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復變函數(shu)(shu)中，e^(ix)=(cos x+isin x)稱為(wei)歐拉公(gong)式(shi)，e是自然(ran)對數(shu)(shu)的(de)底，i是虛(xu)數(shu)(shu)單位。

拓撲(pu)學中，在任何(he)一(yi)個規則球面地(di)圖上，用R記區域個數(shu)，V記頂(ding)點個數(shu)，E記邊界個數(shu)，則R+V-E=2，這(zhe)就(jiu)是(shi)歐(ou)拉定理，它于(yu)1640年(nian)由(you)Descartes首先給(gei)出(chu)證明，后來Euler(歐(ou)拉)于(yu)1752年(nian)又獨立地(di)給(gei)出(chu)證明，我們稱(cheng)(cheng)其為(wei)歐(ou)拉定理，在國外也有人稱(cheng)(cheng)其為(wei)Descartes定理。

復變函數

把復指(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)(shu)與三角(jiao)函數(shu)(shu)(shu)(shu)聯(lian)系起來(lai)的(de)(de)(de)一個公(gong)式，，e是(shi)自然對數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)底，i是(shi)虛(xu)數(shu)(shu)(shu)(shu)單位。它(ta)將指(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)定義域(yu)擴大到復數(shu)(shu)(shu)(shu)，建立了三角(jiao)函數(shu)(shu)(shu)(shu)和指(zhi)數(shu)(shu)(shu)(shu)函數(shu)(shu)(shu)(shu)的(de)(de)(de)關系，它(ta)不(bu)僅出現在數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)分析里(li)(li)，而(er)且(qie)在復變函數(shu)(shu)(shu)(shu)論(lun)里(li)(li)也占有非常重(zhong)要的(de)(de)(de)地位，更被譽為“數(shu)(shu)(shu)(shu)學(xue)中的(de)(de)(de)天橋(qiao)”。

拓撲學

拓撲學又稱(cheng)“連(lian)續幾何學”。

幾何學(xue)的一門(men)分(fen)科。研究幾何圖(tu)形經過連續形變(bian)后仍能保持的性質。包(bao)括點集拓撲(pu)(pu)、代數拓撲(pu)(pu)、微分(fen)拓撲(pu)(pu)等(deng)分(fen)支。

在(zai)代(dai)數(shu)拓撲中，歐拉示性數(shu)（Euler characteristic）是一(yi)個拓撲不變量(liang)（事實(shi)上，是同倫(lun)不變量(liang)），對于一(yi)大類拓撲空間有(you)定義(yi)。它通常記作。

二維拓(tuo)撲多面(mian)體的歐拉示(shi)性數(shu)可以(yi)用以(yi)下公式計算：

其中V、E和F分別是點、邊和面的個數。 特(te)別的有(you)，對于(yu)所有(you)和一(yi)個球面同胚的多面體，我們有(you)

拓撲學中歐拉公式的證明

用數學歸納法證明

(1)當R=2時，由(you)說明1,這兩個區域可想象為以赤(chi)道為邊界的兩個半球面，赤(chi)道上有(you)兩個“頂點”將(jiang)赤(chi)道分成(cheng)兩條“邊界”，即 R= 2，V= 2，E= 2；于(yu)是 R+ V- E= 2,歐拉(la)定理成(cheng)立.。

(2)設(she)R=m(m≥2)時(shi)(shi)歐(ou)拉(la)定理(li)(li)成(cheng)立(li)，下面證(zheng)明R=m+1時(shi)(shi)歐(ou)拉(la)定理(li)(li)也成(cheng)立(li)。

由說明2，我們在(zai)R=m+1的(de)地圖(tu)上任選(xuan)一(yi)(yi)(yi)(yi)個(ge)區域X，則X必(bi)有與它如此相鄰的(de)區域Y，使(shi)得在(zai)去(qu)掉X和(he)Y之(zhi)間的(de)唯(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)后，地圖(tu)上只(zhi)有m個(ge)區域了；在(zai)去(qu)掉X和(he)Y之(zhi)間的(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)后，若原(yuan)該邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)兩(liang)端(duan)的(de)頂點(dian)(dian)(dian)現在(zai)都還(huan)是(shi)3條(tiao)(tiao)(tiao)或3條(tiao)(tiao)(tiao)以上邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)的(de)頂點(dian)(dian)(dian)，則該頂點(dian)(dian)(dian)保留，同時其他(ta)的(de)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)數(shu)不變;若原(yuan)該邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)一(yi)(yi)(yi)(yi)端(duan)或兩(liang)端(duan)的(de)頂點(dian)(dian)(dian)現在(zai)成(cheng)為2條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)的(de)頂點(dian)(dian)(dian)，則去(qu)掉該頂點(dian)(dian)(dian)，該頂點(dian)(dian)(dian)兩(liang)邊(bian)(bian)的(de)兩(liang)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)便(bian)成(cheng)為一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)。于是(shi)，在(zai)去(qu)掉X和(he)Y之(zhi)間的(de)唯(wei)一(yi)(yi)(yi)(yi)一(yi)(yi)(yi)(yi)條(tiao)(tiao)(tiao)邊(bian)(bian)界(jie)(jie)(jie)時只(zhi)有三種情況(kuang)：

①減(jian)少(shao)一(yi)個區(qu)域(yu)和(he)一(yi)條邊界；

②減少(shao)一(yi)個(ge)區(qu)域、一(yi)個(ge)頂點和兩(liang)條邊界；

③減少一個(ge)區域、兩(liang)個(ge)頂點(dian)和三條邊界；

即(ji)在去掉(diao)X和(he)Y之(zhi)間的(de)(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)時(shi)，不論何種(zhong)情(qing)況都必定有“減少的(de)(de)(de)區(qu)域數+減少的(de)(de)(de)頂(ding)點數=減少的(de)(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)數”我們將上述過程(cheng)反過來(即(ji)將X和(he)Y之(zhi)間去掉(diao)的(de)(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)又照(zhao)原樣(yang)畫上)，就又成為R= m+ 1的(de)(de)(de)地圖了(le)，在這(zhe)一過程(cheng)中必然(ran)是(shi)“增加(jia)的(de)(de)(de)區(qu)域數+ 增加(jia)的(de)(de)(de)頂(ding)點數 = 增加(jia)的(de)(de)(de)邊(bian)(bian)界(jie)數”。

因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ，則 R= m+ 1時歐拉定理也成立.。

由(1)和(he)(2)可知，對(dui)于任何正整數R≥2,歐拉定(ding)理(li)成立。

柯西的證明

第一個歐拉公式的嚴(yan)格證明(ming)，由20歲的柯西給出，大(da)致如下：

從(cong)多面(mian)(mian)(mian)體去(qu)掉(diao)一(yi)(yi)面(mian)(mian)(mian)，通(tong)過把(ba)去(qu)掉(diao)的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)的(de)(de)(de)邊互相拉遠，把(ba)所有剩下的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)變成點(dian)和曲線的(de)(de)(de)平面(mian)(mian)(mian)網絡。不(bu)失(shi)一(yi)(yi)般性，可以假(jia)設變形的(de)(de)(de)邊繼續保持(chi)為(wei)直(zhi)線段。正(zheng)常(chang)的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)不(bu)再(zai)是正(zheng)常(chang)的(de)(de)(de)多邊形即使開始的(de)(de)(de)時候它們是正(zheng)常(chang)的(de)(de)(de)。但是，點(dian)，邊和面(mian)(mian)(mian)的(de)(de)(de)個數保持(chi)不(bu)變，和給定多面(mian)(mian)(mian)體的(de)(de)(de)一(yi)(yi)樣(yang)(移去(qu)的(de)(de)(de)面(mian)(mian)(mian)對(dui)應網絡的(de)(de)(de)外部(bu)。)

重復一系列可以簡化(hua)網絡(luo)卻(que)不改變其歐拉數（也是歐拉示性數）的額外變換。

若有(you)一(yi)個多邊(bian)(bian)(bian)(bian)形(xing)面有(you)3條邊(bian)(bian)(bian)(bian)以上，我們(men)劃一(yi)個對角線。這增加(jia)一(yi)條邊(bian)(bian)(bian)(bian)和(he)一(yi)個面。繼續增加(jia)邊(bian)(bian)(bian)(bian)直到所有(you)面都(dou)是三角形(xing)。

除掉只有一條邊和外部相鄰的三(san)角形(xing)。這把邊和面的個數(shu)各減一而(er)保持頂點數(shu)不變。

（逐個(ge)）除去所有(you)和網絡外部共享兩條邊的(de)三角形。這會減少一(yi)個(ge)頂(ding)點、兩條邊和一(yi)個(ge)面。

重復使用(yong)第2步(bu)和第3步(bu)直到只剩一個三角(jiao)形。對于一個三角(jiao)形（把(ba)外部(bu)數(shu)在內），。所(suo)以。

推理證明

設想這個多面體是先有一(yi)(yi)個面，然后(hou)將(jiang)其他各面一(yi)(yi)個接一(yi)(yi)個地添(tian)裝上去的.因為一(yi)(yi)共有F個面，因此(ci)要添(tian)(F-1)個面.

考察第Ⅰ個(ge)面，設它是(shi)n邊(bian)形，有(you)n個(ge)頂(ding)點(dian)(dian)，n條邊(bian)，這時E=V，即(ji)棱數等于頂(ding)點(dian)(dian)數.

添上第Ⅱ個(ge)面后，因為一條棱與原來的棱重合，而且有兩個(ge)頂(ding)點(dian)和(he)第Ⅰ個(ge)面的兩個(ge)頂(ding)點(dian)重合，所以增加的棱數比增加的頂(ding)點(dian)數多1，因此，這時E=V+1.

以(yi)后每增(zeng)添一個面，總是增(zeng)加的棱(leng)數(shu)比增(zeng)加的頂點數(shu)多(duo)1，例如(ru)

增添兩個面(mian)后，有關系E=V+2;

增添三個面后，有關系E=V+3;

……

增添(F-2)個面(mian)后，有關系E=V+(F-2).

最后增添一個面后，就成(cheng)為多(duo)面體，這時棱(leng)數和(he)頂點(dian)數都沒(mei)有增加.因此(ci)，關系式(shi)仍(reng)為E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

這個(ge)公(gong)式(shi)(shi)叫做歐拉公(gong)式(shi)(shi).它表(biao)明2這個(ge)數是簡單多面(mian)體表(biao)面(mian)在連續(xu)變形下(xia)不變的數。

分式

當r=0或1時(shi)(shi)式子的值(zhi)為(wei)0，當r=2時(shi)(shi)值(zhi)為(wei)1，當r=3時(shi)(shi)值(zhi)為(wei)a+b+c。

平面幾何

設△ABC的外(wai)心(xin)為O，內(nei)心(xin)為I，外(wai)接圓半(ban)徑為R，內(nei)切圓半(ban)徑為r，又(you)記外(wai)心(xin)、內(nei)心(xin)的距離(li)OI為d，則(ze)有

（1）式稱(cheng)為歐(ou)拉(la)公(gong)式。

為(wei)了證明(ming)（1）式，我們現將它改(gai)成

（2）式(shi)左邊(bian)是點I對(dui)于(yu)⊙O的(de)(de)冪(mi)：過圓內任一點P的(de)(de)弦被(bei)P分成兩個部分，這兩個部分的(de)(de)乘積(ji)是一個定值，稱為P關于(yu)⊙O的(de)(de)冪(mi)。事實上(shang)，如果將(jiang)OI延(yan)長交圓于(yu)E、F，那(nei)么

因此，設AI交⊙O于M，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為了證明（5）式，應(ying)當尋(xun)找兩(liang)個相似的三角形。一個以長IA、r為邊(bian)(bian)；另(ling)(ling)一個以長2R、MI為邊(bian)(bian)。前(qian)一個不難找，△IDA就是(shi)，D是(shi)內切(qie)圓(yuan)與AC的切(qie)點。后一個也(ye)必須是(shi)直角三角形，所(suo)以一邊(bian)(bian)是(shi)直徑ML，另(ling)(ling)一個頂點也(ye)應(ying)當在(zai)圓(yuan)上。△MBL就滿足要(yao)求。

容易證明

因此（5）式(shi)(shi)成(cheng)立(li)，從而（1）式(shi)(shi)成(cheng)立(li)。

因(yin)為，所(suo)以(yi)由歐拉公式得出(chu)一(yi)個副產品，即

統計學

特(te)征函數(shu)用歐(ou)拉公式：隨(sui)機(ji)變量X的特(te)征函數(shu)定義(yi)為(wei)

物理學

眾所周(zhou)知(zhi)，生活中處處存(cun)在著摩(mo)擦力，歐拉(la)測算出了摩(mo)擦力與繩索纏繞在樁上圈(quan)數之間的(de)關系。現將(jiang)歐拉(la)這個頗有價值的(de)公式列在這里(li)：

其中，f表示我們施加的(de)(de)力，F表示與其對抗的(de)(de)力，e為自(zi)然(ran)對數的(de)(de)底，k表示繩與樁之間的(de)(de)摩擦系數，a表示纏(chan)繞轉角，即繩索(suo)纏(chan)繞形成的(de)(de)弧長與弧半徑(jing)之比(bi)。

圖論

設G為n階(jie)m條(tiao)邊(bian)r個面的連通平面圖，則(ze)n-m+r=2，此公式稱(cheng)為歐拉(la)公式。可(ke)以(yi)通過歸納法證明，且(qie)證明方(fang)法和拓(tuo)撲學(xue)中(zhong)的類似(si)，此處略去(qu)。盡管和拓(tuo)撲中(zhong)的歐拉(la)公式十分(fen)相(xiang)似(si)，但(dan)圖論在現代一般劃分(fen)在離散數(shu)學(xue)的研究(jiu)范疇內，因此在這(zhe)里單(dan)獨(du)列出。