麥克(ke)斯(si)(si)(si)韋(wei)方(fang)程(cheng)組，是英國物(wu)理(li)學家詹姆(mu)斯(si)(si)(si)·克(ke)拉克(ke)·麥克(ke)斯(si)(si)(si)韋(wei)在19世(shi)紀(ji)建(jian)立(li)的(de)(de)一組描述(shu)(shu)電(dian)場(chang)(chang)、磁(ci)(ci)(ci)場(chang)(chang)與電(dian)荷(he)密(mi)度、電(dian)流(liu)密(mi)度之間關系的(de)(de)偏微分方(fang)程(cheng)。它由四個方(fang)程(cheng)組成(cheng)：描述(shu)(shu)電(dian)荷(he)如何產(chan)生電(dian)場(chang)(chang)的(de)(de)高斯(si)(si)(si)定律(lv)(lv)、論述(shu)(shu)磁(ci)(ci)(ci)單極子不存(cun)在的(de)(de)高斯(si)(si)(si)磁(ci)(ci)(ci)定律(lv)(lv)、描述(shu)(shu)電(dian)流(liu)和時變(bian)電(dian)場(chang)(chang)怎(zen)樣產(chan)生磁(ci)(ci)(ci)場(chang)(chang)的(de)(de)麥克(ke)斯(si)(si)(si)韋(wei)-安培定律(lv)(lv)、描述(shu)(shu)時變(bian)磁(ci)(ci)(ci)場(chang)(chang)如何產(chan)生電(dian)場(chang)(chang)的(de)(de)法拉第(di)感應定律(lv)(lv)。
從(cong)麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu)(zu)，可(ke)以推論出(chu)(chu)電(dian)磁(ci)波在真空中以光速傳播，并進而(er)做(zuo)出(chu)(chu)光是電(dian)磁(ci)波的猜(cai)想。麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組(zu)(zu)和洛倫茲(zi)力(li)方(fang)程(cheng)是經典電(dian)磁(ci)學的基礎方(fang)程(cheng)。從(cong)這些基礎方(fang)程(cheng)的相(xiang)關理論，發展出(chu)(chu)現代的電(dian)力(li)科技與電(dian)子科技。
麥克斯韋在1865年(nian)提出的(de)(de)最初形式的(de)(de)方程(cheng)組由20個等式和(he)20個變(bian)量組成。他(ta)在1873年(nian)嘗試用四元數來表達(da)，但未成功。現在所(suo)使(shi)用的(de)(de)數學形式是(shi)奧利弗(fu)·赫維(wei)賽德和(he)約西亞·吉布斯于1884年(nian)以矢量分析的(de)(de)形式重新表達(da)的(de)(de)。
麥克斯韋誕(dan)生前(qian)的(de)(de)半個多世紀，人類對電(dian)磁現(xian)象的(de)(de)認(ren)識(shi)取(qu)得了很大的(de)(de)進展。1785年，法(fa)國物理學(xue)家C.A.庫侖（Charles A. Coulomb）在扭秤實(shi)驗結(jie)果的(de)(de)基礎上，建立(li)了說(shuo)明兩個點電(dian)荷(he)之間相(xiang)互(hu)作(zuo)用(yong)(yong)力(li)的(de)(de)庫侖定(ding)律。1820年，H.C.奧斯特（Hans Christian Oersted）發(fa)現(xian)電(dian)流(liu)能使磁針(zhen)偏轉，從而把(ba)電(dian)與磁聯系起來。其后，A.M.安培（Andre Marie Ampère）研究了電(dian)流(liu)之間的(de)(de)相(xiang)互(hu)作(zuo)用(yong)(yong)力(li)，提出(chu)(chu)了許(xu)多重要概念和安培環路(lu)定(ding)律。M.法(fa)拉第（Michael Faraday）在很多方面有杰(jie)出(chu)(chu)貢獻，特別(bie)是1831年發(fa)表的(de)(de)電(dian)磁感應(ying)定(ding)律，是電(dian)機(ji)、變(bian)壓器等(deng)設備的(de)(de)重要理論基礎。
1845年，關于電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)現象的三個最基(ji)本(ben)的實驗定(ding)律：庫(ku)侖定(ding)律（1785年）、畢奧(ao)-薩(sa)伐(fa)爾(er)定(ding)律（1820年）、法(fa)(fa)拉(la)第(di)電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)感應定(ding)律（1831~1845年）已被總結出來，法(fa)(fa)拉(la)第(di)的“電(dian)(dian)(dian)(dian)力線”和“磁(ci)(ci)力線”（現在也叫做“電(dian)(dian)(dian)(dian)場線”與“磁(ci)(ci)感線”）概念已發展成“電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)場概念”。1855年至1865年，麥克斯韋在全面地審視了庫(ku)侖定(ding)律、畢奧(ao)—薩(sa)伐(fa)爾(er)定(ding)律和法(fa)(fa)拉(la)第(di)定(ding)律的基(ji)礎上，把數學分析方法(fa)(fa)帶進了電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)學的研究領域，由此導致麥克斯韋電(dian)(dian)(dian)(dian)磁(ci)(ci)理(li)論的誕生(sheng)。
在麥克斯韋之前，關于電磁現象的學說都以超(chao)距作用觀念(nian)為(wei)(wei)基(ji)礎，認(ren)為(wei)(wei)帶電體(ti)、磁化體(ti)或載流導體(ti)之間的相互作用，都是(shi)(shi)可以超(chao)越中間媒質而(er)直接進(jin)行(xing)并立即(ji)完成的，即(ji)認(ren)為(wei)(wei)電磁擾動(dong)的傳(chuan)播速度無限大。在那個時期，持(chi)不同意見的只有法拉第。他認(ren)為(wei)(wei)上述(shu)這(zhe)些相互作用與中間媒質有關，是(shi)(shi)通過中間媒質的傳(chuan)遞(di)而(er)進(jin)行(xing)的，即(ji)主張(zhang)間遞(di)學說。
麥(mai)克(ke)斯韋(wei)繼承了(le)法拉第(di)的(de)(de)(de)觀(guan)點(dian)，參照(zhao)流(liu)體力學的(de)(de)(de)模型，應用嚴謹的(de)(de)(de)數(shu)學形式總(zong)結了(le)前人的(de)(de)(de)工作，提出了(le)位移電(dian)流(liu)的(de)(de)(de)假說，推廣(guang)了(le)電(dian)流(liu)的(de)(de)(de)涵(han)義，將電(dian)磁場基本(ben)定律歸結為(wei)四個微分方(fang)程，這(zhe)就是著名的(de)(de)(de)麥(mai)克(ke)斯韋(wei)方(fang)程組(zu)。他對這(zhe)組(zu)方(fang)程進行了(le)分析，預見到電(dian)磁波(bo)(bo)的(de)(de)(de)存在，并(bing)斷定，電(dian)磁波(bo)(bo)的(de)(de)(de)傳播速(su)度(du)為(wei)有限值（與光(guang)(guang)速(su)接(jie)近），且光(guang)(guang)也是某種頻率的(de)(de)(de)電(dian)磁波(bo)(bo)。上述這(zhe)些，他都寫入題為(wei)《論電(dian)與磁》的(de)(de)(de)論文中。
1887年，海(hai)因(yin)里(li)希(xi)·魯道夫(fu)·赫茲（Heinrich R. Hertz）用實驗(yan)方法產(chan)生和檢測到(dao)了電(dian)磁(ci)波，證實了麥(mai)克斯(si)韋的預見。1905～1915年間，A.愛因(yin)斯(si)坦（Albert Einstein）的相對論進一步論證了時(shi)間、空間、質量(liang)、能量(liang)和運(yun)動之(zhi)間的關系(xi)，說明電(dian)磁(ci)場就是物質的一種形式，間遞學說得(de)到(dao)了公認。
麥克斯韋方(fang)程組乃是(shi)由四個方(fang)程共同組成的：
高(gao)斯定(ding)律：該(gai)定(ding)律描述電(dian)(dian)場與空間中電(dian)(dian)荷分布的(de)(de)關系。電(dian)(dian)場線(xian)開始(shi)于正電(dian)(dian)荷，終止于負電(dian)(dian)荷（或無(wu)窮(qiong)遠）。計(ji)算穿過某給定(ding)閉(bi)曲(qu)(qu)(qu)面的(de)(de)電(dian)(dian)場線(xian)數量(liang)，即(ji)其電(dian)(dian)通量(liang)，可以得(de)知包(bao)含在這閉(bi)曲(qu)(qu)(qu)面內的(de)(de)總(zong)電(dian)(dian)荷。更(geng)詳細地說，這定(ding)律描述穿過任(ren)意閉(bi)曲(qu)(qu)(qu)面的(de)(de)電(dian)(dian)通量(liang)與這閉(bi)曲(qu)(qu)(qu)面內的(de)(de)電(dian)(dian)荷之間的(de)(de)關系。
高斯磁(ci)定(ding)律：該定(ding)律表明(ming)，磁(ci)單極子實際上并不存在。所以(yi)(yi)，沒(mei)(mei)有孤立磁(ci)荷，磁(ci)場線(xian)沒(mei)(mei)有初始(shi)點(dian)，也(ye)沒(mei)(mei)有終止點(dian)。磁(ci)場線(xian)會(hui)形成循環或延伸至無(wu)窮遠。換(huan)句話說(shuo)，進(jin)入任何區(qu)域的(de)磁(ci)場線(xian)，必(bi)需(xu)從那(nei)區(qu)域離開。以(yi)(yi)術語來說(shuo)，通過任意閉曲面的(de)磁(ci)通量等于(yu)零(ling)，或者(zhe)，磁(ci)場是一個無(wu)源場。
法拉第感(gan)(gan)應定律：該定律描述時變磁(ci)(ci)場怎樣感(gan)(gan)應出(chu)電(dian)(dian)場。電(dian)(dian)磁(ci)(ci)感(gan)(gan)應是制(zhi)造(zao)許多發電(dian)(dian)機的理論基礎。例如，一(yi)塊旋轉的條形磁(ci)(ci)鐵會(hui)產(chan)生(sheng)時變磁(ci)(ci)場，這又接(jie)下來會(hui)生(sheng)成電(dian)(dian)場，使得鄰近的閉合電(dian)(dian)路因(yin)而感(gan)(gan)應出(chu)電(dian)(dian)流。
麥克斯韋-安培(pei)定律(lv)：該定律(lv)闡明，磁(ci)場可以用(yong)兩種方法生成：一種是(shi)靠(kao)傳導(dao)電(dian)流(liu)（原本(ben)的安培(pei)定律(lv)），另一種是(shi)靠(kao)時變電(dian)場，或稱位移電(dian)流(liu)（麥克斯韋修(xiu)正項）。
在電磁(ci)(ci)學(xue)里，麥克斯(si)韋(wei)修(xiu)正(zheng)項意味(wei)著時變電場(chang)(chang)(chang)可(ke)以生成(cheng)磁(ci)(ci)場(chang)(chang)(chang)，而由于(yu)(yu)法(fa)拉第感應定(ding)律，時變磁(ci)(ci)場(chang)(chang)(chang)又可(ke)以生成(cheng)電場(chang)(chang)(chang)。這樣，兩個方程在理論上(shang)允許自我維持(chi)的(de)電磁(ci)(ci)波傳播于(yu)(yu)空間。
麥克斯韋電磁場理論的(de)要點可以歸(gui)結(jie)為：
①幾分立的(de)帶(dai)電體或電流，它(ta)們之(zhi)間的(de)一(yi)切電的(de)及磁的(de)作用都是(shi)(shi)通過它(ta)們之(zhi)間的(de)中間區域(yu)傳遞的(de)，不論中間區域(yu)是(shi)(shi)真空還是(shi)(shi)實體物質。
②電(dian)能(neng)(neng)或磁(ci)能(neng)(neng)不(bu)僅(jin)存在(zai)于帶電(dian)體、磁(ci)化體或帶電(dian)流(liu)物體中(zhong)(zhong)，其大部分(fen)分(fen)布在(zai)周圍的電(dian)磁(ci)場中(zhong)(zhong)。
③導(dao)(dao)(dao)體構(gou)成的(de)電路若有中(zhong)斷處，電路中(zhong)的(de)傳導(dao)(dao)(dao)電流將由電介(jie)質中(zhong)的(de)位(wei)移(yi)電流補償貫通，即(ji)全電流連續(xu)。且(qie)位(wei)移(yi)電流與其所產生的(de)磁場的(de)關系(xi)與傳導(dao)(dao)(dao)電流的(de)相同。
④磁(ci)通量既無始點(dian)又無終點(dian)，即不存在磁(ci)荷。
⑤光波也是(shi)電磁波。
麥克(ke)斯韋方(fang)程組有兩種表達方(fang)式。
1.積(ji)分形式的麥克斯韋方程組是(shi)描(miao)述電磁(ci)場在(zai)某(mou)一體積(ji)或(huo)某(mou)一面積(ji)內(nei)的數學(xue)模型。表(biao)達(da)式為：
式①是(shi)(shi)(shi)(shi)由(you)安培環路定(ding)律(lv)推廣而得的(de)(de)(de)全電(dian)(dian)(dian)(dian)流定(ding)律(lv)，其含義(yi)是(shi)(shi)(shi)(shi)：磁場(chang)強度H沿(yan)(yan)任(ren)意閉(bi)合(he)曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)線(xian)(xian)(xian)積(ji)分(fen)，等(deng)于(yu)穿過(guo)此曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)(xian)限定(ding)面(mian)(mian)積(ji)的(de)(de)(de)全電(dian)(dian)(dian)(dian)流。等(deng)號右邊第(di)一項是(shi)(shi)(shi)(shi)傳導電(dian)(dian)(dian)(dian)流．第(di)二項是(shi)(shi)(shi)(shi)位移電(dian)(dian)(dian)(dian)流。式②是(shi)(shi)(shi)(shi)法拉第(di)電(dian)(dian)(dian)(dian)磁感(gan)應定(ding)律(lv)的(de)(de)(de)表達式，它說(shuo)(shuo)明(ming)電(dian)(dian)(dian)(dian)場(chang)強度E沿(yan)(yan)任(ren)意閉(bi)合(he)曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)(xian)的(de)(de)(de)線(xian)(xian)(xian)積(ji)分(fen)等(deng)于(yu)穿過(guo)由(you)該曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)(xian)所限定(ding)面(mian)(mian)積(ji)的(de)(de)(de)磁通對時(shi)間的(de)(de)(de)變化率的(de)(de)(de)負值。這里提到的(de)(de)(de)閉(bi)合(he)曲(qu)(qu)(qu)線(xian)(xian)(xian)，并不(bu)一定(ding)要由(you)導體構成(cheng)，它可(ke)以(yi)是(shi)(shi)(shi)(shi)介(jie)質回路，甚至只是(shi)(shi)(shi)(shi)任(ren)意一個(ge)閉(bi)合(he)輪(lun)廓。式③表示磁通連續性原理，說(shuo)(shuo)明(ming)對于(yu)任(ren)意一個(ge)閉(bi)合(he)曲(qu)(qu)(qu)面(mian)(mian)，有多少磁通進入曲(qu)(qu)(qu)面(mian)(mian)就有同樣數量的(de)(de)(de)磁通離開(kai)。即(ji)B線(xian)(xian)(xian)是(shi)(shi)(shi)(shi)既無(wu)始端又(you)無(wu)終(zhong)端的(de)(de)(de)；同時(shi)也說(shuo)(shuo)明(ming)并不(bu)存在與電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)相對應的(de)(de)(de)磁荷(he)。式④是(shi)(shi)(shi)(shi)高斯定(ding)律(lv)的(de)(de)(de)表達式，說(shuo)(shuo)明(ming)在時(shi)變的(de)(de)(de)條(tiao)件(jian)下，從任(ren)意一個(ge)閉(bi)合(he)曲(qu)(qu)(qu)面(mian)(mian)出來的(de)(de)(de)D的(de)(de)(de)凈通量，應等(deng)于(yu)該閉(bi)曲(qu)(qu)(qu)面(mian)(mian)所包(bao)圍的(de)(de)(de)體積(ji)內全部自由(you)電(dian)(dian)(dian)(dian)荷(he)之總和。
2.微分(fen)(fen)形式(shi)的麥克(ke)斯(si)韋方(fang)程(cheng)組。微分(fen)(fen)形式(shi)的麥克(ke)斯(si)韋方(fang)程(cheng)是對場(chang)中每(mei)一點(dian)而言的。應用del算子，可以把它(ta)們寫(xie)成
式(shi)(shi)(shi)⑤是(shi)(shi)(shi)全電(dian)流(liu)定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)(de)微分(fen)形式(shi)(shi)(shi)，它(ta)說明磁(ci)場強(qiang)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)H的(de)(de)(de)(de)旋度(du)(du)(du)(du)(du)(du)等于(yu)該(gai)點的(de)(de)(de)(de)全電(dian)流(liu)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)（傳導電(dian)流(liu)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)J與(yu)位移(yi)電(dian)流(liu)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)之和），即磁(ci)場的(de)(de)(de)(de)漩(xuan)渦(wo)源是(shi)(shi)(shi)全電(dian)流(liu)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)，位移(yi)電(dian)流(liu)與(yu)傳導電(dian)流(liu)一(yi)樣都能(neng)產生磁(ci)場。式(shi)(shi)(shi)⑥是(shi)(shi)(shi)法拉(la)第電(dian)磁(ci)感應(ying)(ying)定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)(de)微分(fen)形式(shi)(shi)(shi)，說明電(dian)場強(qiang)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)E的(de)(de)(de)(de)旋度(du)(du)(du)(du)(du)(du)等于(yu)該(gai)點磁(ci)通(tong)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)變(bian)化率(lv)的(de)(de)(de)(de)負值，即電(dian)場的(de)(de)(de)(de)渦(wo)旋源是(shi)(shi)(shi)磁(ci)通(tong)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)的(de)(de)(de)(de)時(shi)(shi)間(jian)變(bian)化率(lv)。式(shi)(shi)(shi)⑦是(shi)(shi)(shi)磁(ci)通(tong)連續性原理的(de)(de)(de)(de)微分(fen)形式(shi)(shi)(shi)，說明磁(ci)通(tong)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)B的(de)(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)(du)(du)(du)恒等于(yu)零(ling)，即B線是(shi)(shi)(shi)無(wu)始無(wu)終的(de)(de)(de)(de)。也(ye)就是(shi)(shi)(shi)說不存在與(yu)電(dian)荷(he)對應(ying)(ying)的(de)(de)(de)(de)磁(ci)荷(he)。式(shi)(shi)(shi)⑧是(shi)(shi)(shi)靜電(dian)場高斯定(ding)(ding)律的(de)(de)(de)(de)推(tui)廣，即在時(shi)(shi)變(bian)條件下(xia)，電(dian)位移(yi)D的(de)(de)(de)(de)散度(du)(du)(du)(du)(du)(du)仍等于(yu)該(gai)點的(de)(de)(de)(de)自由電(dian)荷(he)體(ti)密(mi)(mi)度(du)(du)(du)(du)(du)(du)。
除了上述四個方程外，還需要有(you)媒質的本構關系式(shi)
才能最終解(jie)(jie)決場量的求(qiu)解(jie)(jie)問(wen)題。式中ε是媒質(zhi)(zhi)的介電常數，μ是媒質(zhi)(zhi)的磁導率(lv)，σ是媒質(zhi)(zhi)的電導率(lv)。
麥克斯韋方程組的積分形式如下：
這是1873年(nian)前后，麥(mai)克斯韋提(ti)出的表(biao)述電磁場(chang)普遍規律的四(si)個方程。其(qi)中：
（1）描(miao)述了電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)的(de)性質。在(zai)一(yi)般情況下，電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)可(ke)(ke)以是(shi)自由電(dian)(dian)荷(he)的(de)電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)也可(ke)(ke)以是(shi)變化磁(ci)場(chang)(chang)(chang)激發的(de)感應(ying)(ying)電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)，而感應(ying)(ying)電(dian)(dian)場(chang)(chang)(chang)是(shi)渦旋場(chang)(chang)(chang)，它的(de)電(dian)(dian)位(wei)移(yi)線是(shi)閉(bi)合的(de)，對封閉(bi)曲面(mian)的(de)通量無貢獻。
（2）描述了(le)磁場(chang)(chang)的性質。磁場(chang)(chang)可(ke)以由(you)傳導電流(liu)激發，也可(ke)以由(you)變化電場(chang)(chang)的位(wei)移(yi)電流(liu)所激發，它們(men)的磁場(chang)(chang)都是渦旋(xuan)場(chang)(chang)，磁感應線(xian)都是閉合線(xian)，對封(feng)閉曲面的通量(liang)無貢獻。
（3）描(miao)述(shu)了(le)變化的磁場激(ji)發電(dian)場的規律。
（4）描述了傳導電流和變化的電場激發磁場的規律。
穩恒場中的形式
當
時，方程組就還原為靜電場(chang)和穩恒磁場(chang)的方程：
無場源自(zi)由空間中的形式
當，方程組就成為如下形式：
麥克斯(si)韋方程組的(de)積(ji)分(fen)形式反映了空間某區域的(de)電(dian)磁(ci)場量（D、E、B、H）和場源（電(dian)荷q、電(dian)流I）之間的(de)關系。
在電(dian)磁場的(de)實際(ji)應用中，經常要知道空間(jian)逐點的(de)電(dian)磁場量和電(dian)荷、電(dian)流之(zhi)間(jian)的(de)關系。從數學形(xing)(xing)式上(shang)，就是將(jiang)麥(mai)克斯(si)韋方程組的(de)積分形(xing)(xing)式化為微分形(xing)(xing)式。倒三角形(xing)(xing)為哈密頓算子(zi)。
注意：
(1)在不同(tong)的(de)慣性參照系中，麥克(ke)斯(si)韋方(fang)程(cheng)組有(you)同(tong)樣的(de)形式。
(2)應(ying)用(yong)麥克斯(si)韋方(fang)程(cheng)組解決實際問題，還要考(kao)慮介(jie)質對(dui)電磁場(chang)的影響。例如(ru)在(zai)均勻各(ge)向同性介(jie)質中，電磁場(chang)量與介(jie)質特性量有下列關系：
在(zai)非均勻介(jie)質(zhi)中，還要考慮電(dian)磁(ci)場量(liang)在(zai)界面上的邊值(zhi)關(guan)系。在(zai)利(li)用t=0時場量(liang)的初值(zhi)條件，原則上可(ke)以求出任一時刻空間(jian)任一點的電(dian)磁(ci)場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。
下面是(shi)高斯(si)單位制下的(de)麥克(ke)斯(si)韋(wei)方程組
當(dang)有介(jie)質(zhi)存在(zai)時，由于電(dian)(dian)場(chang)和磁場(chang)與介(jie)質(zhi)的相互(hu)影響，使電(dian)(dian)磁場(chang)量與介(jie)質(zhi)的特性有關，因此上述(shu)麥克斯韋(wei)方程組在(zai)這時還不是完備的，還需要再補充描述(shu)介(jie)質(zhi)（各向同性介(jie)質(zhi)）性質(zhi)的物性方程，分別為
式(shi)中，ε、μ和σ分別是介質的(de)絕對(dui)介電(dian)常數、絕對(dui)磁導(dao)率(lv)和導(dao)體(ti)的(de)電(dian)導(dao)率(lv)。
進一(yi)步(bu)的(de)理論證明麥克斯韋方程(cheng)組式與物性方程(cheng)式一(yi)起(qi)對(dui)于決定電(dian)(dian)磁(ci)場的(de)變(bian)化(hua)來說(shuo)是(shi)一(yi)組完備的(de)方程(cheng)式。這就(jiu)(jiu)是(shi)說(shuo)，當電(dian)(dian)荷、電(dian)(dian)流給(gei)定時，從上述方程(cheng)根(gen)據(ju)初(chu)始條件（以及(ji)必要的(de)邊界條件）就(jiu)(jiu)可以完全(quan)決定電(dian)(dian)磁(ci)場的(de)變(bian)化(hua)。當然(ran)，如(ru)果要討論電(dian)(dian)磁(ci)場對(dui)帶電(dian)(dian)粒子的(de)作用(yong)以及(ji)帶電(dian)(dian)粒子在(zai)電(dian)(dian)磁(ci)場中(zhong)的(de)運(yun)動，還需要洛倫茲力(li)公式。
對于(yu)正弦時變場，可以使用復矢量將電磁場定律表示為復數形式(shi)。
在(zai)復數形式(shi)(shi)的(de)電磁(ci)場定(ding)律中，由于(yu)復數場量(liang)和源量(liang)都只(zhi)是空(kong)間(jian)位(wei)置的(de)函數，在(zai)求解時，不必再考慮它們(men)與時間(jian)的(de)依(yi)賴關系。因(yin)此，對討論(lun)正弦時變場來說面采用復數形式(shi)(shi)的(de)電磁(ci)場定(ding)律是較為(wei)方便的(de)。
采用不同(tong)的單位(wei)(wei)制，麥克(ke)斯韋方(fang)程組的形式(shi)(shi)會(hui)稍微(wei)有(you)所改變(bian)，大致形式(shi)(shi)仍(reng)舊相(xiang)同(tong)，只是不同(tong)的常數(shu)會(hui)出現(xian)在方(fang)程內部不同(tong)位(wei)(wei)置(zhi)。
國際(ji)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)最常(chang)(chang)使用(yong)的單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，整個工程學(xue)領(ling)域都(dou)采用(yong)這種(zhong)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，大多數化(hua)學(xue)家也都(dou)使用(yong)這種(zhong)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，大學(xue)物(wu)理教(jiao)科書幾乎都(dou)采用(yong)這種(zhong)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。其它(ta)常(chang)(chang)用(yong)的單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)有(you)高斯(si)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)、洛倫(lun)(lun)茲-赫(he)(he)維賽德單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)（Lorentz-Heaviside units）和普朗(lang)克單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。由(you)厘米-克-秒制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)衍生(sheng)(sheng)的高斯(si)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，比較適合于(yu)教(jiao)學(xue)用(yong)途，能(neng)夠(gou)使得方(fang)程看起來更簡單(dan)(dan)(dan)(dan)、更易懂。洛倫(lun)(lun)茲-赫(he)(he)維賽德單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)也是(shi)(shi)衍生(sheng)(sheng)于(yu)厘米-克-秒制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，主要(yao)用(yong)于(yu)粒子物(wu)理學(xue)；普朗(lang)克單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)一種(zhong)自然(ran)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)，其單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)都(dou)是(shi)(shi)根據自然(ran)的性質定義，不是(shi)(shi)由(you)人為設定。普朗(lang)克單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)是(shi)(shi)研究理論物(wu)理學(xue)非常(chang)(chang)有(you)用(yong)的工具，能(neng)夠(gou)給出很大的啟示。在本頁里，除非特別說(shuo)明，所有(you)方(fang)程都(dou)采用(yong)國際(ji)單(dan)(dan)(dan)(dan)位(wei)(wei)(wei)(wei)(wei)制(zhi)(zhi)(zhi)(zhi)。
這里展示出麥(mai)克(ke)斯韋方程組的兩(liang)種等(deng)價表述(shu)。第一(yi)種表述(shu)如(ru)下：
這種表(biao)述(shu)將自由電(dian)(dian)(dian)荷(he)和束縛電(dian)(dian)(dian)荷(he)總(zong)(zong)(zong)和為高斯定律(lv)所需(xu)要的(de)(de)(de)總(zong)(zong)(zong)電(dian)(dian)(dian)荷(he)，又將自由電(dian)(dian)(dian)流(liu)、束縛電(dian)(dian)(dian)流(liu)和電(dian)(dian)(dian)極化電(dian)(dian)(dian)流(liu)總(zong)(zong)(zong)合為麥克斯韋-安(an)培定律(lv)內的(de)(de)(de)總(zong)(zong)(zong)電(dian)(dian)(dian)流(liu)。這種表(biao)述(shu)采用比(bi)較基礎、微觀的(de)(de)(de)觀點。這種表(biao)述(shu)可以應用于計算在真空里有限(xian)源電(dian)(dian)(dian)荷(he)與源電(dian)(dian)(dian)流(liu)所產生的(de)(de)(de)電(dian)(dian)(dian)場與磁(ci)場。但是(shi)，對(dui)于物質內部超多的(de)(de)(de)電(dian)(dian)(dian)子與原(yuan)子核(he)，實際(ji)而言，無法一(yi)一(yi)納入計算。事實上，經典電(dian)(dian)(dian)磁(ci)學(xue)也不需(xu)要這么精(jing)確的(de)(de)(de)答(da)案。
第二(er)種(zhong)(zhong)表述見前所述“積(ji)分形式(shi)”中的(de)“一般(ban)形式(shi)”。它以自(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)(he)自(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)流為源頭，而不直(zhi)接(jie)計算(suan)(suan)出(chu)現于(yu)電(dian)(dian)(dian)介(jie)(jie)質(zhi)的(de)束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)(he)出(chu)現于(yu)磁化(hua)(hua)物質(zhi)的(de)束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流和(he)(he)電(dian)(dian)(dian)極(ji)化(hua)(hua)電(dian)(dian)(dian)流所給(gei)出(chu)的(de)貢獻。由(you)于(yu)在(zai)(zai)一般(ban)實際狀(zhuang)況(kuang)，能(neng)夠直(zhi)接(jie)控制的(de)參數是(shi)自(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)荷(he)和(he)(he)自(zi)(zi)由(you)電(dian)(dian)(dian)流，而束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)荷(he)、束(shu)縛(fu)電(dian)(dian)(dian)流和(he)(he)電(dian)(dian)(dian)極(ji)化(hua)(hua)電(dian)(dian)(dian)流是(shi)物質(zhi)經(jing)過極(ji)化(hua)(hua)后(hou)產生的(de)現象，采用這種(zhong)(zhong)表述會使得在(zai)(zai)介(jie)(jie)電(dian)(dian)(dian)質(zhi)或磁化(hua)(hua)物質(zhi)內各種(zhong)(zhong)物理計算(suan)(suan)更加簡易。
表面(mian)上看，麥克斯韋方(fang)程(cheng)組似乎(hu)是(shi)超定(ding)(ding)(ding)的(de)(de)（overdetermined）方(fang)程(cheng)組，它只有六(liu)個未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)（矢(shi)量(liang)(liang)(liang)電(dian)場、磁場各(ge)擁有三(san)個未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)，電(dian)流(liu)與(yu)電(dian)荷(he)不是(shi)未知(zhi)量(liang)(liang)(liang)，而(er)是(shi)自由設(she)定(ding)(ding)(ding)并符合電(dian)荷(he)守恒的(de)(de)物理(li)量(liang)(liang)(liang)），但(dan)卻有八個方(fang)程(cheng)（兩(liang)個高(gao)斯定(ding)(ding)(ding)律共有兩(liang)個方(fang)程(cheng)，法拉第定(ding)(ding)(ding)律與(yu)安培定(ding)(ding)(ding)律是(shi)矢(shi)量(liang)(liang)(liang)式，各(ge)含有三(san)個方(fang)程(cheng)）。這狀況與(yu)麥克斯韋方(fang)程(cheng)組的(de)(de)某種有限重復性有關。從理(li)論可以推(tui)導出，任何滿足(zu)法拉第定(ding)(ding)(ding)律與(yu)安培定(ding)(ding)(ding)律的(de)(de)系統必定(ding)(ding)(ding)滿足(zu)兩(liang)個高(gao)斯定(ding)(ding)(ding)律。
另一(yi)方面(mian)，麥克斯韋方程組又是(shi)不封(feng)閉的。只有給定了(le)電磁介質的特(te)性，此方程組才能(neng)得到(dao)定解。
麥克斯韋方程組通常應(ying)用于各種(zhong)場的(de)“宏觀平均場”。當尺度縮小(xiao)至微觀（microscopic scale），以至于接近單獨原子(zi)大小(xiao)的(de)時(shi)侯(hou)，這(zhe)些(xie)場的(de)局(ju)部(bu)波動差(cha)異將變得無(wu)法忽略，量子(zi)現(xian)象也會開始出現(xian)。只有(you)在宏觀平均的(de)前提(ti)下，一些(xie)物理量如物質(zhi)的(de)電容(rong)率(lv)和磁導(dao)率(lv)才會得到有(you)意義的(de)定義值。
最(zui)重的(de)(de)(de)(de)(de)(de)原(yuan)子(zi)核(he)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)半徑大(da)約為(wei)7飛米（1fm=10-15m）。所以(yi)，在經典(dian)電(dian)磁學(xue)里(li)，微(wei)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)尺度(du)指的(de)(de)(de)(de)(de)(de)是尺寸的(de)(de)(de)(de)(de)(de)數量(liang)級大(da)于10-14m 。滿(man)足(zu)微(wei)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)尺度(du)，電(dian)子(zi)和(he)(he)原(yuan)子(zi)核(he)可(ke)以(yi)視為(wei)點電(dian)荷，微(wei)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)麥克(ke)斯(si)(si)韋方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)(zu)成立(li)；否則，必(bi)(bi)需(xu)將原(yuan)子(zi)核(he)內部(bu)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)電(dian)荷分(fen)布納入(ru)考量(liang)。在微(wei)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)尺度(du)計算出來(lai)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)電(dian)場與磁場仍舊變(bian)化(hua)(hua)相當劇烈，空(kong)間(jian)(jian)變(bian)化(hua)(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)距離數量(liang)級小于10-10m，時間(jian)(jian)變(bian)化(hua)(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)周(zhou)期數量(liang)級在10-17至10-13秒之間(jian)(jian)。因(yin)此，從(cong)微(wei)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)麥克(ke)斯(si)(si)韋方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)(zu)，必(bi)(bi)需(xu)經過(guo)經典(dian)平(ping)(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)算，才能得到平(ping)(ping)(ping)滑、連(lian)續、緩慢變(bian)化(hua)(hua)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)宏(hong)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)電(dian)場與宏(hong)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)磁場。宏(hong)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)尺度(du)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)最(zui)低極限(xian)為(wei)10-8米。這意味著電(dian)磁波的(de)(de)(de)(de)(de)(de)反射(she)與折(zhe)射(she)行為(wei)可(ke)以(yi)用宏(hong)觀(guan)(guan)(guan)(guan)(guan)麥克(ke)斯(si)(si)韋方(fang)程(cheng)(cheng)組(zu)(zu)來(lai)描(miao)述(shu)。以(yi)這最(zui)低極限(xian)為(wei)邊長，體(ti)積為(wei)10-24立(li)方(fang)米的(de)(de)(de)(de)(de)(de)立(li)方(fang)體(ti)大(da)約含(han)有106個原(yuan)子(zi)核(he)和(he)(he)電(dian)子(zi)。這么(me)多原(yuan)子(zi)核(he)和(he)(he)電(dian)子(zi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)物理行為(wei)，經過(guo)經典(dian)平(ping)(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)算，足(zu)以(yi)平(ping)(ping)(ping)緩任何劇烈的(de)(de)(de)(de)(de)(de)漲(zhang)落。根據可(ke)靠(kao)文獻記載，經典(dian)平(ping)(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)算只需(xu)要在空(kong)間(jian)(jian)作平(ping)(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)算，不(bu)需(xu)要在時間(jian)(jian)作平(ping)(ping)(ping)均(jun)(jun)運(yun)算，也不(bu)需(xu)要考慮到原(yuan)子(zi)的(de)(de)(de)(de)(de)(de)量(liang)子(zi)效應(ying)。
場(chang)概(gai)念(nian)的(de)(de)產生(sheng)，也有麥克斯韋的(de)(de)一份(fen)功(gong)勞，這是當(dang)時物理學中一個偉大的(de)(de)創舉，因為正是場(chang)概(gai)念(nian)的(de)(de)出現，使當(dang)時許多物理學家得以從牛頓“超距(ju)(ju)觀念(nian)”的(de)(de)束縛(fu)中擺脫出來，普遍地(di)接(jie)受了(le)電磁作用(yong)和(he)引力作用(yong)都是“近距(ju)(ju)作用(yong)”的(de)(de)思想。
麥(mai)克斯(si)韋方程(cheng)組(zu)在(zai)(zai)電(dian)磁(ci)(ci)學與(yu)經(jing)典電(dian)動力學中的地(di)位，如同牛(niu)頓運動定律在(zai)(zai)牛(niu)頓力學中的地(di)位一樣。以麥(mai)克斯(si)韋方程(cheng)組(zu)為核心的電(dian)磁(ci)(ci)理論(lun)，是(shi)(shi)經(jing)典物(wu)理學最引以自豪的成就之(zhi)一。它所揭示出的電(dian)磁(ci)(ci)相互作用的完美統一，為物(wu)理學家樹立了這(zhe)樣一種信念：物(wu)質的各種相互作用在(zai)(zai)更高層次上(shang)應(ying)該是(shi)(shi)統一的。這(zhe)個理論(lun)被(bei)廣泛地(di)應(ying)用到技術領域(yu)。
(一)經典(dian)場(chang)論(lun)是(shi)19世紀后(hou)期(qi)麥克(ke)斯(si)韋在總結電磁(ci)學(xue)三大實(shi)(shi)驗定律并把它與力(li)(li)學(xue)模型(xing)進行類比的(de)(de)基(ji)(ji)礎上(shang)創立起來的(de)(de)。但麥克(ke)斯(si)韋的(de)(de)主要功績恰恰使他能夠跳(tiao)出經典(dian)力(li)(li)學(xue)框架的(de)(de)束縛：在物(wu)理上(shang)以(yi)(yi)“場(chang)”而不是(shi)以(yi)(yi)“力(li)(li)”作為基(ji)(ji)本的(de)(de)研究對象，在數(shu)學(xue)上(shang)引入(ru)了(le)有(you)別于(yu)經典(dian)數(shu)學(xue)的(de)(de)矢量(liang)偏微分運算符。這兩條是(shi)發(fa)現電磁(ci)波方程的(de)(de)基(ji)(ji)礎。這就是(shi)說(shuo)，實(shi)(shi)際上(shang)麥克(ke)斯(si)韋的(de)(de)工作已經沖破(po)經典(dian)物(wu)理學(xue)和當時數(shu)學(xue)的(de)(de)框架，只是(shi)由于(yu)當時的(de)(de)歷史條件(jian)，人們仍然只能從牛(niu)頓的(de)(de)微積分和經典(dian)力(li)(li)學(xue)的(de)(de)框架去理解電磁(ci)場(chang)理論(lun)。
現代數(shu)學，Hilbert空(kong)間(jian)中的(de)(de)(de)數(shu)學分(fen)析(xi)是在19世(shi)紀與(yu)20世(shi)紀之交的(de)(de)(de)時候才(cai)出現的(de)(de)(de)。而量(liang)(liang)子(zi)力學的(de)(de)(de)物(wu)質波的(de)(de)(de)概(gai)念則(ze)在更晚的(de)(de)(de)時候才(cai)被發(fa)現，特(te)別是對于現代數(shu)學與(yu)量(liang)(liang)子(zi)物(wu)理學之間(jian)的(de)(de)(de)不可分(fen)割的(de)(de)(de)數(shu)理邏輯(ji)聯系至今(jin)也還沒有(you)完(wan)全被人(ren)們所理解和接受。從(cong)麥(mai)克(ke)斯(si)韋建立電磁場(chang)理論到如今(jin)，人(ren)們一直以歐氏空(kong)間(jian)中的(de)(de)(de)經典數(shu)學作(zuo)為求解麥(mai)克(ke)斯(si)韋方程組的(de)(de)(de)基(ji)本方法。
(二(er)(er))我(wo)(wo)們(men)從麥克斯韋方(fang)程組的(de)(de)(de)(de)(de)產(chan)生(sheng)、形式、內容和(he)它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)歷史過程中可(ke)以看到(dao)：第一，物(wu)理(li)(li)(li)對(dui)象是在(zai)更深(shen)的(de)(de)(de)(de)(de)層次(ci)上發展成為新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)公理(li)(li)(li)表(biao)達(da)方(fang)式而(er)被人(ren)類所掌握(wo)，所以科學(xue)(xue)的(de)(de)(de)(de)(de)進步不會是在(zai)既定的(de)(de)(de)(de)(de)前(qian)提(ti)下演(yan)進的(de)(de)(de)(de)(de)，一種(zhong)(zhong)新(xin)的(de)(de)(de)(de)(de)具(ju)有認識意(yi)義(yi)(yi)的(de)(de)(de)(de)(de)公理(li)(li)(li)體系的(de)(de)(de)(de)(de)建(jian)立才是科學(xue)(xue)理(li)(li)(li)論(lun)進步的(de)(de)(de)(de)(de)標志。第二(er)(er)，物(wu)理(li)(li)(li)對(dui)象與對(dui)它(ta)的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)方(fang)式雖(sui)然(ran)是不同的(de)(de)(de)(de)(de)東西，但(dan)如果不依靠(kao)合(he)適的(de)(de)(de)(de)(de)表(biao)達(da)方(fang)法就無法認識到(dao)這個對(dui)象的(de)(de)(de)(de)(de)“存在(zai)”。第三，我(wo)(wo)們(men)正在(zai)建(jian)立的(de)(de)(de)(de)(de)理(li)(li)(li)論(lun)將決定到(dao)我(wo)(wo)們(men)在(zai)何種(zhong)(zhong)層次(ci)的(de)(de)(de)(de)(de)意(yi)義(yi)(yi)上使我(wo)(wo)們(men)的(de)(de)(de)(de)(de)對(dui)象成為物(wu)理(li)(li)(li)事實，這正是現代最前(qian)沿(yan)的(de)(de)(de)(de)(de)物(wu)理(li)(li)(li)學(xue)(xue)所給我(wo)(wo)們(men)帶來的(de)(de)(de)(de)(de)困惑。
(三)麥(mai)克斯韋方程組揭示(shi)了(le)電場(chang)與(yu)磁(ci)場(chang)相互(hu)轉化(hua)中(zhong)產生的(de)(de)對(dui)稱(cheng)性優(you)美(mei)，這(zhe)(zhe)種優(you)美(mei)以現代數(shu)學(xue)(xue)形(xing)式得到(dao)充分(fen)的(de)(de)表達(da)。但是，我們一(yi)方面應當(dang)承(cheng)認，恰當(dang)的(de)(de)數(shu)學(xue)(xue)形(xing)式才能充分(fen)展示(shi)經(jing)驗方法中(zhong)看不到(dao)的(de)(de)整(zheng)體(ti)性（電磁(ci)對(dui)稱(cheng)性）；另一(yi)方面，我們也不應當(dang)忘記，這(zhe)(zhe)種對(dui)稱(cheng)性的(de)(de)優(you)美(mei)是以數(shu)學(xue)(xue)形(xing)式反映出(chu)來的(de)(de)電磁(ci)場(chang)的(de)(de)統(tong)一(yi)本(ben)(ben)質。因此，我們應當(dang)認識(shi)到(dao)應在數(shu)學(xue)(xue)的(de)(de)表達(da)方式中(zhong)“發現”或“看出(chu)”了(le)這(zhe)(zhe)種對(dui)稱(cheng)性，而(er)不是從物理數(shu)學(xue)(xue)公式中(zhong)直接(jie)推演出(chu)這(zhe)(zhe)種本(ben)(ben)質。
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