葉變換后的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，也(ye)叫功率圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)，我們(men)(men)首先就(jiu)可(ke)(ke)以看(kan)出，圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)能(neng)量分(fen)(fen)(fen)布，如果(guo)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)暗(an)(an)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)數更多(duo)，那(nei)么(me)實(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)比(bi)較(jiao)柔和的(de)(de)(de)(de)(de)(de)（因(yin)(yin)為各(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)與(yu)鄰(lin)(lin)域(yu)差(cha)異(yi)都不(bu)(bu)大，梯度(du)相對(dui)(dui)(dui)(dui)較(jiao)小(xiao)），反(fan)之(zhi)，如果(guo)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)中(zhong)(zhong)亮(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)(dian)數多(duo)，那(nei)么(me)實(shi)際圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)一(yi)(yi)(yi)定是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)尖銳的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，邊界分(fen)(fen)(fen)明(ming)且邊界兩邊像(xiang)(xiang)(xiang)素差(cha)異(yi)較(jiao)大的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。對(dui)(dui)(dui)(dui)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)移(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)原點(dian)(dian)(dian)以后，可(ke)(ke)以看(kan)出圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率分(fen)(fen)(fen)布是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)以原點(dian)(dian)(dian)為圓心(xin)，對(dui)(dui)(dui)(dui)稱分(fen)(fen)(fen)布的(de)(de)(de)(de)(de)(de)。將頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)移(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)圓心(xin)除了可(ke)(ke)以清(qing)晰(xi)地看(kan)出圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)像(xiang)(xiang)(xiang)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)率分(fen)(fen)(fen)布以外，還有一(yi)(yi)(yi)個(ge)好(hao)處，它可(ke)(ke)以分(fen)(fen)(fen)離出有周期(qi)性規律的(de)(de)(de)(de)(de)(de)干(gan)擾(rao)信號，比(bi)如正弦(xian)干(gan)擾(rao)，一(yi)(yi)(yi)副帶有正弦(xian)干(gan)擾(rao)，移(yi)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)到(dao)原點(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)(pin)(pin)譜(pu)(pu)圖(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)(tu)上(shang)可(ke)(ke)以看(kan)出除了中(zhong)(zhong)心(xin)以外還存在(zai)以某一(yi)(yi)(yi)點(dian)(dian)(dian)為中(zhong)(zhong)心(xin)，對(dui)(dui)(dui)(dui)稱分(fen)(fen)(fen)布的(de)(de)(de)(de)(de)(de)亮(liang)點(dian)(dian)(dian)集合，這(zhe)個(ge)集合就(jiu)是(shi)(shi)(shi)(shi)(shi)干(gan)擾(rao)噪(zao)音(yin)產(chan)生的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)時可(ke)(ke)以很直觀的(de)(de)(de)(de)(de)(de)通(tong)(tong)過(guo)在(zai)該位置放置帶阻濾波器消除干(gan)擾(rao)。
另外說(shuo)明以下幾點：
1、圖(tu)像經過(guo)二維傅(fu)里葉變換(huan)(huan)后，其(qi)變換(huan)(huan)系(xi)數矩陣表(biao)明：
若(ruo)變(bian)(bian)換(huan)矩陣(zhen)(zhen)Fn原點(dian)設在中(zhong)(zhong)心，其頻(pin)譜能量(liang)集(ji)中(zhong)(zhong)分布在變(bian)(bian)換(huan)系(xi)數(shu)短陣(zhen)(zhen)的(de)中(zhong)(zhong)心附近（圖(tu)(tu)中(zhong)(zhong)陰影區）。若(ruo)所用的(de)二維(wei)傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換(huan)矩陣(zhen)(zhen)Fn的(de)原點(dian)設在左(zuo)上角(jiao)，那么(me)圖(tu)(tu)像信號能量(liang)將(jiang)集(ji)中(zhong)(zhong)在系(xi)數(shu)矩陣(zhen)(zhen)的(de)四個角(jiao)上。這是由二維(wei)傅(fu)里(li)葉變(bian)(bian)換(huan)本身性質決定的(de)。同(tong)時也(ye)表明一(yi)股圖(tu)(tu)像能量(liang)集(ji)中(zhong)(zhong)低(di)頻(pin)區域。
2 、變換之(zhi)后的圖像在原點平移之(zhi)前四角是(shi)低(di)頻(pin)，最亮(liang)(liang)，平移之(zhi)后中間部分是(shi)低(di)頻(pin)，最亮(liang)(liang)，亮(liang)(liang)度大說明低(di)頻(pin)的能量大（幅(fu)角比較大）。
將其發展延伸，構造出(chu)了其他形(xing)式的積分(fen)變換(huan):
從數學的角度理解積(ji)分(fen)變(bian)(bian)換就是通過積(ji)分(fen)運算，把一(yi)個函數變(bian)(bian)成(cheng)另(ling)一(yi)個函數。也可以理解成(cheng)是算內積(ji)，然后就變(bian)(bian)成(cheng)一(yi)個函數向另(ling)一(yi)個函數的投(tou)影：
K（s，t）積分變(bian)換的(de)(de)(de)核(he)(he)(Kernel)。當選(xuan)取不同的(de)(de)(de)積分域和(he)變(bian)換核(he)(he)時，就(jiu)得到不同名(ming)稱的(de)(de)(de)積分變(bian)換。學術(shu)一點的(de)(de)(de)說(shuo)法(fa)是：向核(he)(he)空(kong)間投影，將原問題轉化到核(he)(he)空(kong)間。所謂核(he)(he)空(kong)間，就(jiu)是這個空(kong)間里面裝的(de)(de)(de)是核(he)(he)函數。
當(dang)然，選取什么(me)樣(yang)的(de)核(he)(he)主(zhu)要看你面(mian)對(dui)的(de)問(wen)(wen)題有(you)什么(me)特征(zheng)(zheng)。不(bu)同問(wen)(wen)題的(de)特征(zheng)(zheng)不(bu)同，就會對(dui)應特定(ding)的(de)核(he)(he)函(han)數。把核(he)(he)函(han)數作為(wei)基函(han)數。將現(xian)在的(de)坐標投影到核(he)(he)空間里面(mian)去，問(wen)(wen)題就會得到簡化。之所以叫核(he)(he)，是(shi)因為(wei)這是(shi)最核(he)(he)心的(de)地(di)方。為(wei)什么(me)其他變(bian)換你都沒怎么(me)聽(ting)說過而只熟悉傅里葉變(bian)換和拉普拉斯變(bian)換呢？因為(wei)復指(zhi)數信號才(cai)是(shi)描述這個世界(jie)的(de)特征(zheng)(zheng)函(han)數！
一(yi)個關于實數離散傅里(li)葉變換(Real DFT)實例
先來(lai)看一個(ge)(ge)(ge)變換實例(li)，一個(ge)(ge)(ge)原始信號(hao)(hao)的長(chang)度是16，于(yu)是可(ke)以把(ba)這個(ge)(ge)(ge)信號(hao)(hao)分解9個(ge)(ge)(ge)余(yu)(yu)弦(xian)(xian)波和9個(ge)(ge)(ge)正(zheng)(zheng)弦(xian)(xian)波（一個(ge)(ge)(ge)長(chang)度為N的信號(hao)(hao)可(ke)以分解成N/2+1個(ge)(ge)(ge)正(zheng)(zheng)余(yu)(yu)弦(xian)(xian)信號(hao)(hao)，這是為什么(me)呢？結合下(xia)面的18個(ge)(ge)(ge)正(zheng)(zheng)余(yu)(yu)弦(xian)(xian)圖,我想從計(ji)(ji)算(suan)機(ji)處理精度上(shang)就不難(nan)理解，一個(ge)(ge)(ge)長(chang)度為N的信號(hao)(hao)，最多(duo)只能有N/2+1個(ge)(ge)(ge)不同頻(pin)率，再多(duo)的頻(pin)率就超(chao)過(guo)了計(ji)(ji)算(suan)機(ji)所能所處理的精度范圍(wei)），如下(xia)圖：
9個正弦信號：
9個余弦信號：
把以上所(suo)有信號相加即可得到原始信號，至于(yu)是(shi)怎么(me)(me)分別變(bian)換(huan)出9種不(bu)同(tong)頻率信號的，我(wo)們(men)先不(bu)急，先看看對于(yu)以上的變(bian)換(huan)結(jie)果，在程(cheng)序中又是(shi)該怎么(me)(me)表示的，我(wo)們(men)可以看看下(xia)面這個示例圖：
上(shang)圖中左邊(bian)表示(shi)(shi)時域中的(de)(de)信(xin)號，右邊(bian)是(shi)(shi)頻域信(xin)號表示(shi)(shi)方(fang)法，從左向右表示(shi)(shi)正(zheng)向轉(zhuan)換(huan)(Forward DFT)，從右向左表示(shi)(shi)逆向轉(zhuan)換(huan)(Inverse DFT)，用小(xiao)寫x[]表示(shi)(shi)信(xin)號在每(mei)個時間點上(shang)的(de)(de)幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)數(shu)(shu)組, 用大(da)寫X[]表示(shi)(shi)每(mei)種頻率的(de)(de)幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)數(shu)(shu)組, 因為有N/2+1種頻率，所以該數(shu)(shu)組長(chang)(chang)度(du)(du)為N/2+1，X[]數(shu)(shu)組又分(fen)兩種，一種是(shi)(shi)表示(shi)(shi)余(yu)弦(xian)波(bo)的(de)(de)不(bu)同(tong)頻率幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)：Re X[]，另一種是(shi)(shi)表示(shi)(shi)正(zheng)弦(xian)波(bo)的(de)(de)不(bu)同(tong)頻率幅(fu)度(du)(du)值(zhi)(zhi)：Im X[]，Re是(shi)(shi)實數(shu)(shu)(Real)的(de)(de)意思，Im是(shi)(shi)虛數(shu)(shu)(Imagine)的(de)(de)意思，采用復數(shu)(shu)的(de)(de)表示(shi)(shi)方(fang)法把正(zheng)余(yu)弦(xian)波(bo)組合起(qi)來進(jin)行表示(shi)(shi)，但這里(li)我們不(bu)考慮復數(shu)(shu)的(de)(de)其它作用，只記(ji)住是(shi)(shi)一種組合方(fang)法而(er)已，目的(de)(de)是(shi)(shi)為了便于(yu)表達(da)（在后面(mian)我們會知道(dao)，復數(shu)(shu)形式的(de)(de)傅里(li)葉變換(huan)長(chang)(chang)度(du)(du)是(shi)(shi)N，而(er)不(bu)是(shi)(shi)N/2+1）。
FFT是(shi)離散(san)傅里葉變(bian)換的(de)(de)(de)快速算法，可以(yi)將(jiang)一(yi)個信(xin)號(hao)變(bian)換到(dao)(dao)頻域(yu)。有些(xie)信(xin)號(hao)在時域(yu)上是(shi)很難(nan)看出(chu)什么特征(zheng)的(de)(de)(de)，但是(shi)如果(guo)變(bian)換到(dao)(dao)頻域(yu)之后，就(jiu)很容易看出(chu)特征(zheng)了。這(zhe)就(jiu)是(shi)很多信(xin)號(hao)分(fen)析(xi)采(cai)用(yong)FFT變(bian)換的(de)(de)(de)原因。另外，FFT可以(yi)將(jiang)一(yi)個信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)頻譜提取出(chu)來(lai)，這(zhe)在頻譜分(fen)析(xi)方面也是(shi)經常(chang)用(yong)的(de)(de)(de)。
FFT結果的具體物理意義。一個(ge)模擬信(xin)號，經過ADC采(cai)樣之后，就(jiu)變成了數字(zi)信(xin)號。采(cai)樣定(ding)理告訴我們，采(cai)樣頻率要大于(yu)信(xin)號頻率的兩(liang)倍。
采樣(yang)得(de)到(dao)的數字信號，就可以做(zuo)FFT變換了(le)。N個采樣(yang)點，經過FFT之后，就可以得(de)到(dao)N個點的FFT結果。為了(le)方便進(jin)行FFT運算，通常N取2的整數次方。
假(jia)設(she)采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為Fs，信(xin)號(hao)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)F，采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)為N。那(nei)么FFT之(zhi)后(hou)結(jie)果(guo)(guo)就是(shi)(shi)(shi)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)為N點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)復數(shu)。每(mei)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)就對應著一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)點(dian)(dian)(dian)(dian)。這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)值，就是(shi)(shi)(shi)該頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)值下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度特性。具(ju)體(ti)跟原(yuan)始信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)幅度有什么關(guan)系呢(ni)(ni)？假(jia)設(she)原(yuan)始信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)峰值為A，那(nei)么FFT的(de)(de)(de)(de)(de)(de)結(jie)果(guo)(guo)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)每(mei)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)（除了第一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)之(zhi)外）的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)值就是(shi)(shi)(shi)A的(de)(de)(de)(de)(de)(de)N/2倍。而第一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)就是(shi)(shi)(shi)直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)，它的(de)(de)(de)(de)(de)(de)模(mo)值就是(shi)(shi)(shi)直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)N倍。而每(mei)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位呢(ni)(ni)，就是(shi)(shi)(shi)在(zai)(zai)該頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位。第一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)表示直(zhi)流分(fen)(fen)(fen)(fen)量(liang)（即0Hz），而最后(hou)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)N的(de)(de)(de)(de)(de)(de)再下(xia)一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)（實(shi)際上這(zhe)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)是(shi)(shi)(shi)不存在(zai)(zai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)，這(zhe)里是(shi)(shi)(shi)假(jia)設(she)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)第N+1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)，也(ye)(ye)可以(yi)(yi)看做是(shi)(shi)(shi)將第一(yi)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)分(fen)(fen)(fen)(fen)做兩(liang)半分(fen)(fen)(fen)(fen)，另一(yi)半移到(dao)最后(hou)）則表示采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)Fs，這(zhe)中(zhong)間被(bei)N-1個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)平均(jun)分(fen)(fen)(fen)(fen)成N等份，每(mei)個(ge)(ge)(ge)(ge)(ge)點(dian)(dian)(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)依次增(zeng)加。例(li)如(ru)(ru)某點(dian)(dian)(dian)(dian)n所表示的(de)(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的(de)(de)(de)(de)(de)(de)公(gong)式(shi)可以(yi)(yi)看出(chu)，Fn所能分(fen)(fen)(fen)(fen)辨到(dao)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為為Fs/N，如(ru)(ru)果(guo)(guo)采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)Fs為1024Hz，采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)為1024點(dian)(dian)(dian)(dian)，則可以(yi)(yi)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨到(dao)1Hz。1024Hz的(de)(de)(de)(de)(de)(de)采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)率(lv)(lv)(lv)采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)1024點(dian)(dian)(dian)(dian)，剛好是(shi)(shi)(shi)1秒(miao)，也(ye)(ye)就是(shi)(shi)(shi)說，采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)1秒(miao)時間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)并做FFT，則結(jie)果(guo)(guo)可以(yi)(yi)分(fen)(fen)(fen)(fen)析到(dao)1Hz，如(ru)(ru)果(guo)(guo)采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)2秒(miao)時間的(de)(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)號(hao)并做FFT，則結(jie)果(guo)(guo)可以(yi)(yi)分(fen)(fen)(fen)(fen)析到(dao)0.5Hz。如(ru)(ru)果(guo)(guo)要提高頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨力(li)，則必(bi)須增(zeng)加采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)點(dian)(dian)(dian)(dian)數(shu)，也(ye)(ye)即采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)時間。頻(pin)(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)分(fen)(fen)(fen)(fen)辨率(lv)(lv)(lv)和采(cai)(cai)(cai)(cai)樣(yang)(yang)(yang)時間是(shi)(shi)(shi)倒數(shu)關(guan)系。
假設FFT之后某點(dian)(dian)n用復數(shu)a+bi表(biao)(biao)示，那(nei)么這個復數(shu)的(de)模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據以上的(de)結(jie)果，就可(ke)以計算出(chu)n點(dian)(dian)（n≠1，且n<=N/2）對(dui)應的(de)信(xin)號的(de)表(biao)(biao)達式(shi)為(wei)：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對(dui)于(yu)(yu)n=1點(dian)(dian)的(de)信(xin)號，是直流分(fen)量，幅(fu)度(du)即為(wei)A1/N。由于(yu)(yu)FFT結(jie)果的(de)對(dui)稱性(xing)，通常我們只使(shi)用前(qian)半(ban)部(bu)分(fen)的(de)結(jie)果，即小(xiao)于(yu)(yu)采樣頻率一半(ban)的(de)結(jie)果。
下面以(yi)(yi)一(yi)個實際的信(xin)號(hao)(hao)來做說明。假設(she)我(wo)們(men)(men)有一(yi)個信(xin)號(hao)(hao)，它(ta)含有2V的直流分(fen)量，頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為50Hz、相位為-30度(du)(du)、幅度(du)(du)為3V的交流信(xin)號(hao)(hao)，以(yi)(yi)及一(yi)個頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)為75Hz、相位為90度(du)(du)、幅度(du)(du)為1.5V的交流信(xin)號(hao)(hao)。用數(shu)學表達式就(jiu)是(shi)如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)。式中cos參數(shu)為弧(hu)度(du)(du)，所以(yi)(yi)-30度(du)(du)和90度(du)(du)要(yao)分(fen)別換算(suan)成弧(hu)度(du)(du)。我(wo)們(men)(men)以(yi)(yi)256Hz的采樣率(lv)(lv)(lv)對(dui)這(zhe)個信(xin)號(hao)(hao)進行采樣，總(zong)共采樣256點(dian)(dian)。按照我(wo)們(men)(men)上面的分(fen)析，Fn=(n-1)*Fs/N，我(wo)們(men)(men)可以(yi)(yi)知道，每兩(liang)個點(dian)(dian)之間(jian)(jian)的間(jian)(jian)距就(jiu)是(shi)1Hz，第(di)n個點(dian)(dian)的頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)就(jiu)是(shi)n-1。我(wo)們(men)(men)的信(xin)號(hao)(hao)有3個頻(pin)(pin)率(lv)(lv)(lv)：0Hz、50Hz、75Hz，應該分(fen)別在第(di)1個點(dian)(dian)、第(di)51個點(dian)(dian)、第(di)76個點(dian)(dian)上出現峰值，其(qi)它(ta)各點(dian)(dian)應該接近0。實際情況如何呢？我(wo)們(men)(men)來看(kan)看(kan)FFT的結(jie)果的模值如圖(tu)所示(shi)。
從圖(tu)中我們可以看到(dao)，在第(di)1點(dian)、第(di)51點(dian)、和第(di)76點(dian)附近(jin)有比較大的值(zhi)。我們分別將這三個點(dian)附近(jin)的數據拿上來細看：
1點： 512+0i
2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3點(dian)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51點：332.55 - 192i
52點(dian)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76點：3.4315E-12 + 192i
77點(dian)：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很(hen)明顯，1點(dian)(dian)、51點(dian)(dian)、76點(dian)(dian)的(de)值(zhi)(zhi)都比(bi)較大，它(ta)附近的(de)點(dian)(dian)值(zhi)(zhi)都很(hen)小，可(ke)以(yi)認為是0，即在那些頻率點(dian)(dian)上(shang)的(de)信號幅(fu)度(du)為0。接著，我們來計(ji)(ji)算各點(dian)(dian)的(de)幅(fu)度(du)值(zhi)(zhi)。分別計(ji)(ji)算這(zhe)三個點(dian)(dian)的(de)模值(zhi)(zhi)，結果如下(xia)：
1點： 512
51點：384
76點：192
按照公(gong)式(shi)，可(ke)以(yi)計算出(chu)直流分量為：512/N=512/256=2；50Hz信(xin)號(hao)的(de)幅度(du)為：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信(xin)號(hao)的(de)幅度(du)為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可(ke)見，從頻譜分析出(chu)來的(de)幅度(du)是正確的(de)。
然(ran)后再來計(ji)算相位(wei)信息。直流(liu)信號(hao)沒(mei)有相位(wei)可(ke)言，不用管它(ta)。先計(ji)算50Hz信號(hao)的相位(wei)，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結果是(shi)弧度(du)，換算為角度(du)就(jiu)是(shi)180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(ji)算75Hz信號(hao)的相位(wei)，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度(du)，換算成角度(du)就(jiu)是(shi)180*1.5708/pi=90.0002。可(ke)見，相位(wei)也是(shi)對的。根據FFT結果以及上面的分析計(ji)算，我們就(jiu)可(ke)以寫出信號(hao)的表達式了，它(ta)就(jiu)是(shi)我們開(kai)始提供的信號(hao)。
總(zong)結：假設采樣頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)Fs，采樣點(dian)(dian)數(shu)(shu)為(wei)N，做FFT之后(hou)，某一點(dian)(dian)n（n從1開(kai)始）表(biao)示的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)為(wei)：Fn=(n-1)*Fs/N；該點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)模值除以N/2就是對應該頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)幅度（對于直流信(xin)(xin)(xin)(xin)號是除以N）；該點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位即是對應該頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)下(xia)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號的(de)(de)(de)(de)(de)相(xiang)位。相(xiang)位的(de)(de)(de)(de)(de)計(ji)算(suan)可用函數(shu)(shu)atan2(b,a)計(ji)算(suan)。atan2(b,a)是求坐(zuo)標為(wei)(a,b)點(dian)(dian)的(de)(de)(de)(de)(de)角度值，范圍從-pi到pi。要(yao)精確到xHz，則(ze)需要(yao)采樣長度為(wei)1/x秒的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號，并做FFT。要(yao)提高(gao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)辨率(lv)(lv)(lv)(lv)，就需要(yao)增加采樣點(dian)(dian)數(shu)(shu)，這(zhe)在(zai)一些(xie)實際的(de)(de)(de)(de)(de)應用中是不現(xian)實的(de)(de)(de)(de)(de)，需要(yao)在(zai)較短(duan)的(de)(de)(de)(de)(de)時(shi)間(jian)內完成分(fen)析。解決這(zhe)個(ge)問題(ti)的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法(fa)有頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)細分(fen)法(fa)，比較簡單的(de)(de)(de)(de)(de)方(fang)法(fa)是采樣比較短(duan)時(shi)間(jian)的(de)(de)(de)(de)(de)信(xin)(xin)(xin)(xin)號，然后(hou)在(zai)后(hou)面補(bu)充(chong)一定(ding)(ding)數(shu)(shu)量的(de)(de)(de)(de)(de)0，使其長度達到需要(yao)的(de)(de)(de)(de)(de)點(dian)(dian)數(shu)(shu)，再做FFT，這(zhe)在(zai)一定(ding)(ding)程度上能夠提高(gao)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)分(fen)辨力。具體的(de)(de)(de)(de)(de)頻(pin)率(lv)(lv)(lv)(lv)細分(fen)法(fa)可參考相(xiang)關(guan)文(wen)獻。
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